浙大远程工程数学离线作业答案(2015年春).doc
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《工程数学》课程作业
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《复变函数与积分变换》
第一章
1.1计算下列各式：
（2）、（a-bi）3
解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a（bi）2-（bi）3
=a3-3ab2+i（b3-3a2b）；
（3）、；
解==
==
1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：
（1）；
证（）-i（）
==
（2）
证=
=
=--
==（）（）
=--
即左边=右边，得证。
（3）=（Z2≠0）
证==（）
==
==
1.4、将直线方程ax+by+c=0（a2+b2≠0）写成复数形式［提示：
记x+iy=z］
z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C（实数）。
解由x=，y=代入直线方程，得
（）+（）+c=0,
az+-bi（）+2c=0,
（a-ib）z+（a+ib）+2c=0,
故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C
1.5、将圆周方程a（x2+y2）+bx+cy+d=0（a≠0）写成复数形式（即用z与来表示，其中z=x+iy）
解：
x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得
az+（）+（）+d=0，2az+（b-ic）z+（b+ic）+2d=0
故Az++B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic。
1.6求下列复数的模与辅角主值：
（1）、=2，
解
arg（）=arctan=。
1.8将下列各复数写成三角表示式：
（2）、i；
解=1,arg（）=arctan（）=-a
故i=+i。
1.10、解方程：
Z3+1=0
解方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得
Z==+i，k=0,1,2
即Z0==+i，
Z1==1，
Z2=+i=i。
1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？
是单连通区域还是多连通区域？
（1）、2＜＜3；
解圆环、有界、多连域。
（3）、＜argz＜；
解圆环的一部分、单连域、有界。
（5）、Rez2＜1；
解x2-y2＜1无界、单连域。
（7）、＜；
解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；
第二章
2.2下列函数在何处可导？
何处不可导？
何处解析？
何处不解析？
（1）f（z）=z2；
解f（z）=z2=·z·z=·z=（x2+y2）（x+iy）=x（x2+y2）+iy（x2+y2），
这里u（x,y）=x（x2+y2）,v（x,y）=y（x2+y2）。
ux=x2+y2+2x2，vy=x2+y2+2y2，uy=2xy，vx=2xy。
要ux=vy，uy=-vx，当且仅当x=y=0，而ux,vy，uy,vx均连续，
故f（z）=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；
（2）、f（z）=x2+iy2；
解这里u=x2,v=y2,ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y，四个偏导数均连续，但ux=vy，uy=-vx仅在x=y处成立，故f（z）仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；
2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：
（1）、；
解f（z）=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f（z）的解析区域，奇点为z=±1，f（z）的导数为：
f’（z）=）’=则可推出==0，即u=C（常数）。
故f（z）必为D中常数。
2.9由下列条件求解析函数f（z）=u+iv
