完整版圆知识结构图.docx
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完整版圆知识结构图
第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
(一)圆的有关概念
1、圆(两种定义)、圆心、半径;
2、圆的确定条件:
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;
②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径;
4、圆弧(弧)、半圆、优弧、劣弧;
5、等圆、等弧,同心圆;
6、圆心角、圆周角;
7、圆内接多边形、多边形的外接圆;
8、割线、切线、切点、切线长;
9、反证法:
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。
(二)圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形,圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
*[引申]一条直线若具有:
Ⅰ、经过圆心;Ⅱ、垂直于弦;Ⅲ、平分弦;Ⅳ、平分弦所对的劣弧;Ⅴ、平分弦所对的优弧,这五个性质中的任何两条,必具有其余三条性质,即“知二推三”。
(注意:
具有Ⅰ和Ⅲ时,应除去弦为直径的情况)
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
归纳:
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。
③推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
(三)与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r,OP=d则:
点P在圆内
dd=r;点P在圆外
d>r.
2、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r,圆心O到l的距离为d则:
直线l与⊙O相交
d直线和圆有两个公共点;
直线l与⊙O相切
d=r
直线和圆只有一个公共点;
直线l与⊙O相离
d>r
直线和圆没有公共点。
3、圆与圆的位置关系
①如果两圆没有公共点,那么这两个圆相离,分为外离和内含;
如果两圆只有一个公共点,那么这两个圆相切,分为外切和内切;
如果两个圆有两个公共点,那么这两个圆相交。
②设⊙O1的半径为r1,⊙O2半径为r2,圆心距为d,则:
两圆外离
d>r2+r1;
两圆外切
d=r2+r1;
两圆相交
r2-r1<d<r2+r1(r2≥r1);
两圆内切
d=r2-r1(r2>r1);
两圆内含
0≤d<r2-r1(r2>r1)。
(四)圆的切线
1、定义:
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、性质:
①圆的切线到圆心的距离等于半径。
②定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、判定:
①利用切线的定义。
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理:
经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。
(五)圆与三角形
1、三角形的外接圆
(1)定义:
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
(2)三角形外心的性质:
①是三角形三条边垂直平分线的交点;②到三角形各顶点距离相等;③外心的位置:
锐角三角形外心在三角形内,直角三角形的外心恰好是斜边的中点,钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
(1)定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
(2)三角形内心的性质:
①是三角形角平分线的交点;②到三角形各边的距离相等;③都在三角形内。
(六)圆与四边形
1、由圆周角定理可以得到:
圆内接四边形对角互补。
*2、由切线长定理可以得到:
圆的外切四边形两组对边的和相等。
(七)圆与正多边形
1、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形,其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形与圆的关系
把圆分成n(n≥3)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这时圆叫做正n边形的外接圆。
3、正多边形的有关计算(11个量)
边数n,内角和,每个内角度数,外角和,每个外角度数,中心角αn,边长an,半径Rn,边心距rn,周长ln,面积Sn(Sn=1/2lnrn)
4、正多边形的画法
画正多边形的步骤:
首先画出符合要求的圆;然后用量角器或用尺规等分圆;最后顺次连结各等分点。
如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。
注意减少累积误差。
(八)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
=
(其中l为弧长)
(其中l为母线长)
(九)直角三角形的一个判定
如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
(十)本章常见的辅助线
课后反思