专题典型的尺规作图+简单几何证明.docx
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专题典型的尺规作图+简单几何证明
20题典型的尺规作图+简单几何证明
(一)
编辑:
天道酬勤
尺规作图专题复习
【知识回顾】
1尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图。
通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成。
2、五种基本作图:
①作一条线段等于已知线段;
②作一个角等于已知角;
③作已知线段的垂直平分线;
④作已知角的角平分线;
⑤过一点作已知直线的垂线;
一.题目一:
作一条线段等于已知线段
已知:
如图,线段a
求作:
线段AB,使AB=a
作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a
则线段AB就是所求作的图形。
二.题目二:
作已知线段的中点。
已知:
如图,线段MN
求作:
点O,使MO=NO(即O是MN的中点)
作法:
(1)分别以M、N为圆心,大于MN的相同线段为半径画弧,两弧相交于P,Q
(2)连接PQ交MN于O,则点O就是所求作的MN的中点.
三.题目三:
作已知角的角平分线。
已知:
如图,∠AOB,
求作:
射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
作法:
(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA,OB于M,N;
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的线段长为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;
(3)作射线OP.则射线OP就是∠AOB的角平分线。
四.题目四:
作一个角等于已知角。
已知:
如图,∠AOB。
求作;∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB
作法:
(1)作射线O'A'
(2)以O为圆心,任意长度为半径画弧,交OA于M,交OB于N
(3)以O'为圆心,以OM的长为半径画弧,交O'A'于M';
(4)以M'为圆心,以MN的长为半径画弧,交前弧于N'
(5)连接O'N'并延长到B'。
则∠A'O'B'就是所求作的角。
五.题目五:
经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知:
如图,P是直线AB上一点
求作:
直线CD,是CD经过点P,且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点Q
(3)过D、Q作直线CD.
则直线CD是求作的直线。
六.题目六:
经过直线外一点作已知直线的垂线
已知:
如图,直线AB及外一点P
求作:
直线CD,使CD经过点P,且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;
(2)分别以M、N圆心,大于MN长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q
(3)过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。
七.题目七:
已知三边作三角形。
已知:
如图,线段a,b,c
求作:
△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a
作法:
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心,以b为半径作弧,以B为圆心,
以a为半径作弧与前弧相交于C;
(3)连接AC,BC
则△ABC就是所求作的三角形。
八.题目八:
已知两边及夹角作三角形
已知:
如图,线段m,n,∠a
求作:
△ABC,使∠A=∠a,AB=m,AC=n
作法:
(1)作∠A=∠a;
(2)在AB上截取AB=m,AC=n;
(3)连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
九.题目九:
已知两角及夹边作三角形。
已知:
如图,∠a,∠B,线段m
求作:
△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠B,AB=m
作法:
(1)作线段AB=m;
(2)在AB的同旁作∠A=∠a,作∠B=∠B,∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形(三角形)
【考点练习】
1、如图107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法保留作图痕迹写出结论)
2、三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?
用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C作一条线平行于AB。
4、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,∠AOB画在方格纸上,请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。
5、已知线段AB和CD,如下图,求作一线段,使它的长度等于AB+2CD.
6、如图,已知∠A、∠B,求作一个角,使它等于∠A-∠B.
7、如图,画一个等腰△ABC,使得底边BC=a,它的高AD=h.
8、如图,有A,B,C三个村庄,现要修建一所希望小学,使三个村庄到学校的距离相等,学校的地址应选在什么地方?
请你在图中画出学校的位置并说明理由(保留作图痕迹).
9、如图,A、B两村在一条小河的的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置?
(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置?
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹.
10、如图,A为∠MON内一点,试在OM、ON边上分别作出一点B、C,使△ABC的周长最小.
11、如图,已知两点P、Q在锐角∠AOB内,分别在OA、OB上求点M、N,使PM+MN+NQ最短.
12、在AB上找一点P,使P到M、N两点的距离相等。
13、在直线MN上找一点P,使点P到射线0A和OB的距离相等。
14、如图,l1、12交于A点,P、Q的位置如图所示,试确定M点,使它到l1、12的距离相等,且到P、Q两点的距离也相等。
15、如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等.
16、如图,有三条交叉的公路,现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站,使得货运站到三条公路的路程一样长,请问如何确定货运站P的位置?
20题典型的尺规作图+简单几何证明
(二)
编辑:
天道酬勤
17题(八中):
如图,已知等边△ABC中边AB=10,按要求解答:
(1)尺规作图:
作∠PBA,使得∠PBA=30°,射线BP交边AC于点P.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在上图中,若点D在线段BP上,且使得AD=5
,求BD的长(结果保留根号).
