直线平面垂直与平面平面垂直地判定及其性质学生版.docx

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直线平面垂直与平面平面垂直地判定及其性质学生版

　直线、平面垂直与平面，平面垂直的判定及其性质

类型1　线面垂直的判定

[要点点击]　对直线与平面垂直的几点说明

（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．

（2）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．

[典例1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.求证：

（1）PO⊥平面ABCD；

（2）AC⊥平面PBD.

[巧归纳]　证明线面垂直的步骤

（1）在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；

（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

（3）根据判定定理得出结论．

[练习1]　如图所示，空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H.

求证：

AH⊥平面BCD.

类型2　直线与平面所成的角

[要点点击]　对斜线和平面所成的角的定义的理解

斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．

[典例2]　如图，三棱锥A—SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．

[巧归纳]　求直线和平面所成角的步骤

（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[练习2]　如图所示，已知正四面体（各棱长都相等的三棱锥）A—BCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE.

（1）求证：

顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心；

（2）求AD与底面BCD所成的角的余弦值；

（3）求CE与底面BCD所成的角的正弦值．

类型3　线面垂直的综合应用

[典例3]　如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．

（1）求证：

EF⊥平面PAB；

（2）设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

[思路点拨]　

（1）要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本题得证．

（2）要求线面角，得先找出或作出这个角，根据条件易得BP⊥平面EFA，故在△BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH⊥平面EFA，∠GAH为所求角．

[巧归纳]　利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧

证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．

[练习3]　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

类型4　面面垂直的判定

[要点点击]　平面与平面垂直的关键点

（1）两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．

（2）两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：

都是通过所成的角是直角来定义的．

[典例4]　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：

平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积．

[思路点拨]　

（1）由△EGF中的数量关系证得EG⊥FG，再由CF⊥平面EGF⇒EG⊥CF，从而EG⊥平面CFG，进而得证．

（2）作出四棱锥的高，由体积公式易得．

又CF∩GF＝F，∴EG⊥平面CFG.

又EG⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面CFG.

[巧归纳]　常用的两个平面互相垂直的判定方法

（1）定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理，即一个平面经过另一个平面内的一条垂线，则这两个平面互相垂直；

（3）两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”．

[练习4]　如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

求证：

平面ABM⊥平面A1B1M.

类型5　二面角及其平面角的求法

[要点点击]　确定二面角的平面角的方法

（1）定义法：

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

[典例5]　在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，PD⊥面ABCD，PD＝a.

（1）求证：

AC⊥面PBD；

（2）求二面角P－BC－D的平面角；

（3）求二面角P－AC－D的平面角的正切值．

[巧归纳]　求二面角大小的步骤

（1）找出这个平面角．

（2）证明这个角是二面角的平面角．

（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

[练习5]　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求二面角B－PC－D的平面角的大小．

类型6　垂直关系的综合应用

[要点点击]　有助于判断面面垂直的结论

（1）m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；

（2）m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；

（3）α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.

[典例6]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：

（1）PD⊥平面ABCD；

（2）平面PAC⊥平面PBD；

（3）二面角P－BC－D是45°的二面角．

[巧归纳]　证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．

[练习6]　如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.

（1）求证：

平面PAD⊥平面PAB；

（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．

类型7　线面垂直性质定理的应用

[要点点击]　直线与平面垂直性质定理的理解

（1）该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．

（2）定理给出了判定两条直线平行的另一种方法（只要判定这两条直线都与同一个平面垂直即可）．

（3）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

（4）定理的推证过程采用了反证法．

[典例7]　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交，求证：

EF∥BD1.

[思路点拨]　―→―→

[巧归纳]　线面垂直的性质定理的应用

线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可应用线面垂直的其他性质进而证明线面平行、面面平行，实现线面垂直关系与线线平行关系的相互转化．

[练习7]　如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过点A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，求证：

AE⊥PB.

类型8　面面垂直性质定理的应用

[要点点击]　从平面与平面垂直的性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，而由平面与平面垂直的判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直，其转化关系可表示为

这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法．

[典例8]　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积．

[巧归纳]　应用面面垂直性质定理要注意的问题

应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为面面垂直．然后进一步转化为线线垂直．

[练习8]　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点，求证：

平面PBG⊥平面PAD.

类型9　利用面面垂直求解二面角

[典例9]　在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，沿AC将四边形折成直二面角B－AC－D.

（1）求证：

平面ABC⊥平面BCD；

（2）求平面ABD与平面ACD所成的角的度数．

[思路点拨]　

（1）―→―→

（2）如图②，由平面ABC⊥平面ACD⇒BE⊥AC⇒BE⊥平面ACD⇒EF⊥AD⇒∠BFE为二面角的平面角．

[解析]　如图所示，其中图①是平面四边形，图②是折后的立体图．

①　　　　　　　　　　　②

[巧归纳]　“垂连法”求解二面角

当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角的面的垂线，而作出平面角．

二面角的平面角的作法最常用的是“垂连法”．

如图，求二面角C－AB－M的平面角．

过点C作CD⊥平面ABM，垂足为D；

再过点D作DE⊥AB，垂足为E；连接CE.

则∠CED为二面角C－AB－M的平面角．

以上方法称为“垂连法”，要点是“两垂一连”．

[练习9]　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E，F分别为AD，PC中点．

（1）求异面直线EF和PB所成角的大小；

（2）求证：

平面PCE⊥平面PBC；

（3）求二面角E－PC－D的平面角的大小．

类型10　线线、线面、面面垂直的综合应用

[要点点击]　线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．

[典例10]　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.求证：

（1）EF⊥CD;

（2）平面SCD⊥平面SCE.

[巧归纳]　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

[练习10]　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

（1）求证：

PA⊥平面ABC；

（2）当E为△PBC的垂心时，求证：

△ABC是直角三角形．