归纳点评：
虽然…'的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：
1.求零点：
分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）.
2.分段：
根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定.
3.在各区段内分别考察问题.
4.将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案.
误区点拨千万不要想当然地把亠-等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果.
三、带绝对值符号的运算
在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？
因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？
我认为应从以下几个方面着手：
（一）、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，在数轴上，表示数a的点到原点的
距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，
那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定
是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样
去表示a的相反数（可表示为-a”，以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括
号的作用）。
（三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如丨a丨的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号当a>0时，丨a|=a（性质1：
正数的绝对值是它本身）；
当a=0时，|a|=0（性质2：
0的绝对值是0）;
当a<0时；|a|=-a（性质3:
负数的绝对值是它的相反数）。
2、对于形如|a+b|的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快
速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，|a+b|=（a+b）=a+b（性质1:
正数的绝对值是它本身）;
当a+b=0时，|a+b|=（a+b）=0（性质2：
0的绝对值是0）;
当a+b<0时，|a+b|=-a+b）=--b（性质3:
负数的绝对值是它的相反数）。
3、对于形如丨a-b丨的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去
掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为丨大-小丨=丨小-大丨=大-小，所以当a>b时，
a-b|=（a-b）=a-b,Ib-aI=（a-b）=a-b。
口诀：
无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
a在b的右边（不
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如Ia-bI的一类问题，只要判断出
论正负），便可得到Ia-b|=（a-b）=a-b,Ib-aI=（a-b）=a-b。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负
号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
0比较，大于0直接去绝
万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与
对值号，小于0的整体前面加负号。
四、去绝对值化简专题练习
（1）设盂<-1化简的结果是（B）。
（A）：
（B）：
I（C）二I讥（D）-■■
（C）。
⑶已知二二匚，化简I「卜I一"的结果是x-8。
⑷已知%，化简_I"-'的结果是-x+8。
（5）已知—4三二〜，化简"的结果是-3x_
，那么
（6）已知a、b、c、d满足«<-!
且匕+1円训卜4二H
a+b+c+d=0（提示：
可借助数轴完成）
（C）•
a~¥btb-2a）fi-|b|
（A）0（B）1（C）2（D）3
八””+彳+2x-2|
（10）化简II=
（1）-3x（x<-4）
（2）-x+8（-4wx<2）（3）3x（x>2）
（11）设x是实数，丁+|亢十1|下列四个结论中正确的是（d）。
（A）y没有最小值
（B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个x使y取得最小值
（D）有无穷多个x使y取得最小值
五、绝对值培优教案
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基
础•绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组卜解不等
（组）、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人
手：
a（a0）
1.绝对值的代数意义：
a0（a0）
a（a0）
2•绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离（长度，非负）；
表示数a、数b的两点间的距离.
3.绝对值基本性质
aa2oo
①非负性：
a0:
②abab:
③a_（b0）:
④aa2a2.
培优讲解
（一）、绝对值的非负性问题
【例1】若x3y1z50，则xyz。
总结：
若干非负数之和为0,。
（二）、绝对值中的整体思想
【例2】已知a5,b4，且abba，那么ab=.
变式1.若|m—1|=m—1，贝Um1;若|m—1|>m—1，贝Um1;
（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）
【例3】阅读下列材料并解决有关问题：
xx0
我们知道x|0x0，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化
xx0
简代数式x1x2时，可令x10和x20，分别求得x1,x2（称1,2分
别为x1与x2的零点值）。
在有理数范围内，零点值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x
1时，原式
=
x1
x2
2x1
（2）当
1x2时，
原式
=x1
x2
3;
（3）当x
2时，原式=
=x
1x
22x
1。
2x
1
x
1
综上讨论，
原式=3
1
x2
2x
1
x
2
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出x2和x4的零点值；
（2）化简代数式x2x4
变式1•化简⑴2x1;
变式2•已知x3x2的最小值是a,x3x2的最大值为b，求ab的值。
（四）、ab表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离.
【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与
6，4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
答：
.
（2）若数轴上的点A表示的数为X,点B表示的数为一1,贝UA与B两点间的距离
可以表示为:
（3）
结合数轴求得
x
2
x3
的最小值为_，取得最小值时
x的取值范围为
（4）
满足
x1
x
4
3的x的取值范围为•
（5）
若
x1x
2
1
x
3L
x2008的值为常数，试求
x的取值范围.
（五）、绝对值的最值问题
【例5】
（1）当x取何值时，x3有最小值？
这个最小值是多少？
（2）当x取何值时,
5x2有最大值？
这个最大值是多少？
（3）求x4x5的最小值。
（4）求
x7x8x9的最小值。
【例6】.已知：
<1,y1，设M
xy
y1
2yx4，求M的最大值与最小
值.
课后练习:
1、若
9
b
11与（9
b°互为相反数,
求
392b1的值。
2.若
9
b
1与（9
b°互为相反数，
则
9与b的大小关系是（）
A.
9
b
B.9
bC.9b
D.9b
3.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a,1,一I，那么91表示（）•
A.A、B两点的距离B.A、C两点的距离
C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和
4•利用数轴分析X2X3，可以看出，这个式子表示的是X到2的距离与X到3的距离之和，它表示两条线段相加：
⑴当X_时，发现，这两条线段的和随X的增大而越来越大；
⑵当X_时，发现，这两条线段的和随X的减小而越来越大；⑶当_X_时，发
现，无论X在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都
小。
因此，总结，X2X3有最小值_，即等于到_的距离
5.利用数轴分析X7x1，这个式子表示的是X到7的距离与X到1的距离之差它表示两条线段相减：
⑴当X_时，发现，无论X取何值，这个差值是一个定值_；⑵当X_时，发现，无论X取何值，这个差值是一个定值_；
⑶当—X—时，随着X增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子
X7
X1当X时，有最大值
;当X时，有最小
值；
A.-3B.1C.3或-1D.-3或1
10.若X2，则11X；若I99，则I9192
12.设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且abc，则
abbcca可能取得的最大值是.
4、当b为时，5-2b1有最大值，最大值是
当a为时，1+|a+3|有最小值是.
5、当a为时，3+|2a—1|有最小值是;当b为时，1-|2+b|有最大值是2、已知b为正整数，且a、b满足|2a—4|+b=1,求a、b的值。
八”、x1x3心2x1x3
7•化简：
⑴；⑵
4、如果2x+|4—5x|+|1—3x|+4恒为常数，求x的取值范围。
7、若|x5||X2|7，求x的取值范围。
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