高考数学 统计统计案例专题.docx
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高考数学统计统计案例专题
高考数学 统计、统计案例专题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列关系中，是相关关系的为（ ）
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①② B．①③C．②③D．②④
解析：
学生的学习成绩与学生的学习态度和教师的执教水平是相关的，与学生的身高和家庭经济条件不相关．
答案：
A
2．（2010·合肥模拟）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
解析：
①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．
答案：
A
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.6
解析：
平均数增加60，即为62.8.
方差＝
（ai＋60）－（
＋60）]2＝
（ai－
）2＝3.6.
答案：
D
4．为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法中正确的是（ ）
A．直线l1，l2有交点（s，t）
B．直线l1，l2相交，但是交点未必是（s，t）
C．直线l1，l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1，l2必定重合
解析：
由
＝
x＋
，
＝
－
可知，当x＝
时，
＝
，故回归方程过定点（
，
）．所以回归直线l1过点（s，t），回归直线l2也过点（s，t），所以l1与l2有交点（s，t）．
答案：
A
5．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为（ ）
A．3与3B．23与3C．3与23D．23与23
解析：
众数是23，排列数据得中位数也是23.
答案：
D
6．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ）
A．1000,0.50B．800,0.50C．800,0.60D．1000,0.60
解析：
据题意得第二小组的频率为1－（0.25＋0.20＋0.10＋0.05）＝0.4，且其频数为400，设高三年级男生总数为n，则有
＝0.4，∴n＝1000，体重正常的学生所占的频率为第二和第三小组频率之和，即0.2＋0.4＝0.6.
答案：
D
7．（2010·台州模拟）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为（ ）
A．50B．60C．70D．80
解析：
分层抽样要按比例抽取，A、B、C三种产品的数量之比为3∶4∶7，则抽取样本之比也应为3∶4∶7，所以A抽15件，B抽
×4＝20件，C抽
×7＝35件，故样本容量为15＋20＋35＝70.
答案：
C
8．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如
右图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩比乙的平均成绩高
B．甲的平均成绩比乙的平均成绩低
C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大
D．甲成绩的方差比乙成绩的方差小
解析：
由图可知甲的五次成绩分别为99,98,105,118,115，则可得甲成绩的平均数为107，方差为66.8；乙的五次成绩分别为95,106,108,112,114，则可得乙的平均成绩为107，方差为44.
答案：
C
9．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
解析：
相关指数越大，模型模拟效果越好．
答案：
A
10．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程
＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2的列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.
其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：
根据方差的计算公式，可知①正确，②③④不正确．
答案：
C
11．对“小康县”的经济评价标准：
①年人均收入不小于7000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下：
年人均
收入（元）
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
16000
人数（万人）
6
3
5
5
6
7
5
3
则该县（ ）
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
解析：
由图表可知：
年人均收入为
＝7050>7000，达到了标准①；年人均食品支出为
＝2695，
而年人均食品支出占收入的
×100%≈38.2%>35%，未达到标准②，所以不是小康县．
答案：
B
12．若两个分类变量x和y的列联表为：
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则x与y之间有关系的可能性为（ ）
A．0.1%B．99.9%C．97.5%D．0.25%
解析：
K2＝
≈18.822，
查表知P（K2≥10.828）≈0.001，
∴x与y之间有关系的可能性为1－0.001＝0.999.
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上）
13．甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图：
则甲、乙两班的最高成绩各是________，从图中看，______班的平均成绩较高．
答案：
96,92 乙
14．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自已的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x（千箱）与单位成本y（元）的资料进行线性回归分析，结果如下：
＝
，
＝71，
＝79，
iyi＝1481，
＝
≈－1.8182，
＝71－（－1.8182）×
≈77.36，则销量每增加1000箱，单位成本下降________元．
解析：
由分析可得，
＝－1.8182x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元．
答案：
1.8182
15．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成下图所示的频率分布直方图．据此估计全体考生中120分及以上的学生数为________．
解析：
由直方图可知成绩在120分以上的频率为10×0.0275＋10×0.01＋10×0.005＝10×0.0425＝0.425，则120分以上的学生为5000×0.425＝2125.