18题(西师附中):
如图:
B,C分别为射线BA,CD的端点,连接BC,按要求完成下列各小题.(保留作图痕迹,不要求写作法,标明各顶点字母)
(1)在BC的右侧,作∠BCE=∠BCD,交射线BA于点E;
(2)在
(1)的条件下,求作△CBF(点F在∠BCD内)使得△CBF≌△BCE.
19题(一中):
如图,在△ABC中,AB=BC,AD=CE.
(1)尺规作图:
按要求完成下列作图,不写做法,保留作图痕迹,并标明字母.作∠ABC的平分线交AC于点F,连接DF、EF;
(2)在
(1)的条件下,若∠A=68°,∠DFB=2∠ABF,求∠CEF的度数.
20题(南开中学):
如图,在△ABC中,AB=8,∠ABC=300,∠ACB=450.
(1)用尺规作图的方法作出AC边的中垂线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求△ABC的面积
21题(西师附中):
如图,已知△ABC,sinB=
,∠C=15⁰(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
(1)在BC边上求作点P,连接PA,使∠PAC=150。
(2)在第
(1)问图中,过点A作BC边的垂线,交BC于点G,若AB=3,求CG的长。
22题(一中):
如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,满足AC⊥AB.
(1)尺规作图:
按要求完成下列作图,不写做法,保留作图痕迹,并标明字母:
①作线段AC的垂直平分线l分别交AD、BC于点E、F;
②连接CE;
(2)在
(1)的条件下,已知∠ABC=64°,求∠DCE的度数。
23题(南开中学):
如图所示,点A在∠MON的边OM上.
(1)尺规作图:
在射线ON上截线段OB,使得OB=3OA,连接AB,作△AOB的中线AC;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若OA=5,sin∠AOB=
,求tan∠ACO的值.
24题:
如图,CD是线段AB的垂直平分线,M是AC延长线上一点.
(1)在图中补充完整以下作图,保留作图痕迹:
作∠BCM的角平分线CN,过点B作CN的垂线,垂足为E;
(2)求证:
四边形BECD是矩形;
(3)AB与AC满足怎样的数量关系时,四边形BECD是正方形?
证明你的结论.
20题典型的尺规作图+简单几何证明(三)
编辑:
天道酬勤
25题(西师附中):
按要求完成下列各小题(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(1)如图1,请在△ABC的AC边上找一点P,使点P到AB和BC的距离相等;
(2)如图2,△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称,请找出中心对称O,并作出△A'B'C'.
26题(八中):
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AD∥BC.
(1)用尺规作线段BD的垂直平分线EF,分别交BD、BC于点E、F.(用基本作图,保留作图痕迹,不写作法、结论)
(2)连接DF,证明四边形ABFD为菱形。
27题(育才中学):
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
(1)尺规作图:
作AB边的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,连接DE
(2)若∠EBC=30°,EC=1,求四边形BCED的面。
28题(巴蜀中学)):
如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F分别在AO,DO上,且AE=DF。
(1)求证:
∠EBO=∠FCO
(2)若∠EBO=30°,CF⊥BD,BC=4
,求△COF的面积.
29题(育才):
如图,△ABC中,AB=AC,D在BC上,满足BD=CE,AC平分∠BCE.
(1)求证:
AD=AE
(2)若∠BAC=118°,∠OEC=100°,求∠EDC的度数
30题(巴蜀中学):
如图,在矩形ABCD中,点E是边BC上的点,AD=DE,AF⊥DE于点F.
(1)求证:
AF=CD;
(2)若CE=12,tan∠ADE=
,求EF的长
31题(十八中学):
如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:
四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
20题典型的尺规作图+简单几何证明(期末)
32题(八中):
如图,在口ABCD中,点E是CD边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,BE⊥AF.
(1)求证:
AE平分∠DAB
(2)若∠DAB=60°,AB=4,求□ABCD的面积.
33题(育才):
已知:
在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于D,AO平分∠BAC交BD干O,过O点作OE∥BC交AC于点E.
(1)求证:
BO=OC
(2)若∠BAC=56°,求∠DOE的度数
34题(巴蜀中学):
已知:
在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD和BC上,点G、H在对角线AC上,且BF=DE,AH=CG,连接FH、HE、EG、FG.
(1)求证:
FG=EH.
⑵若EG平分∠AEH,FH平分∠CFG,FG∥AB,∠ACD=68°,∠GFH=35°,求∠GHF的度数.
35题(巴南区保送生考试):
如图,D为∆ABC内一点,AB=AC,∠BAC=50°,将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合.
(1)求证:
EB=DC;
(2)若∠ADC=115°,求∠BED的度数.
36题(巴南):
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知AB⊥BD,CD⊥DB,AD=CB.
(1)求证:
∆ABD≌∆CDB:
(2)若∠BAO=30°,BO=1,求AC的长度.