希尔伯特问题.docx
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希尔伯特问题
希尔伯特问题
1连续统假设公理化集合论1963年，PaulJ.Cohen在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason,Montqomery,Zipping等人最后解决，答案是肯定的。
6物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。
概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。
包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。
中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治（1921）和E.Artin（1927）解决.
10Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse（1929）和C.L.Siegel（1936,1951）在这问题上获得了重要的结果。
12Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域。
复乘法理论尚未解决。
13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。
方程论与实函数论连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。
14证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否定解决。
15Schubert记数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。
至于代数几何的基础，已由B.L.VanderWaerden（1938-40）与A.Weil（1950）建立。
16代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题的前半部分，近年来不断有重要结果。
17正定形式的平方表示式域（实域）论已由Artin于1926年解决。
18由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。
19正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这个问题在某种意义上已获解决。
20一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl（德，1957）解决。
22解析关系的单值化Riemann曲面体一个变数的情形已由P.Koebe（德，1907）解决。
23变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称“希尔伯特问题”，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。
希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：
第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设（注1）。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的
问题的意思是：
存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
德思（M.Dehn）1900年即对此问题给出了肯定解答。
（4）两点间以直线为距离最短线问题
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
中间经冯•诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明
需证：
如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。
苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。
但超越数理论还远未完成。
目前，确定所给的数是否超越数尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。
希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想至今未解决。
哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。
而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。
1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。
1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。
1970年。
苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：
在一般情况答案是否定的。
尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论
德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。
60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域上去。
此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x（a,b,c）。
这一函数能否用两变量函数表示出来？
此问题已接近解决。
1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f（x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi（x1,x2）,x3）（i=1--9），这里hi和ξi为连续实函数。
柯尔莫哥洛夫证明f（x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi1（x1）+ξi2（x2）+ξi3（x3））（i=1--7）这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。
1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？
这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是：
在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？
舒伯特给出了一个直观解法。
希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。
现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。
但严格的基础迄今仍未确立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。
后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。
对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N
（2）≥1；1952年鲍廷得到N
（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N
（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。
关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。
1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。
1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。
秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示
实系数有理函数f（x1,…，xn）对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？
1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。
日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明
此问题属线性常微分方程的大范围理论。
希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。
1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。
其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。
20世纪变分法有了很大发展。
希尔伯特认为，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命正是在于各个部分之间的联系。
尽管数学知识千差万别，但是在作为整体的数学中数学家们都在使用着相同的工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的不同部分之间，也有大量相似之处。
并且希尔伯特相信，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加的调和一致。
并且，这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。
因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚的呈现出来。
时至今日，希尔伯特的高度预见性已经得到了验证，他向人们指出的数学方向和具体问题也被证明是极为正确的。
百年前的数学家大会与希尔伯特的问题
21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？
能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？
一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（DavidHilbert）和他的《数学问题》。
1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。
在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。
其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H.Weyl）所说：
“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。
”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。
人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。
其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。
但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。
数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？
做出这样的选择需要敏锐的洞察力。
为什么希尔伯特能如此目光如炬？
数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！
数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三流。
希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。
为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？
袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱（HenriPoincaré）有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。
他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。
庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。
虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。
希尔伯特的老师克莱茵（FelixKlein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。
在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基（HermannMinkowski）的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。
事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。
从一个例子可以想见他们的魅力。
某天，在谈及拓扑学著名定理——四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：
“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。
现在由我来证明它。
”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。
这堂课结束后，他还没有证完。
下堂课他继续证，这样一直持续了几周。
最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。
“老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。
”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。
）
1912年，庞加莱逝世。
世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。
此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！
”
一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。
但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。
有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？
费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。
希尔伯特的回答同样幽默：
“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。
（费马大定律直到1997年才被解决。
）
在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。
他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。
21世纪七大数学难题
最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：
对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：
P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
“千僖难题”之二：
霍奇（Hodge）猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
“千僖难题”之三：
庞加莱（Poincare）猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四：
黎曼（Riemann）假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五：
杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。
大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。
基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：
布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。
尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。
特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。
在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六：
纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。
虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。
挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七：
贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。
欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。
事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。
当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1附近的性态。
特别是，这个有趣的猜想认为，如果z
（1）等于0,那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z
（1）不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
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