中考数学二次函数压轴题题型归纳.doc
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中考二次函数综合压轴题型归类
一、常考点汇总
1、两点间的距离公式：
2、中点坐标：
线段的中点的坐标为：
直线（）与（）的位置关系：
（1）两直线平行且
（2）两直线相交
（3）两直线重合且（4）两直线垂直
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；
②解方程，求出方程的根；（两种形式：
分式、二次根式）
③分析求解：
若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：
关于的一元二次方程有两个整数根，且为整数，求的值。
4、二次函数与轴的交点为整数点问题。
（方法同上）
例：
若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：
已知关于的方程（为实数），求证：
无论为何值，方程总有一个固定的根。
解：
当时，；
当时，，，、；
综上所述：
无论为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线（是常数），求证：
不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：
把原解析式变形为关于的方程；
∴，解得：
；
∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求等价于：
关于的方程不论为何值，方程恒成立）
小结：
关于的方程有无数解
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线、，点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小。
（2）如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得之和最小。
（3）如图，是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点、（在的左侧），使得四边形的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：
如右图，S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y
9、函数的交点问题：
二次函数（）与一次函数（）
（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组，即，
通过可判断两个图象的交点的个数
有两个交点
仅有一个交点
没有交点
10、方程法
（1）设：
设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
、
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
直角三角形
直角梯形
矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
等腰三角形
全等
等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
【例题精讲】
O
x
y
A
B
C
D
一基础构图：
y=（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标
O
x
y
A
B
C
D
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得面积最大，求出P坐标
O
x
y
A
B
C
D
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，
求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，
求出P坐标
O
x
y
A
B
C
D
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标
二综合题型
例1（中考变式）如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，顶点为D。
交Y轴于C
（1）求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
（2）在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。
若没有，请说明理由
（3）若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与A、B重合），过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？
关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
（4）在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？
（5）在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
例2考点：
关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（－1，0）、（0，），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
y
x
B
A
F
P
x＝1
C
O
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．
例3考点：
讨论等腰
如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
B
C
O
A
备用图
y
x
D
B
C
O
A
y
x
E
例4考点：
讨论直角三角
⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上
确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．
（A）2个（B）4个（C）6个（D）7个
⑵已知：
如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
O
A
B
y
C
x
D
E
2
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
例5考点：
讨论四边形
已知：
如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？
如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
B
A
y
O
C
x
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1,0），OB＝OC，抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积。
2、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为。
（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：
2的两部分，求出此时点的坐标；
（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：
点P在何处时△的面积最大？
最大面积是多少？
并求出此时点P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，且对称轴与轴交于点。
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）为中点，直线交轴于，若（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，点在直线上，且使得的周长最小，在抛物线上，在直线上，若以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。
4、已知关于的方程。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：
当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。
5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1．已知二次函数y＝x2＋（m－1）x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（4）若过点D（0，）的直线与
（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且＝，求该直线的表达式．
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，
（1）求证：
不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________
例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
A
O
x
y
（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正（M，N两点在拋物线上），请问：
△AMN的面积是与m无关的定值吗？
若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，
求整数m的值．
题型四、抛物线与对称，包括：
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1．已知抛物线（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m,n），且AB=2.
（1）求m,b的值
（2）如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=。
求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：
请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）
例1．已知：
二次函数的图象与x轴交于不同的两点A（，0）、B（，0）（＜），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（+1）（+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把
（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点、，顶点为点C1，且△是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|＝2，图象的对称轴为x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．
2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，求m的值；
（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC＝27，求m的值．
3.已知关于x的一元二次方程x2－2（k＋1）x＋k2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2－2（k＋1）x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y＝x＋b与
（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2，求m的值．
四、中考二次函数定值问题
1.如图，已知二次函数L1：
y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：
y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？
如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（－2，O）、B（2，0）、C（0，－l）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，－2）作平行于x轴的直线、．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
3.如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？
如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：
m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
4．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
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