∴……………………………………………9分
∴∴………………10分
26．（长春）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），AD为斜边上的高．抛物线y＝ax2＋2x与直线y＝x交于点O、C，点C的横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．
（1）求OA所在直线的解析式．
（2）求a的值．
（3）当m≠3时，求S与m的函数关系式．
（4）如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
O
O
A
A
B
B
C
C
P
D
E
Q
P
D
N
M
R
E
y
y
x
x
图①
图②
25．（滨州市）（本题满分l0分）
如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?
25．（本题满分l0分）
解：
①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，
∵OD=MC，AD=BC，
∴△AOD≌△BMC．
∴OA=MB=MA．………………………………………l分
设菱形的边长为2m，
在Rt△AOD中，
解得m=1．
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）…………………4分
②设抛物线的解析式为y=（—2）2+
代入A点坐标可得=—
抛物线的解析式为y=—（—2）2+……………………………………7分
③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k
代入D（0，）可得k=5
所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5…………………………9分
平移了5一=4个单位．…………………………………………………l0分
27.（毕节地区）（16分）如图在平面平面直角系中，抛物线的图象与轴交于点A（2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与轴交于点D，点P是直线l上一动点。
（1）求此抛物线的表达式
（2）当AC+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A。
求证：
BP与⊙A相切
（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？
若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由
26.（本溪市）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；
（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；
（3）若
（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？
若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）若
（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？
请直接写出此时点的坐标及直线的解析式．
3
5
（第26题）
26．（包头）（本小题满分12分）
已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？
若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
y
x
O
26．（12分）
y
x
O
B
A
D
C
（x=m）
（F2）F1
E1（E2）
解：
（1）根据题意，得
解得．
． （2分）
（2）当时，
得或，
∵，
当时，得，
∴，
∵点在第四象限，∴． （4分）
当时，得，∴，
∵点在第四象限，∴． （6分）
（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则
，点的横坐标为，
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴． （9分）
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，∴（舍去），，
∴，
∴． （12分）
注：
各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
24．（芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？
如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
四、（共12分）（成都）
28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？
若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：
若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
24.（恩施）（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
图11
24、解：
（1）将B、C两点的坐标代入得……………………2分
解得：
所以二次函数的表达式为：
……………………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=．…………………………………………………6分
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
=……………10分
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．………………12分
25.（晋江）（13分）已知：
如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.
（1）试直接写出点的坐标；
（2）已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.
①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
A
O
x
B
C
M
y
25.（本小题13分）
A
O
x
D
B
C
M
y
E
P
T
Q
解：
（1）依题意得：
；…………………………………………………（3分）
（2）①∵，，∴.
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为
又抛物线经过点与点
∴解得：
∴抛物线的解析式为.…………………（5分）
∵点在抛物线上，
∴设点.
1）若∽，则，，解得：
（舍去）或，
∴点.………………………………………………………………（7分）
2）若∽，则，，解得：
（舍去）或，
∴点.……………………………………………………………………（9分）
②存在点，使得的值最大.
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.………………………………………………………………………（10分）
∵点、点关于直线对称，
∴……………………………………………………………………（11分）
要使得的值最大，即是使得的值最大，
根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.……………………………………………………………………………（12分）
设过、两点的直线解析式为，
∴解得：
∴直线的解析式为.
当时，.
∴存在一点使得最大.………………………（13分）
22.（满分14分）（福州）
如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。
若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在
（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。
过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？
若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
28.（兰州）（本题满分11分）如图，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1第28题图图2
28.（本题满分11分）
解：
（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4.…………………………………………2分
（2）①点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为（2,4），E点的坐标为（4,0），
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8.…………………………………………3分
由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.[来源:
Zxxk.Com]
∴当时，点P不在直线ME上.……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t.
∴点P，N的坐标分别为（t,t）、（t,-t2+4t）…………………………………6分
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3）,
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0,∴PN=-t2+3t
…………………………………………………………………………………7分
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC·AD=×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）·AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3…………………8分
当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分
当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分
说明：
（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
28．（甘肃）（12分）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？
为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？
若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．本小题满分12分
解：
（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.
即抛物线的解析式为．………………………1分
把A（－1，0）、B（3，0）代入,得
解得.
∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．……………………………………………3分
∴顶点D的坐标为.……………………………………………………4分
说明：
只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y=x2－2x－3”不扣分.
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.……………………………5分
理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴.…………………………6分
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴.…………………………7分
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴.…………………………8分
∴，故△BCD为直角三角形.…………………………9分
（3）连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．………10分
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为．…………………………………………11分
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．…………………………………………12分
∴符合条件的点有三个：
O（0，0），，P2（9，0）.
30．（广安）如图，直线与抛物线都经过点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?
若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．
24．（茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（6，6），抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B，且3a－b＝－1．
（1）求a、b、c的值．
（2）动点E、F同时分别从点A、B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△BEF的面积为S．①试求出S与t的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以点E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由．
O
A
B
C
E
F
x
y
O
A
B
C
E
F
x
y
（备用图）
26．（南宁）如图12，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.
（1）分别写出抛物线与的解析式；
图12
（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？
说明你的理由.
（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.
26．解：
（1）（或）；………………………………（1分）
（或）；………………………………（2分）
（2）以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………（3分）
理由：
点与点，点与点关于轴对称，
轴.
①当点是的对称轴与的交点时，点、的坐标分别为（1，3）和（1，3），而点、的坐标分别为（）和（1，1），所以四边形是矩形.………………………………………………………………………………………（4分）
②当点不是的对称轴与的交点时，根据轴对称性质，
有：
（或），但.
四边形（或四边形）是等腰梯形.…………………………………（5分）
（3）存在.设满足条件的点坐标为，连接依题意得：
，
.……………………………………………………………（6分）
①当时，
…………………………………………………………………………………（7分）
将代入的解析式，解得：
，……………………………………………………………（8分）
②当时，
………………………………………………………………………………（9分）
将代入的解析式，解得：
，…………………………………
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