人教A版 必修2232 平面与平面垂直的判定 教案.docx

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人教A版必修2232平面与平面垂直的判定教案

2.3.2平面与平面垂直的判定

学习目标：

1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．（难点、易错点）2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．（重点）3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．（重点）

[自主预习·探新知]

1．二面角

概念

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面

图示

平面角

定义

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角

图示

符号

OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角

范围

[0，π]

规定

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角

记法

棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ，如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ

2.平面与平面垂直

（1）定义：

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.

（2）画法：

两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图2318所示．

图2318

（3）判定定理：

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

[基础自测]

1．思考辨析

（1）若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．（）

（2）两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.（）

[提示]

（1）√

（2）√

2．如图2319，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．

图2319

90°[∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]

3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）

A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β

C[m∥nn⊥β⇒m⊥βm⊂α⇒α⊥β，故选C.]

[合作探究·攻重难]

二面角的概念及求法

（1）下列命题中：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是（）

A．①③B．②④

C．③④D．①②

B[由二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.]

（2）如图2320所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小.

图2320

[解]因为E为SC的中点，且SB＝BC，

所以BE⊥SC.又DE⊥SC，

BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，

所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，

可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，

所以BD⊥平面SAC，

从而BD⊥AC，BD⊥DE，

所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．

设SA＝AB＝1，在△ABC中，

因为AB⊥BC，

所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.

在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，

所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.

[规律方法]

1．求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”．

2．作二面角平面角的方法

（1）定义法：

在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：

过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角．

（3）垂线法：

利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．

[跟踪训练]

1．如图2321，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．

图2321

[解]取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1是二面角BA1C1B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.

设正方体的棱长为a，

则OB1＝22a，

在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝BB1OB1＝2＝，

所以二面角BA1C1B1的正切值为.

平面与平面垂直的判定

如图2322，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．

（1）求证：

PE⊥AD；

（2）若CA＝CB，求证：

平面PEC⊥平面PAB.

图2322

[证明]

（1）因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，

所以PE⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，PE⊂平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD，

因为AD⊂平面ABCD，

所以PE⊥AD.

（2）因为CA＝CB，点E是AB的中点，

所以CE⊥AB.

由

（1）可得PE⊥AB，

又因为CE∩PE＝E，

所以AB⊥平面PEC，

又因为AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PEC.

[规律方法]

1．证明平面与平面垂直的方法

（1）利用定义：

证明二面角的平面角为直角；

（2）利用面面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

2．根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．

[跟踪训练]

2．如图2323，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：

平面BDE⊥平面ABCD.

图2323

[证明]连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.

因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，

所以EO∥PC.

因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.

又因为EO⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

线面、面面垂直的综合应用

[探究问题]

1．如图2324，如何作出二面角PABQ的平面角？

图2324

[提示]过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连OP，则∠POH即为二面角PABQ的平面角．

2．线面、面面垂直关系是如何转化的？

[提示]欲证面面垂直只需寻求使其成立的充分条件，即面面垂直⇐线面垂直⇐线线垂直．

如图2325，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

（1）求证：

A1E⊥BD；

（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：

平面A1BD⊥平面EBD.

图2325

思路探究：

（1）欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；

（2）要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．

[证明]连接AC，设AC∩DB＝O，

连接A1O，OE，

（1）因为AA1⊥底面ABCD，

所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，

所以BD⊥平面ACEA1，

因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.

（2）在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，

因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，

所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1BDE的平面角．

在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.

母题探究：

1．本例中，条件不变，试求二面角EBDC的正切值．

[解]连接AC交BD于O，连接OE（图略）．

由例题中

（2）知，BD⊥OE，BD⊥OC.

∴∠EOC为二面角EBDC的平面角．

设正方体棱长为a，则CE＝a2，OC＝22a.

在Rt△OCE中，tan∠EOC＝CEOC＝2a＝22.

所以二面角EBDC的正切值为22.

2．本例条件不变，试求A1E与平面ABB1A1所成线面角的正切值．

[解]取BB1中点为H，连接A1H，EH（图略），则EH∥BC，

∴EH⊥平面ABB1A1，∴∠EA1H即为直线A1E与平面ABB1A1所成的线面角．

设正方体棱长为a，则易知A1H＝a2a2＝52a，EH＝a.

∴在Rt△A1HE中，tan∠EA1H＝EHA1H＝5＝25＝55.

[规律方法]线面、面面垂直的综合问题的解题策略

1重视转化

涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.

2充分挖掘线面垂直关系

解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.

[当堂达标·固双基]

1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有条件（）

A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

D[由二面角平面角的定义知，选D.]

2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）

A．平面ABC⊥平面ACD

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ADC⊥平面BCD

D[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，

∴AD⊥平面BCD.

又∵AD⊂平面ACD，

∴平面ADC⊥平面BCD.选D.]

3．如图2326，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

图2326

（1）二面角D1ABD的大小是________；

（2）二面角A1ABD的大小是________．

（1）45°

（2）90°[

（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AD1，则AB⊥AD1.又AB⊥AD，

所以∠D1AD即为二面角D1ABD的平面角，在Rt△D1AD中，∠D1AD＝45°.所以二面角D1ABD的平面角为45°.

（2）与

（1）同理，∠A1AD为二面角A1ABD的平面角，所以二面角A1ABD的大小为90°.]

4．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面（如图2327所示），图中互相垂直的平面有（）

图2327

A．1对B．2对

C．3对D．5对

D[∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥DA，PA⊥AB，PA⊥BC，PA⊥DC.

∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB，

同理可得BC⊥平面PAB.

∵AB⊥DA，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAD，

同理DC⊥平面PAD.

∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，

平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，

平面PDC⊥平面PAD，共5对．

选D.]

5．如图2328所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．

求证：

平面EFC⊥平面BCD.

图2328

[证明]∵AD⊥BD，EF∥AD，

∴EF⊥BD.

∵CB＝CD，F是BD的中点，

∴CF⊥BD.

又EF∩CF＝F，

∴BD⊥平面EFC，

∵BD⊂平面BCD，

∴平面EFC⊥平面BCD.