（1）、u=（x-y）（x2+4xy+y2）；
解因==3+6xy-3，所有v=dy
=+3x-+w（x），又=6xy+3+w’（x）,而=3-3，所以w’（x）=-3，则w（x）=-+C。
故f（z）=u+iv=（x-y）（+4xy+）+i（-+C）
=（1-i）（x+iy）-（1-i）（x+iy）-2（1+i）-2x（1-i）+Ci
=z（1-i）（）-2xyi·iz（1-i）+Ci=（1-i）z（-2xyi）+Ci
=（1-i）z3+Ci
（3）、u=2（x-1）y，f（0）=-i；
解因=2y，=2（x-1），由f（z）的解析性，有==2（x-1），v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+C，则v=++C，故f（z）=2y+i（++C），由f
（2）=i得f
（2）=i（1+C）=,推出C=0。
即f（z）=2y+i（）=i（+2z）=i（1z）2
（4）、u=（x），f（0）=0；
解因=（x）+，=（-x），由f（z）的解析性，有==，==（x）+。
则v（x,y）=dx+dy+C
=+dy+C
=Xdy-dy+dy）+C
=+C
=x-+C，故f（z）=-i（）+iC。
由f（0）=0知C=0
即f（z）=（x）+i（）=zez。
2.13试解方程：
（1）、=1+i
解=1+i=2（+i）=2
=
（4）、+=0
解由题设知=-1,z=k-，k为整数。
2.14求下列各式的值：
（1）、
解==；
（3）、；
===·=·
=27（-i）。
第三章
3.1、计算机积分dz积分路径为
（1）自原点至1+i的直线段；
（2）自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i。
解
（1）dz=dt=i（1+i）=；
注：
直线段的参数方程为z=（1+i）t，0≤t≤1。
（2）C1：
y=0,dy=o,dz=dx,C2：
x=1,dx=o,dz=idy,
dz=+
=dx+idy=+i；
（3）:
x=0,dz=idy;:
y=1,dz=dx。
dz=+
=dy+dx=
3.2、计算积分dz的值，其中C为
（1）=2；
（2）=4。
解令z=r,则dz==2i。
当r=2时，为4i；当r=4时，为8i。
3.6、计算dz，其中C为圆周=2；
解f（z）==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1,C2,C1与C2不相交，则dz=dz-dz=2i-2i=0
3.8计算下列积分值：
（1）、dz；
解dz=πi0=1-；
（3）、dz；
解dz=（3+）0i=3=3。
3.10计算下列积分：
（1）、dz；
解dz=2i=2i
（2）、dz；
解dz=2
（2）=4i
（4）、（r≠1）；
解为0；r＞1时n=1为2i，n≠1为0。
3.11、计算I=其中C是
（1）=1；
（2）=1；（3）=；（4）=3。
解
（1）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=，故I=dz
=2（）=i；
（2）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2，故I=dz=2（）=i；
（3）被积函数在≤内处处解析，故I=0；
（4）、被积函数在≤3内有两个奇点z=，z=2由复合闭路原理，知I=+=dz+dz==i，其中C1为=1，C2为=1。
3.13计算下列积分：
（2）、dz；
解dz=2（）’=2·=0
（3）、dz，其中：
=2，：
=3。
解dz=dz+dz
=2（）”2（）”
=（-1）（-1）=0
第四章
4.2下列级数是否收敛？
是否绝对收敛？
（1）、；
（2）、；
解
（1）因=发散。
故发散。
（2）=收敛；故绝对收敛。
4.4试确定下列幂级数的收敛半径：
（1）、；
（2）、；
解
（1）==1，故R=1。
（2）===e，
故R=
4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：
（1）、；（3）、；（5）、sin2z；
解
（1）===，原点到所有奇点的距离最小值为1，故＜1。
（3）=·（）’=（）’
==，＜1
（5）sin2z==
=，＜∞。
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示：
（1）、，z0=1；
（2）、，z0=1；
解
（1）=（）’=［］’==，＜1
