行程一 相遇追及多次电车问题.docx

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行程一相遇追及多次电车问题

行程

（一）相遇追及（多次）、电车问题

一、知识地图

简单相遇追及

匀速直线行程多次相遇追及

（包括火车过桥）

发车间隔问题

多次相遇追及环形线路行程

（包括钟表问题）

二、基础知识

在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。

同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。

（一）典型的相遇和追及

所有行程问题是围绕“

”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：

；

；

这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。

（二）多次相遇追及

通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律

这部分内容涉及以下几个方面：

1求相遇次数

2求相遇地点

3由相遇地点求全程

“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

举个例子：

假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。

我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。

为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。

折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：

例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。

折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。

通过计算，我们能得出：

甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。

相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。

第二次相遇发生的时间为108分钟。

事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：

如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。

同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。

第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。

注意：

如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。

（三）发车间隔问题

有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：

行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇（追及）事件时间间隔。

这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：

1.我们首先分析一下公共汽车的发车过程：

从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经开走了“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“一个汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为“相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式：

2.与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向（反向）行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：

同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：

三、经典透析

【例1】甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。

求A，B两地的距离。

【例2】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。

已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？

【例3】铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：

军人与农民何时相遇？

【例4】一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇。

A、B两地之间的距离是多少千米？

【例5】如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。

甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

【例6】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米。

甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点。

此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？

【例7】A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。

每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。

已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。

问：

（1）8：

30、9：

00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？

（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？

【例8】某人以匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车。

他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过。

问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？

【例9】小峰骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，于是只好坐出租车去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果这三种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车？

四、拓展训练：

1.甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。

上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。

问：

（1）从学校到体育场的距离是多少？

（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？

2.（2007年希望杯）两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。

甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？

3.（2007年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。

已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？

4.A、B两地相距1000米，甲从

地、乙从

地同时出发，在

、

两地间往返锻炼。

乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。

在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？

最近距离是多少？

5.甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。

如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇（不包括追上）多少次？

6.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。

甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。

如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？

7.A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地。

途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D。

CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？

8.下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。

甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。

两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？

9.小乐步行去学校的路上注意到每隔4分钟就遇到一辆迎面开来的公交车，到了学校小乐发现自己忘记把一件重要的东西带来了，只好借了同学的自行车以原来步行三倍的速度回家，这时小乐发现每隔12分钟有一辆公交车从后面超过他，如果小乐步行、骑车以及公交车的速度都是匀速的话，那么公交车站发车的时间间隔到底为多少？

10.从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。

甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。

甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。

那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

行程

（二）平均速度、变速度、流水、电梯

一、知识地图

变速直线行程（求平均速度）

流水行船

不同参照系的行程

自动扶梯

在前一讲中，我们讨论了行程问题中典型的相遇和追及问题以及这类问题的拓展——多次相遇和公交车发车间隔问题，细心的读者应该注意到，前一讲讨论的问题中所涉及人或车辆的运动速度都是不变的，但是在我们的实际生活中，不会出现真正意义上的匀速运动，这时我们就要引入“平均速度”这一概念：

二、基础知识

（一）和平均速度有关的题

公式中的“总路程”“总时间”“平均速度”都是相对应的，例如：

一辆卡车从A地到B地所花时间为T1，再从B地到C地所花时间为T2，那么这辆卡车在AB之间的平均速度

，BC间的平均速度为

，而AC间的平均速度为

。

（二）注意，平均速度不是多段路程上不同速度的简单平均值，一般有关平均速度的问题，仅给出部分路段行驶速度，而缺省路程或时间的数量条件。

根据缺省条件的不同可以将求平均速度的题目分为两类：

一类题目缺少路程条件，但给出了时间（或时间比）；另一类缺少时间条件，但给出了路程（或路程比）。

前一类题目应该设总时间为特定的数值。

对于后一类题目，我们通常使用假设总路程为特定数值的方法来解题，但无论用什么方法解答哪一类问题，都应该根据公式，将各个数量化为总路程和总时间的比后再求平均速度。

流水和电梯

涉及速度的变化不得不提在不同参照系中速度的变化，典型的问题有“流水行船问题”和“自动扶梯行走问题”。

流水问题是研究船在顺水和逆水中船只速度关系问题，流水问题的典型之处在于船在河流中航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推动或阻滞，所以顺流而下的速度和逆流而上的速度不同，行船速度除了跟船只本身的速度有关外，还受到河流中的流水速度的影响。