答案：
2125
16．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
甲
9.8
9.9
10.2
10.1
乙
9.7
10
10
10.3
其中产量比较稳定的水稻品种是________．
解析：
甲种水稻单位面积平均产量的平均值为10，则方差为
＝0.025；乙种水稻单位面积平均产量的平均值为10，则方差为
＝0.045；∵0.025＜0.045，所以甲种水稻产量比较稳定．
答案：
甲
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）某市对上、下班交通情况做抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速（单位：
km/h）如下：
上班时间：
30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20
下班时间：
27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30
用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数．
解：
根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图，如图所示：
上班时间 下班时间
由图可见，上班时间行驶时速的中位数是28，下班时间行驶时速的中位数是28.
18．（本小题满分12分）从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下（单位：
分）：
[40,50）,2；[50,60）,3；[60,70）,10；[70,80）,15；[80,90）,12，[90,100）,8.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60,90）分的学生比例；
（4）估计成绩在85分以下的学生比例．
解：
（1）频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
[40,50）
2
0.04
[50,60）
3
0.06
[60,70）
10
0.2
[70,80）
15
0.3
[80,90）
12
0.24
[90,100）
8
0.16
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如图所示：
（3）成绩在[60,90）的学生比例即为学生成绩在[60,90）的频率，0.2＋0.3＋0.24＝0.74，估计成绩在[60,90）分的学生约占74%.
（4）成绩在85分以下的学生比例即学生成绩不足85分的频率．设相应频率为b.
由
＝
，
故b＝0.72.
估计成绩在85分以下的学生约占72%.
19．（本小题满分12分）为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表：
喜欢饮酒
不喜欢饮酒
总计
男
101
45
146
女
124
20
144
总计
225
65
290
利用列联表的独立性检验是否有超过95%的把握认为饮酒与性别有关系？
解：
由列联表中的数据得
K2＝
≈11.953.
∵K2≈11.953>10.828，
∴有99.9%的把握认为“是否喜欢饮酒与性别有关”．
20．（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：
5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：
（1）总体平均数为
（5＋6＋7＋8＋9＋10）＝7.5.
（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
（5,6），（5,7），（5,8），（5,9），（5,10），（6,7），（6,8），（6,9），（6,10），（7,8），（7,9），（7,10），（8,9），（8,10），（9,10），共15个基本结果．
事件A包括的基本结果有：
（5,9），（5,10），（6,8），（6,9），（6,10），（7,8），（7,9），共有7个基本结果．
所以所求的概率为P（A）＝
.
21．（本小题满分12分）育新中学的高二一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽取的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出2名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？
并说明理由．
解：
（1）P＝
＝
＝
，
∴某同学被抽取的概率为
.
设有x名男同学，则
＝
，∴x＝3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
（2）把3名男同学和1名女同学记为a1、a2、a3、b，则选取两名同学的基本事件有
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种，其中有一名女同学的有6种，
∴选出的2名同学中恰有一名女同学的概率为P＝
＝
.
（3）
1＝
＝71，
2＝
＝71，
＝
＋
＝4，
＝
＋
＝3.2，
∴第二次做试验的同学的试验更稳定．
22．（本小题满分14分）（2010·无锡模拟）假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知
＝90，
＝140.8，
iyi＝112.3.
（1）求
，
；
（2）如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
解：
（1）
＝
＝4.
＝
＝5.
（2）
＝
＝
＝1.23，
＝
－
＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为
＝1.23x＋0.08.
（3）当x＝10时，
＝1.23×10＋0.08＝12.38（万元），
即估计使用10年时，维修费用约为12.38万元．
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