（2）==+
=+，＜∞
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：
（1）、，0＜＜1，1＜＜+∞；（3）、，1＜＜2
（4）、，0＜＜+∞；
解
（1）0＜＜1时，=（1-）=，
当1＜＜+∞时，0＜＜1，=（1+）=（1+）
=+=+。
（3）==
=
=+，1＜＜2。
（4）0＜＜+∞时，=
=+==。
4.9将=在z=1处展开为洛朗级数
解f（z）==。
f（z）的奇点为z1=1,z2=2。
f（z）在0＜＜1与＞1解析。
当0＜＜1时
f（z）===
=
当＞1时0＜＜1，f（z）==+
=+
第五章
5.3、下列各函数有哪些奇点？
各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：
（1）、；
（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；
（6）、-；
解
（1）令f（z）=，z=0，±2i为f（z）的奇点，因=，所以z=0为简单极点，又==，所以z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。
（2）因==1，所以z=0为二阶极点。
（3）令f（z）==，则的零点为z=k-，k=0，±1，±2，…因（）’=（
==0，所以都为简单极点。
（4）令f（z）=，=，则的零点为z=,k=0，±1，±2，…。
因=（z++…）=（1++…），z=0为的三阶零点，故f（z）的三阶极点。
又）’=（2z（）+）0，故z=为的一阶零点，即为f（z）的简单极点。
（5）令f（z）=，z=0为其孤立奇点。
因==1，所以z=0为可去奇点。
（6）令f（z）=-=，z=0和（）为其孤立奇点。
因===，所以z=0为可去奇点，又==（），所以z=（k=0，±1，±2，…）为的一阶零点，即为f（z）的简单极点。
5.5、如果与g（z）是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则=（或两端均为）。
［提示：
将写成的形式，再讨论。
］
证设为的m阶零点，为g（z）的n阶零点，则=，在0，m≥1，g（z）=，在0，n≥1。
因而
=，
==
当m=n时，
（1）式==
（2）式，当m＞n时，
（1）式=
（2）式=0，
当m＜n时，
（1）式=
（2）式=∞。
5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：
（1）、；
（2）、；（5）、；（6）、；
解
（1）令=，孤立奇点仅有0。
Res［，0］===0
（2）z=2为简单极点，z=±i为二阶极点。
Res［，2］===，Res［，i］===。
同理可计算Res［，-i］=。
（5）的孤立奇点为z=0，=kπ（k=±1，±2，…），其中，z=0为二阶极点，这是由于===，在z=0处解析。
且≠0所以Res［，0］==
==0，易知=kπ（k=±1，±2，…）为简单极点，所以Res［，kπ］（k=±1，±2，…）为简单极点，所以Res［，kπ］===（k=±1，±2，…）。
（6）=在整个复平面上解析，无孤立奇点。
5.8利用留数计算下列积分：
（1）、=0；
（2）、dz=；
（4）、=-2
解
（1）=2Res［，0］=2
=2=2
=2=2=0
（2）dz=2Res［，1］=2=。
（4）=2=2=2
5.12求下列各积分之值：
（1）、（）；（3）、d（）；（4）、d；
解
（1）dz=dz
=dz。
令=，其中a=a，=+为实系数二次方程=0的两相异实根，显然＞1,＜1，被积函数在=1上无奇点，在单位圆内部又是一个简单极点z=故Res［，］=·==，即
=2Res［，］=
（3）=它共有两个二阶极点，且（）在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai，所以=2Res［，］=2=2=
（4）不难验证=满足若尔当引理条件，函数有两个一阶极点-2+i，-2-i。
Res［，-2+i］===，
d=2Res［，-2+i］=（）。
故d=
第八章
8.4求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。
（1）、f（t）=；
（2）、f（t）=；
（3）、f（t）
解
（1）［f（t）］=dt=dt+dt
=dt+dt=2jdt==［1-］
（2）F（）=dt=dt=dt
==
（3）F（）=dt=dt
