1122小学奥数练习卷知识点上楼问题含答案解析.docx

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1122小学奥数练习卷知识点上楼问题含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：

上楼问题）

题号

一

二

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人

得分

一．填空题（共12小题）

1．张师傅送快递，他每上一层楼平均需要2分钟．今天他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了　　分钟．

2．有一块长方形的菜地，宽为5米．一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有　　种跳法．

3．妈妈要去外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止．那么，小李有　　种不同的方法把糖吃完．

4．A、B二人比赛爬楼梯，A跑到四层楼时，B恰好跑到三层楼．照这样计算，A跑到十六层楼时，B跑到　　层楼．

5．小明拿了满分试卷高兴万分，回家三步并作两步走，从一楼到二楼家中共有14级台阶，小明每次上一级或两级台阶，那么从一楼到家总共有　　种不同的走法．

6．小明同学在上楼梯时发现：

若只有一个台阶时，有一种走法，若有二个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上二个台阶，共有两种走法，如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有三种走法，那么有四个台阶时，共有　　种走法．

7．小智回家要爬8级楼梯，他会一级一级爬，有时也会两级两级跨，那么他爬8级楼梯有　　种不同的走法．

8．猫向有10个台阶的楼上跑去，它一步上1阶或2阶，共有　　种不同上法．

9．小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有　　种不同登法．

10．一个楼梯共有10级台阶，小王一步可以迈一级台阶、或两级台阶，那么小王登上第5级台阶共有多少种方法？

11．小明要登上10级台阶，每步登上1级或2级台阶，共有　　种不同登法．

12．学校教学楼前有5级台阶．如果规定一步只能走一级或两级台阶，那么　　种不同的走法．

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人

得分

二．解答题（共15小题）

13．小美步行上楼梯的习惯是每次都只跨一级或两级．若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的步行上楼梯的方式？

14．游乐园门票5元一张，每人限购一张，现在有8个小朋友排队购票．其中4个小朋友每人只有5元的钞票一张，另4个小朋友每人只有10元的钞票一张，售票员没有准备零钱．问：

有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？

15．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层．星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动），那么，星星从一楼乘电梯至少按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？

写出一种乘坐顺序（答案不唯一）．

16．小军放学回家要路过一个有10个台阶的广场，如果上台阶时每步跨一个或两个台阶，当跨上第10个台阶时共有多少种不同的走法？

17．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同的上法共有多少种？

18．小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？

19．小畅家住在二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小畅上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？

20．小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？

21．学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？

22．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

23．一段楼梯共有12级，上楼梯每次跨两级或三级，上楼共有多少种走法？

24．小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？

25．一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

26．有一个十层台阶，若每一次可以上一层或两层，那么登上十层台阶共有多少种不同的办法？

27．有一楼梯共有10级，如规定每次只能跨上一级或二级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

参考答案与试题解析

一．填空题（共12小题）

1．张师傅送快递，他每上一层楼平均需要2分钟．今天他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了　42　分钟．

【分析】他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，一共上了7+9+5=21层楼，由此即可得出结论．

【解答】解：

因为每上一层楼平均需要2分钟，

所以他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了2×（7+9+5）=42分钟．

故答案为42．

【点评】本题考查上楼问题，考查学生的计算能力，解题的关键是求出一共上了7+9+5=21层楼．

2．有一块长方形的菜地，宽为5米．一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有　89　种跳法．

【分析】依此类推得到一个数组：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…；每一项都是前两项之和，即可得出结论．

【解答】解：

设青蛙跳x米需要f（x）步．推广该问题到一般情况，设地有x米

由于青蛙第一步的情况只有两种：

走0.5米，则后面剩下（x﹣0.5）米，需要f（x﹣0.5）步；

走1米，则后面剩下x﹣1米，需要f（x﹣1）步；

由于只有这两种可能，所以总部数f（x）=f（x﹣0.5）+f（x﹣1）；

其中f（0）=1，f（0.5）=1．

那么f

（1）=f（0.5）+f（0）=2，f（1.5）=f

（1）+f（0.5）=3；

依此类推得到一个数组：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…；每一项都是前两项之和，所以当x=5时；f（5）=89；

故答案为89．

【点评】本题考查上楼问题，考查规律的寻找，正确寻找规律是关键．

3．妈妈要去外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止．那么，小李有　89　种不同的方法把糖吃完．

