相似多边形相似三角形判定.docx
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相似多边形相似三角形判定
相似多边形、相似三角形判定
一、相似多边形
1•相似多边形
具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.
2•相似图形的特性
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.
3.相似比
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.
二、相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形•相似用符号表示，读作“相似于”•相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）•相似三角形对应角相等，对应边成比例.
注：
1应性：
即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.
2顺序性：
相似三角形的相似比是有顺序的.
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样.
4全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.
三、三角形相似的判定方法
1、定义法：
三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似.
3、判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似.简述为：
两角对应相等，两三角形相似.
4、判定定理2:
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似•简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
5、判定定理3:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似.简述为：
三边对应成比例，两三角形相似.
四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式
证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”.
1.横向定型法
ABBC
欲证力〃=BC,横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC,三个字母A,B,C恰为△ABC
BEBF
的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B,E,F恰为△BEF的三个顶点.因此只需证
△ABCEBF.
2.纵向定型法
欲证二匹，纵向观察，比例式左边的比AB和BC屮的三个字母A,B,C恰为△ABC的顶点；右BCEF
边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D,E,F恰为△DEF的三个顶点.因此只需证
△ABCs"DEF
3.中间比法
由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.
五、相似证明中的基本模型
BCD
DB
六、•黄金分割
ACBC
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果s',那么称线段AB被点C黄金分害ij（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比•其中
AC5^1
AB2
:
0.618A
【例1】三角形三边之比为3：
5:
7,与它相似的三角形最长边是21cm,另两边之各是
A.15cm
B.18cm
C.21cm
D.24cm
【巩固】△ABC的三边长分别为
2、・10、3,△A'B'C'的两边长分别为1和.5,若厶ABC与厶A'B，C
相似，则
4A'B'C'的第三条边长
【拓展】已知4ABC的三边长分别为20cm.50cm、60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条
各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其屮一根为边，将另一根截成两段（允许有余
料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：
cm）分别为多少?
【例2】已知点M将线段AB黄金分割（AM>BM）,贝U下列各式中不正确的是（）
A.AM：
BM=ABAM
B.AM=—AB
2
C.BM=4AB
2
D.AW0.618AB
【例3】著名的斐波那契数列指的是数列：
1,1,2,3,5,&13,21,34,-,这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项Z和.该数列有很多性质，相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金
/1TF—1
分割比二0.6180339887•…是其屮的一个性质.请经过探究，猜测该数列中的第2010项与2011项的比
2
值与黄金分割比的大小关系为（）
A、大于B、等于C、小于D、无法确定
【例4】如果一个矩形ABCDABBC2
在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF得到一个小矩形ABFE如图1）,请问矩形ABFE是否是黄金矩形？
请说明你的结论的正确性.
角角角判定法
【例5】如图，在△ABC中，CDAE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由.
【巩固】如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C,ZMCN=45，试说明厶BCMTAANC
【例6】在ABCC屮，M,N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E,连接EN并延长交AD于F.
（1）
FN试说明△AMDSEMB
（2）求——的值.
NE
【巩固】已知，如图：
CE是RtAABC的斜边上的高，在CE的延长线上任取一点P,连结AP自B,作BG丄AP于G交CP于D,求证：
CE?
二DE・PE
C
P
【例7】如图所示，E是正方形ABCD勺边AB±的一点，EF丄DE交BC于点F.
（1）求证：
△ADOABEF.
（2）若AEEB=1:
2,求DEEF的比值.
【巩固】如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,求证:
AB=AE?
BF
C
【例8］如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DELDF,且DE和DF分别交ABAC于点E、F,则AF:
AD=BE
BD吗？
说明理由
边角边判定法
【例9］已知△ABC中，点DE分别在ABAC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DCBE,若
/BDE+ZBCE二180那么，△DC3ABEF?
为什么？
【巩固】如图，点C,D都在线段AB上，APCD是等边三角形
（1）当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACNAPDB
（2）当厶ACP"APDB时求/APB的度数。
【例10】如图，已知DABC内一点，E
△DBE.