=dt-dt
=-2dt
=［］
=（）［tdt］=（）。
8.5求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。
（2）、f（t）=证明d=
解
（2）F（）=dt=dt
=dt=2jdt
=jdt
=j（）=j（）=
8.13证明下列各式：
（1）、f1（t）*f2（t）=f2（t）*f1（t）；
8.14、设f1（t）=f2（t）=求f1（t）*f2（t）。
解f1（t）*f2（t）=dt当t≤0时，f1（t）*f2（t）=0；当t＞0时，f1（t）*f2（t）=dt==1故f1（t）*f2（t）=
8.15设F1（）=F［f1（t）］，F2）=［f2（t）］，证明：
f1（t）·f2（t）］=F1（）*F2）。
证F1（）*F2）=du=dt］du
=du
=dt
=dt
=dt
=dt=f1（t）·f2（t）］
第九章
9.1求下列函数的拉氏变换：
（1）、f（t）=；
（2）、f（t）=
解
（1）F（s）=［f（t）］=dt=3dtdt
=+
（2）F（s）=［f（t）］=dt=3dt+dt
=+dt
=（1-）+dt
=（1-）+（）=（1-）+（）
（Res＞0）
=（1-）+（）=（1-）-
9.2求下列函数的拉氏变换：
（1）、；（4）、；
解
（1）［］=dt=dt
=［］（Res＞0）=
（4）［］=dt=dt=［t-dt］
=dt（Res＞0）=
9.3求下列函数的拉氏变换：
（1）、t2+3t+2；（3）、；（5）、t；
解
（1）由=及［1］=有［］=++
（3）［］=［2t+］=+=
（5）由微积分性质有：
［t］=（［］’）s=（）=
9.4利用拉氏变换的性质，计算：
（1）、f（t）=t；
（2）、f（t）=t；
解
（1）［］==
［t］=［］==
（2）［］=［］=
［t］=（）’=
9.5利用拉氏变换性质，计算：
（2）、=；（4）、=；
解
（2）=，令［］=f（t）
===（）=（tf（t））=（-tf（t）），故
［］=f（t）=
（4）由于·=，由积分的像函数性质［］=dt=
9.6、利用像函数的积分性质，计算；
（1）、f（t）=；
（2）dt；
解
（1）（）==，
［］=ds=d（）=arctan
（2）［］=，
［dt］=［］=ds=
9.8求下列像函数F（s）的拉氏变换：
（5）、；（7）、；
解（5）=
（7）=+=t+（t-2）u（t-2）
=
9.11利用卷积定理证明下列等式：
（1）、［］=［f（t）*u（t）］=；
（2）、=（a≠0）。
证
（1）［f（t）*u（t）］=［f（t）］*［u（t）］=F（s）·，
［f（t）*u（t）］=［］=［］=［］
（2）F（s）==·由=，=有f（t）==*
=·dt=·］dt
=+=+［］
=
《常微分方程》
第一章
2、验证函数y=cx+（c是常数）和y=2都是方程y=xy’+的解。
解证明：
y=cx+，y’=cxy’+=cx+=y。
Y=±2，y’=±xy’+=±2=y。
4、验证函数y=c1+c2（k、c1、c2是常数）是方程y”+k2y=0的解。
证明：
y=c1+c2y’=c1k+c2ky”=c1k2c2k2y”+k2y=c1k2c2k2+c1k2+c2k2。
6、dx+y；
解：
=及y±1。
8、y’=（1-y2）
解：
==+c=c
=ccos2xy=，y（0）==2c=y=。
9、求下列齐次方程的解；
解：
令y=ux,==
--=+c=cx=cx=cx
==c，及y=±x。
10、求下列齐次方程的解=（1+）；
解：
=（1+），令y=uxx+u=u（1+）x=u
du=dx=+c=cx，u=，x＞0y=x。
12、求下列齐次方程的解=2+，y
（1）=4；
解：
令y=ux，u≥0x+u=2+u=dx=+c=cx
=cx，y
（1）=4=c，c==x=2+。
13、求下列齐次方程的解xy’-y=，y
（1）=；
解：
令y=ux，x（x）-ux==若x＞0，=arc=+c；若x＜0，=arc=+c。
y
（1）==ux1=ux＞0arc=+c，c=
arc=。
14、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解=；
解：
y’+y=，p（x）=，f（x）=，==
y=（）=（）=+。
15、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解+2xy+x=，y（0）=2；
解：
+2xy+x=-x，p（x）=2x，f（x）=-x，=