【分析】利用列举法即可解答．

【解答】解：

根据题意可知，分以下几种不同的方法吃完

①每天吃1粒，10÷1=10（天）；10天吃完；共有1种吃法；

②每天吃2粒，10÷2=5（天）；5天吃完；共有1种吃法；

③其中有2天各吃1粒，（10﹣2）÷2=4（天）；6天吃完；从6天中选2天，共有15种吃法；

④其中有4天各吃1粒，（10﹣4）÷2=3（天）；7天吃完；从7天中选4天，共有35种吃法；

⑤其中有6天各吃1粒，（10﹣6）÷2=2（天）；8天吃完；从8天中选6天，共有28种吃法；

⑥其中有8天各吃1粒，（10﹣8）÷2=1（天）；9天吃完；从9天中选8天，共有9种吃法；

故答案为小李有89种不同的方法把糖吃完．

【点评】解题关键每天吃糖粒数和总的糖数．

4．A、B二人比赛爬楼梯，A跑到四层楼时，B恰好跑到三层楼．照这样计算，A跑到十六层楼时，B跑到　11　层楼．

【分析】因为A跑到四层楼是跑了（4﹣1）个楼层间隔，B恰好跑到三层楼，是跑了（3﹣1）个楼层间隔，由此得出B的速度是A的（3﹣1）÷（4﹣1）；再由A跑到第十六层楼时是跑了（16﹣1）个楼层间隔，进而求出B跑的楼层间隔数，从而求出B跑到第几层楼．

【解答】解：

（16﹣1）×[（3﹣1）÷（4﹣1）]+1，

=15×

+1，

=10+1，

=11（层），

答：

A跑到第十六层楼时，B跑到第11层楼；

故答案为：

11．

【点评】解答此题的关键是知道楼层的间隔数等于跑到的楼层数减1，由此再根据基本的数量关系解决问题．

5．小明拿了满分试卷高兴万分，回家三步并作两步走，从一楼到二楼家中共有14级台阶，小明每次上一级或两级台阶，那么从一楼到家总共有　610　种不同的走法．

【分析】走一阶有1种方法，走2阶有2种方法，走3阶有3种方法，4走阶有5种方法，…然后可得出规律：

从走3阶开始，每次是前面两阶的和，据此解答．

【解答】解：

根据题意列出各级楼梯的走法如下：

括号里面的数字表示每次上楼梯走的级数，1个算式或数表示一种走法：

第一级：

1种

（1）

第二级：

2种（1+1，2）

第三级：

3种（1+1+1，2+1，1+2）

第四级：

5种（1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2）

第五级：

8种（1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1）

第六级：

…

其规律为：

从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和．

1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610．

答：

从一楼到家总共有610种不同的走法．

故答案为：

610．

【点评】本题考查了裴波那契数列的灵活应用，裴波那契数列是：

从第3项开始，每项是前面两项的和．

6．小明同学在上楼梯时发现：

若只有一个台阶时，有一种走法，若有二个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上二个台阶，共有两种走法，如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有三种走法，那么有四个台阶时，共有　5　种走法．

【分析】根据题意可知：

当有四个台阶时，可分情况讨论：

①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．

【解答】解：

当有四个台阶时，可分情况讨论：

①逐级上，那么有一种走法；

②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有：

1、1、2；1、2、1；2、1、1；

共三种走法；

③一步走两个台阶，只有一种走法：

2、2；

综上可知：

共1+3+1=5种走法．

故答案为：

5．

【点评】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答；如果继续探究下去可知实际上台阶的上法组成的数列恰好是著名的斐波那数列，即从台阶数3开始，走法是前两个台阶数上法的总和．

