高中数学人教版必修二第二章.docx

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高中数学人教版必修二第二章

第二章点、直线、平面之间的位置关系

A组

一、选择题

1．设，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l

，m

，有如下的两个命题：

①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么（）．

A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题D．①②都是假命题

2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：

①m∥，n∥且∥，则m∥n；②m⊥，n⊥且⊥，则m⊥n；

③m⊥，n∥且∥，则m⊥n；④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．

其中真命题的序号是（）．

A．①②B．③④C．①④D．②③

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线

其中假命题的个数是（）．

A．1B．2C．3D．4

5．下列命题中正确的个数是（）．

①若直线l上有无数个点不在平面，则l∥

②若直线l与平面平行，则l与平面的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面平行，则l与平面的任意一条直线都没有公共点

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）．

A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）．

A．90°B．60°C．45°D．30°

8．下列说法中不正确的是（）．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B．同一平面的两条垂线一定共面

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

②如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直

其中真命题的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的围为（　）．

A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]D．[30°，120°]

二、填空题

11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．

12．P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．

（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；

（2）PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；

（3）若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；

（4）若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；

（5）若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．

13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．

14．直线l与平面所成角为30°，l∩＝A，直线m∈，则m与l所成角的取值围

是．

15．棱长为1的正四面体有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．

16．直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，各有一条射线AB，AC与l成45°，AB

，AC

，则∠BAC＝．

三、解答题

17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（1）求证：

BC⊥AD；

（2）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；

（3）设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD的体积最大．（不要求证明）

18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

（1）求证：

平面EDB⊥平面EBC；

（2）求二面角E－DB－C的正切值.

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，

SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝

．

（1）求四棱锥S—ABCD的体积；

（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

（提示：

延长BA，CD相交于点E，则直线SE是

所求二面角的棱.）

（第19题）

20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．（提示：

在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.）

（第20题）

第二章点、直线、平面之间的位置关系

参考答案

A组

一、选择题

1．D

解析：

命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，

l

，m

，

且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，（第1题）

故②是假命题；命题①显然也是假命题，

2．D

解析：

异面直线AD与CB1角为45°．

3．D

解析：

在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．

4．D

解析：

利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．

5．B

解析：

学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB

平面ABCD，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．（第5题）

6．B

解析：

设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.

7．C

解析：

当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．

8．D

解析：

A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．

9．B

解析：

因为①②④正确，故选B．

10．A

解析：

异面直线

，

所成的角为60°，直线

⊥

，过空间任一点P，作直线a’∥a，b’∥b，c’∥c.若a’，b’，c’共面则b’与c’成30°角，否则

’与

’所成的角的围为（30°，90°]，所以直线b与c所成角的围为[30°，90°]．

二、填空题

11．

．

解析：

设三条侧棱长为a，b，c．

则

ab＝S1，

bc＝S2，

ca＝S3三式相乘：

∴

a2b2c2＝S1S2S3，

∴abc＝2

．

∵三侧棱两两垂直，

∴V＝

abc·

＝

．

12．外，垂，，中，BC边的垂直平分．

解析：

（1）由三角形全等可证得O为△ABC的外心；

（2）由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的垂心；

（3）由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的心；

（4）由三角形全等可证得，O为AB边的中点；

（5）由

（1）知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在∠BAC的平分线上．

13．60°．

解析：

将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．

14．[30°，90°]．

解析：

直线l与平面所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．

15．

．

解析：

作等积变换：

×（d1＋d2＋d3＋d4）＝

·h，而h＝

．

16．60°或120°．

解析：

不妨固定AB，则AC有两种可能．

三、解答题

17．证明：

（1）取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，

∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，

∴BC⊥平面AOD．又AD

平面AOD，

∴BC⊥AD．（第17题）

解：

（2）由

（1）知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．

∵BC⊥平面ADO，且BC

平面ABC，

∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，

∴DE⊥平面ABC．

∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．

又DO＝

BD＝2

，

在Rt△DEO中，sin＝

＝

，

故二面角A－BC－D的正弦值为

．

（3）当＝90°时，四面体ABCD的体积最大．

18．证明：

（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴

，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－

中，BC⊥平面

，又DE

平面

，

∴BC⊥DE．又

，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

（2）解：

如图，过E在平面

中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－

中，∵面ABCD⊥面

，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝

，（第18题）

又OE＝1，所以，tan

EFO＝

．

19*．解：

（1）直角梯形ABCD的面积是M底面＝

＝

，

∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝

·SA·M底面＝

×1×

＝

．

（2）如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱．

∵AD∥BC，BC＝2AD，

∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线．

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB

上的射影，

∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角．

∵SB＝

＝

，BC＝1，BC⊥SB，

∴tan∠BSC＝

，（第19题）

即所求二面角的正切值为

．

20*．解：

如图，设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO＝6．

∴V斜＝S△PQR·AA1＝

·QR·PO·AA1

＝

·PO·QR·BB1

＝

×10×6

＝30．