y==（）
=（x-）=（c+x），y（0）=c=2c=-
17、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解--=0，y（0）=1；
解：
两边乘以y，y--=0，令z=
==x。
p（x）=，f（x）=x=
==，这里初值是x=0取＜1。
z=（）=（），=（）。
y（0）=1＞0。
y（0）==1
-1+c=1c=2y=。
19、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解（5ydx+）+dx=0
解：
（5ydx+）+dx=0=，=是全微分方程，u（x,y）=+=-++-=+-=c+=c
20、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解2（ydx+xdy）+xdx-5ydy=0，y（0）=1。
解：
（2y+x）dx+（2x-5y）dy=0=2，=2全微分方程，
u（x,y）=+
=x-+-+2xy-2x-+
=-+2xy--+=0-+4xy+=0
第二章
7、求下列方程的通解或特解y”-4y’=0
解：
-4λ=0，=0，=4，通解为y=+。
8、求下列方程的通解或特解y”+2y=0
解：
+2=0，=，=，通解为y=+c2。
9、求下列方程的通解或特解y”-2y’+y=0
解：
-2λ+1=0λ=1通解为y=（c1+c2x）。
10、求下列方程的通解或特解y”+4y’+13y=0
解：
+4λ+13=0，=-2+3i，=-2-3i，通解为（c1+c2）。
11、求下列方程的通解或特解y”-5y’+4y=0，y，y’。
解：
-5λ+4=0，=1，=4，则通解为y=+，于是我们有y’=+4，代入初始条件，于是有，那么解为：
y=4+
18、求下列方程的通解或特解y”+y=a（a是常数），y（0）=0，y’（0）=0；
解：
齐次方程的通解为=+c2，去特解=A，则A=a，所以y=+c2+a，y’=+，代入初值，得到，于是解为y=a+a
19、求下列方程的通解或特解y”+5y’+4y=20，y（0）=0，y’（0）=-2；
解：
齐次方程的通解为=+。
设特解为=A,
则A+5A+4A=20，代入初始条件，我们有，得到，那么解就为y=-4+2+2。
24、求下列方程的通解或特解y”+2y’+y=2
解：
齐次方程的通解为=（+），设特解为=A，于是有’=2AA，”=2A4A+A，则有A=1，
那么解为y=（++）。
26、求下列方程的通解或特解+x=，x=；
解：
齐次方程的通解为=+，
x’=++，代入初始条件就得到，
得到，于是解为x=-2
27、求下列方程的通解或特解+x=，a＞0；
解：
当a=1时，设特解为=A，此时有=，可得A=，于是就有解为x=+。
当a1时，设特解为=A，此时有=A，可得A=。
于是就有解为x=++。
28、求下列方程的通解或特解+3=2+；
解：
齐次方程的通解为=，设特解为=A+B，
可得=AB=AB。
于是就可得到A=，B=。
那么y=++
31、求下列方程的通解或特解2y”+5y’=cos2x
解：
齐次方程的通解为=，因为cos2x=，则我们设特解为=Ax，=B，于是可得到A=，B=，那么解为
y=+++
33、求下列方程的通解或特解y”-2y’+2y=；
解：
齐次方程的通解为=（+）。
设特解为=A，则有’=A（），”=-2Ai，于是可得A=，那么解为y=（+）+（）。
34、求下列方程的通解或特解y”+4y=x
解：
齐次方程的通解为=+，设特解为=x（Ax+B）。
则有”=［2A+4i（2Ax+B）-4（A+Bx）］，于是可得A=，B=，那么解为y=++。
填空题：
1.设，那末___e2cos1_①______，___e2sin1____②_______。
2.设,那么函数除了点z=__1__③__外处处解析,且=__-（Z）④_______。
3.微分方程的通解__sinx+c___⑤____，当满足条件时，__sinx+1___⑥_____。
4.设已知方程的齐次方程一解为、非齐次方程一解为，则方程的通解为____cx2_+x2_______⑦______________。
5.傅里叶变换性质：
F_F1（w）.F2（w）__⑧__，F__⑨_f1*f2__。
6.拉普拉斯变换有微分性质：
L____SF（s）_-f（0）_____⑩________。
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