7．小智回家要爬8级楼梯，他会一级一级爬，有时也会两级两级跨，那么他爬8级楼梯有　34　种不同的走法．

【分析】本题先从最简单的情况入手，找出排列规律，然后再解答就比较容易了，据此解答即可．

【解答】解：

第一级：

只跨1步，有1种；

第二级：

（1、1），

（2），有2种；

第三级：

（1、1、1），（1、2），（2、1），有1+2=3种；

第四级：

（1、1、1、1），（1、1、2），（2、1、1），（2、2），（1、2、1），有2+3=5种；

第五级：

…有3+5=8种；

可以发现从第三次开始，后一种情况总是前两种情况的和；

所以，第六级：

有5+8=13种；

第七级：

有8+13=21种；

第八级：

有13+21=34种；

答：

他爬8级楼梯有34种不同的走法．

故答案为：

34．

【点评】本题考查了裴波那契数列，实际这就是著名的兔子数列，它的规律是：

从第三项开始，后一种情况总是前两项的和．

8．猫向有10个台阶的楼上跑去，它一步上1阶或2阶，共有　89　种不同上法．

【分析】从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解．

【解答】解：

递推：

登上第1级：

1种

登上第2级：

2种

登上第3级：

1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）

登上第4级：

2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）

登上第5级：

3+5=8种

登上第6级：

5+8=13种

登上第7级：

8+13=21种

登上第8级：

13+21=34种

登上第9级：

21+34=55种

登上第10级：

34+55=89种．

故答案为：

89．

【点评】此题考查排列组合的实际运用，掌握递推法是解决问题的关键．

9．小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有　28　种不同登法．

【分析】把15级台阶，分每步只登上2级、每步只登上3级台阶，或每步登上2级或3级台阶三种情况按乘法原理计数，然后根据加法原理解答即可．

【解答】解：

因为15不是2的倍数，所以不可能每步只登上2级，所以只有0种；

每步只登上3级台阶：

15=3×5，走5步，只有1种走法；

每步登上2级或3级：

①15=3×3+3×2，共走3+3=6步，其中登2级的走3步，走3级的3步，共有：

=20种；

②15=1×3+6×2，共走1+6=7步，其中登2级的走6步，走3级的1步，共有：

=7种；

综合上述可得，共有：

1+20+7=28（种）

答：

共有28种不同登法．

【点评】本题是比较复杂的乘法原理和加法原理的综合应用，关键是先确定先分类，再计数．本题还可以根据裴波那契数列解答：

即上第n个台阶的登法，等于上第n﹣1个台阶的登法与上第n﹣2个台阶的登法的和．

10．一个楼梯共有10级台阶，小王一步可以迈一级台阶、或两级台阶，那么小王登上第5级台阶共有多少种方法？

【分析】根据题意可知：

当有四个台阶时，可分情况讨论：

①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共四种走法，所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．

【解答】解：

当有五级台阶时，可分情况讨论：

①逐级上1个，那么有一种走法；

②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有：

1、1、1、2；

1、1、2、1；

1、2、1、1；

2、1、1、1；

1、2、2；

2、2、1；

2、1、2；

共7种走法；

7+1=8（种）

综上可知：

共8种走法．

答：

小王登上第5级台阶共有8种方法．

【点评】解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答．

11．小明要登上10级台阶，每步登上1级或2级台阶，共有　89　种不同登法．

【分析】这是一道菲波那契数列的应用题目，解答时，可以采用化繁为简的方法，用列举的方法先找出登上级数少的1级、2级、3级、4级各有几种方法，再在此基础上运用找规律的方法得出结果．[因为每次跨到n级，只能从（n﹣1）或（n﹣2）级跨出．根据加法原理得到跨到第1、2、3、4、5、6、7、8、9、10级的方法依次为：

1、2、3、5、8、13、21、34、55、89．

【解答】解：

当跨上1级楼梯时，只有1种方法，

当跨上2级楼梯时，有2种方法，

当跨上3级楼梯时，有3种方法，

当跨上4级楼梯时，有5种方法，

…以此类推；

最后，得出数列1、2、3、5、8、13、21、34、55、89；发现从第三个数开始，每个数都是前面两个数的总和；

这样，到第10级，就有89种不同的方法．

答：

从地面登上第10级，有89种不同的方法．

故答案为：

89．

【点评】此题采用用递推法，抓住数的变化规律解决问题．

12．学校教学楼前有5级台阶．如果规定一步只能走一级或两级台阶，那么　8　种不同的走法．

【分析】实际上此题的解答可用一一列举的方法即可．

【解答】解：

走完这5级台阶情况：

11111，

2111，

1211，

1121，

1112，

122，

212，

221，

共8中情况；

故答案为：

8．

【点评】比较简单的排列组合，可采用列举法解决问题．

二．解答题（共15小题）

13．小美步行上楼梯的习惯是每次都只跨一级或两级．若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的步行上楼梯的方式？

【分析】从一级，两级，三级，四级…研究找出规律，即从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和；道理很简单，但你可能绕不明白，比如：

考虑最后一步，有两种走法，要么上一级，要么上两级，上一级的话，就是前面走了8级，上两级的话就是前面走了7级，所以9级的走法就等于8级的走法加上7级的走法．

【解答】解：

1级有：

1种；1

2级有：

2种；2

3级有：

3种，111，12，21；1+2=3

4级有：

5种，1111，112，121，211，22；2+3=5

你可以发现：

从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和，所以：

5级有：

8种，3+5=8

6级有：

13种，5+8=13

7级有：

21种，8+13=21；

8级有：

34种，13+21=34；

9级有：

55种，21+34=55；

答：

从最底下上到上面共有55种不同的上法．

【点评】本题的解答关键是：

在方法上，要从个别现象研究得出一般规律即从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和．

14．游乐园门票5元一张，每人限购一张，现在有8个小朋友排队购票．其中4个小朋友每人只有5元的钞票一张，另4个小朋友每人只有10元的钞票一张，售票员没有准备零钱．问：

