A
PD
B
在AC上取点E，
使AE＝AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCD
C
F
A
EB
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM（AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON（SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线
交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
P
C
E
D
AB
做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
∠C=2∠B
A
C
DB
延长AC到E
使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相
A
等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
E
OD
BC
证明：
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE＝BE
∴BE＝DC
∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长
线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
F
A
E
D
BC
证明：
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：
∠ECA=∠GBA（同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
DEFC
AB
证明：
∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
A
F
B
MC
E
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、（10分）如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
A
D
B
C
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
A
D
BC
F
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、（12分）如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
AB
F
E
CD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁
各有一只小石凳
在一条直线上.
E，F，M，且
BE＝CF，M在
BC
的中点，试说明三只石凳
E，F，M恰好
证明：
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE
31．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE
≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴：
△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
D
E
AC
F
B
连接BD；
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF；
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
D
A
1
5
3
C
2
E6
4
B
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：
如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
求证：
BE=CD．
C
D
F
EA
证明：
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS）
∴BE=CD
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF．
A
E
F
BDC
证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知：
如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD
的长？
A
D
E
BC
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
38．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
A
EF
BMC
证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．
39.如图，给出五个等量关系：
①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤
DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论
（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：
△DAB≌△CBA
证明：
∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C
，且
ADMN于D，
BEMN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①
ADC≌CEB；
②DEADBE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2
立吗？
若成立，请给出证明；若不
的位置时，
（1）中的结论还成
成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+
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