用割补法求面积.docx
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用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进
行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：
分析与解：
（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下
图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB
弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
nX4X4-444弋=4.56。
5的四分之一
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为
个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正
好等于一个正方形的面积，为5X5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段
（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：
阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角
形拼咸一个长方形（见下图）•显然，阴影部分正奸是弋方形的$所以原题阴影部分占整个图形面积的|・
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
显鬻图中阴影面积占平行四边形面积的卜根据商不变性质.将阴影面
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
所以阴影部分占整个图形面积的
注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三
角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上
底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：
因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角
三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右
下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形
面积的4倍。
所以所求梯形面积是（9X9-5X5）詔=14（厘米2）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解：
题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。
因为A与A',B与B'面积分别相
等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4X6=24，所以甲的面积，即所求矩形的
面积也是24。
例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面
积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
乙
*VJ
20
分析与解：
如果从甲正方形中挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A,B,
C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。
把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2,宽是40+20=2（厘米）。
这个宽恰好是两个正方形的边
长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）+2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9X9=81
（厘米2）。
练习22
1•求下列各图中阴影部分的面积:
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米,
求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形
（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2,上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
5•下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大
45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
6•求下图（单位：
厘米）中四边形ABCD的面积。
五年级奥数专题二十一:
用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它
能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图
形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：
厘米）重叠在一起，求阴影部分
的面积。
分析与解：
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角
形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求
阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘
米），面积为（7+10）X2-2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角
形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10X8吃+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD
的面积大
18厘米2。
求ED的长。
E
人
分析与解：
求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后,
其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）X5-2=36（厘米2）,
三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）,
EC=1刖6X2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4下页上图中，ABCD是7X4的长方形，DEFG是10X2的长方形，求三角形
BCO与三角形EFO的面积之差。
分析：
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。
如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，
那么问题就解决了。
解法一：
连结B,E（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,
则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4X（10-7）弋-2X
（10-7）吃=3。
解法二：
连结C,F（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,
则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4X（10-7）弋-2X
（10-7）吃=3。
解法三：
延长BC交GF于H（见下页左上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加
上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为（4+2）
X（10-7）吃-2X（10-7）=3。
解法四：
延长AB,FE交于H（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4X
（10-7）-（10-7）X（4+2）吃=3。
［
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面
积。
分析与解：
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方
形的边长没关系。
连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形
ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4X4吃=8（厘米2）。
练习21
1•左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线
EF，组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少?
2.右上图（单位：
厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3•左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD
的面积。
（n=3.14）
4.在右上图的三角形中，D,E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5•下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角
形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD
的长。
7下圈中，三角形ABC的面积是引厘米-AE=ED,BD=-3C,求阴3影部
分的面积和。
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