A
ABC外一点，且/ABD二/EBC,/BAD玄ECB.求证：
△AB3
【例11】如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且AB:
AE=ACAD,
/BAEKCAD求证：
/ABC=/AED
【巩固】如图，在RtAABC屮，△ACB=90,CDLAB于点D,分别以ACBC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCFDEDF,试说明△ADECDF
【例12】如图，在正方形ABCD中，AB=2,P是BC边上与B.C不重合的任意一点，DQ垂直AP于点Q
（1）判断△DAQ与厶APB是否相似，并说明理由
（2）当点P在BC±移动时，线段DQ也随之变化，设AP=x,DQ二y有y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围
【巩固】如图正方形ABCD的边长为2,AE=EB线段MN的两端点分别在CBCD±滑动，且MN=1当CM为何值时△
AED与以MNC为顶点的三角形相似？
边边边判定法
【例13】如图，在JABC中，点D在ABC内，已知
———・求证：
ABD=ACE・
ADDEAE
【巩固】如图，已知—AC
ADAE
匹，试说明：
AB-EC二AC-BDo
DE
【例14】如图，已知在等腰△ABC中，/A=ZB二30°过点C作CD丄AC交AB于点D.若过A,D,C
三点的圆0的半径为,3,则线段BC±是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BC0相似，若存在，则DP的长为.
【例15】如图，在平面直角坐标系屮，点A的坐标为（2,2）,点P是线段0A上的一个动点（不与0,A
重合），过点P作PQ丄x轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN•连接AN并延长交x轴于点B,连接0N.设
0Q二t,△BMN与厶MON相似时，则厶BMN的面积为.
OQMB
家庭作业
_、选择
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1・5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高
是（）
A.20米・B・18米C.16米D.15米
2.如图，D、E分别是AB、AC±两点，CD与BE相交于点0,下列条件中不能使△ABE和厶ACD相似的是（）
（A）AADEsAAEF
（C）AADEsAECF（D）AAEFsAABF
3•如图所示,
D、E分别是△ABC
的边AB、AC±的点，DE//BC,并且AD:
BD二2,那么Saade:
S四边形
DBCE=（
）
4
2
3
4
（D）-
（A）-
（R）-
（c）—
9
2
4
5
4.在矩形ABCD中，
E、F分别
CD、BC±的点，若/AEF=90o,则一定有（）
A./B二/CB.
ADC=/AEBC.BE=CD,AB=ACD.AD:
AC=AE:
AB
（第2题图）（第3题图）（第4题图）（第5题图）
（图屮阴影部
5•厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边屮点连线所围成的三角形铺成黑色大理石
分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是（
①②③④
A.①和②B.②和③
C.①和③
D.②和④
7•如图，直线h//I2,AF:
FB=2:
3,BC:
CD=2:
1,则AE:
EC是（）
C.2:
1
D.3:
2
130cm,那么较小的多边形
8.两个相似多边形的一组对应边分别为
的面积是cm\
AB
9.如图，DE与BC不平行，当二
AC
3cm和4.5cm,如果它们的面积之和为
时，△ABC与厶ADE相似.
10.如图，AD=DF=FB,DE//FG//BC,贝USi:
S〃
s”二
11・如图，在直角坐标系中有两点A（4,0）、B（0,2）,如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为
或时，使得由点B、0、C组成的三角形与厶A0B相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）.
昨
0]・4（4JO）K三、解答题12.如图，△ABC中，BC=a.
卄11
（1）若ADi=—AB,AEi=—AC,贝UD1E1二;
33
11
（2）若DiD?
二—DiB,E1E2二—EiC,贝UD2E2二
33
11
（3）若D2D3二DsB,E2Es=
En-lEn—
贝|J碍二
E2C,贝yD3E3二
72cm,面积是320cm%求这个地区的实际周
1
（4）若DnlDn——Dn"lB,
3
13•在比例尺为1:
5000的地图上，一块多边形地区的周长是长和面积.
吐一
14.若点C是线段AE的黄金分割点且AOBC则空二
ACAB
15.已知线段AB点P是它的黄金分割点，AP>BP设以AP为边的正方形的面积为S,?
以西AB为边的矩形面积为S,则Si与S2的关系是（）•
A.Si>S2B
16•如图，△ABC
屮，
SiBD是角平分线，过
D作DE//AB交BC于点E,AB二5cm,BE二3cm,求EC的长.
A
17.如图，已知△ABC
中，D为BC中点,
（ABC与厶FCD相似吗？
请说明理由;
AD=AC,DE丄BC,DE与AB交于E,EC与AD相交于点F,
（2）若S二5,BD=10,求DE的长。
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