有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？

【分析】作出图形，得出图中从A到B有多少种不同走法，如图示共有14种走法，考虑4个拿5元和10元小朋友的排序情况，所以走法又有4！

×4！

种排队方法，即可得出结论．

【解答】解：

先将拿5元钱的小朋友看成是相同的，将拿10元钱的小朋友看成是相同的．在右图中，每条小横线段代表拿5元钱的小朋友，小竖线段代表拿10元钱的小朋友．

因为从A点沿格线走到B点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求右图中从A到B有多少种不同走法，如图示共有14种走法．

考虑4个拿5元和10元小朋友的排序情况，所以走法又有4！

×4！

种排队方法，所以共有14×4！

×4！

=8064种．

【点评】本题考查上楼问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．

15．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层．星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动），那么，星星从一楼乘电梯至少按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？

写出一种乘坐顺序（答案不唯一）．

【分析】从一楼到第43楼，共有楼层：

43﹣1=42（层），设星星上楼到组委会共按“上楼”x次，“下楼”共按y次．

根据题意得不定方程8x﹣11y=42化简y=

，可知，星星上楼到组委会至少共要按按钮：

8+2=10（次），即可得出结论．

【解答】解：

从一楼到第43楼，共有楼层：

43﹣1=42（层）

设星星上楼到组委会共按“上楼”x次，“下楼”共按y次．

根据题意得不定方程

8x﹣11y=42化简y=

当x取8时，y=2；

当x取19时，y=10；…

可知，星星上楼到组委会至少共要按按钮：

8+2=10（次）

如果连续按6次“上楼”的按钮，6×8+1=49（层）

（49﹣43）÷（11﹣8）=2，即要按“上楼”和“下楼”按钮各2次

按按钮10次的顺序，只要开始所上的楼层，够下，不至于停，就可以按“下楼”，所以其顺序并不是唯一的．如：

①1上→9上→17上→25上→33上→41上→49下→38下→27上→35上→43

②1上→9上→17上→25下→14下→3上→11上→19上→27上→35上→43

…

【点评】本题考查上楼问题，考查不定方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．小军放学回家要路过一个有10个台阶的广场，如果上台阶时每步跨一个或两个台阶，当跨上第10个台阶时共有多少种不同的走法？

【分析】根据题意，算出台阶数比较少时，登上台阶共有的不同的办法，然后看看这些数字有和规律，再根据找出的规律，进行解答．

【解答】解：

登上1层台阶共有1种不同的办法，

登上2层台阶共有2种不同的办法，

画图如下，

上表的下面一列数列中，从第三个数起，每个数字都是前面两个数的和，

所以，34+55=89（种）；

答：

登上十层台阶共有89种不同的办法．

【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，即可解答．

17．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同的上法共有多少种？

【分析】如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，求出当n=1，2，3，4时不同的走法，找出规律即可求解．

【解答】解：

如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：

①当n=1时，显然只要1种跨法，即a1=1．

②当n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的跨法，即a2=2．

③当n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即a3=4．

④当n=4时，分三种情况分别讨论：

如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a3=4（种）跨法．

如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2=2（种）跨法．

如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1=1（种）跨法．

根据加法原理，有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7

类推，有a5=a2+a3+a4=2+4+7=13；

a6=a3+a4+a5=4+7+13=24；

a7=0；

a8=a5+a6=13+24=37；

a9=a6+a8=24+34=61；

a10=a8+a9=37+61=98；

a11=a8+a9+a10=37+61+98=196；

a12=a9+a10+a11=61+98+196=355；

a13=a10+a11+a12=98+196+355=649；

a14=a11+a12+a13=196+355+649=1200；

a15=0，

a16=a13+a14=649+1200=1849．

答：

不同的上法共有1849种．

【点评】本题考查的是排列与组合问题，分别根据排列与组合原理求出当n=1，2，3，4…时不同的走法，找出规律，是解答此题的关键．

18．小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？

【分析】上第1级有1种方法，

上第2级有1、1，和2这2种方法，

上第3级，可以从第1级上1、1或2，或第2级上1这3种方法，3=1+2，

同理，

上第4级2+3=5种方法，

上第5级3+5=8种方法，

上第6级5+8=13种方法，

上第7级8+13=21种方法，

上第8级13+21=34种方法，

上第9级21+34=55种方法

上第10级34+55=89种方法．

这个走法随着台阶的增多，依次为：

1、2、3、5、8、13、21、34、55、89

由此得出：

从第三项开始，每项=他之前的两项的和．

【解答】解：

第一台阶有1种走法，

第二台阶有2种走法，

第三台阶有1+2=3种走法，

第四台阶有2+3=5种方法，

…

即斐波那契数列

依次有：

1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987；

共有987种不再的走法

答：

共有987种不同的登法．

【点评】此题考查了排列组合，锻炼了学生的创新思维能力．

19．小畅家住在二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小畅上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？

【分析】设按照一步可以上一级，也可