逆水船速=静水船速-水流速度；

顺水船速=静水船速+水流速度；

由以上两条关系式结合和差原理，能得到以下两个公式：

静水船速=

水流速度=

除此以外，在流水行船问题中还经常运用到一条性质：

河流漂流物体速度=水流速度。

流水行船问题中的相遇与追及问题看似复杂，但所涉及的量仍遵循相遇问题或追及问题中的数量关系，我们举个例子，在一条河流的上下游有甲、乙两个港口，相距120千米，一艘游船从甲港出发往下游航行，与此同时一艘快艇从乙港出发往上游航行，已知游船的静水速度为15千米/小时，快艇的静水速度为25千米/小时，求经过多长时间两船相遇？

这道题只给出了两艘船的静水速度，而要求相遇的时间必须知道船的实际速度。

当然，实际速度可以由船的静水速度和水速计算得到，所以我们只要知道流水的速度就能求出两艘船的实际速度，为了研究这个问题，我们将不同水速下的相遇情况列表：

流水速度

游船实际速度

快艇实际速度

两船速度和

相遇时间

0千米/小时

15千米/小时

25千米/小时

40千米/小时

3小时

5千米/小时

20千米/小时

20千米/小时

40千米/小时

3小时

10千米/小时

25千米/小时

15千米/小时

40千米/小时

3小时

15千米/小时

30千米/小时

10千米/小时

40千米/小时

3小时

之所以有以上结论，是因为在流水环境中，甲乙两船的速度有如下数量关系。

甲船顺（逆）水速度+乙船逆（顺）水速度

=（甲船速±水速）+（乙船速

水速）

=甲船静水船速+乙船静水船速。

同样的在追及问题也有类似的数量关系：

甲船顺（逆）水速度-乙船顺（逆）水速度

=（甲船速±水速）-（乙船速±水速）

=甲船静水船速-乙船静水船速。

由此我们能总结出一个一般性的结论：

水速对相向行驶的两船速度和或同向行驶的两船速度差没有影响，所以水速对于相遇和追及的时间不产生影响。

（三）自动扶梯问题

与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：

顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度

逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度

与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺（逆）水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥赛题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”，所以处理资料的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单。

这两种度量统一于流水行船的数量关系：

顺水行程=顺水速度×时间顺水行程=（船速+水速）×时间

扶梯长度=顺向速度×时间扶梯长度=（人速+梯速）×时间

或者：

逆水行程=逆水速度×时间逆水行程=（船速-水速）×时间

扶梯长度=逆向速度×时间扶梯长度=（人速-梯速）×时间

结合后一种度量，有以下数量关系式：

扶梯长度=人速×顺向时间+梯速×顺向时间

或者：

扶梯长度=人速×逆向时间-梯速×逆向时间

在解决自动扶梯问题时，通常的解法是利用后面两个关系式作为等量关系来列方程，这里最关键的是求出时间比。

一般而言，时间比可以通过所走的路程与速度进行计算。

例如：

“甲上楼行走的速度是乙下楼行走速度的3倍，甲上楼走了54级，乙下楼走了36级。

”由这一组条件，我们可以求出甲上楼与乙下楼所用的时间的比为：

所以，如果题中再给出“扶梯是从上往下行驶”的话，可以列出方程：

54-x=36+2x

这里，其实运用了量化思想，即把比的份数代替数量进行运算。

实际上，这里如果作一般性的考虑，应该把甲的速度设为3a，乙的速度设为a，可以说，这又是一种设而不求的思想在里面。

我们容易知道：

正所谓殊途同归！

三、经典透析

【例1】有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。

某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度。

【例2】老王开汽车从A到B为平地，车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时。

已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D的平均速度是多少？

【例3】某司机开车从A城到B城。

若按原定速度前进，则可准时到达。

当路程走了一半时，司机发现前一半行程中，实际平均速度只达到原定速度的

。

如果司机想准时到达B城，那么在后一半的行程中，实际平均速度与原定速度的比应是多少？

【例4】某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天。

问水从甲地流到乙地用了多少时间？

【例5】船往返于上下游的两港之间，顺水而下需要用10小时，逆水而上需要用15小时。

由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？

【例6】江上有甲、乙两码头，相距15千米。

甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。

又行驶了1小时，货船上有一物品掉入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。

则游船在静水中的速度为每小时多少千米？

【例7】甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD=100米，AB=80米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP=CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？

【例8】（2006年南京智力数学冬令营）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级。

【例9】在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。

自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍。

则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少？

四、拓展训练

1.甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以每小时4.5千米的速度走了路程的一半，又以每小时5.5千米的速度走完了另一半，乙班用一半时间以每小时4.5千米的速度行进，另一半时间以每小时5.5千米的速度行进。

问：

甲、乙两个班谁将获胜？

2.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为40千米/小时，要使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，那么剩下的路程应该以什么速度行驶？

3.学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。

已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。

问：

他们一共走了多少路？

4.从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。

小明上学走两条路所用的时间一样，如果下坡的速度是平路的

倍，那么上坡的速度是平路的多少倍。

5.（2007年第五届“走进美妙的数学花园”决赛）今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处。

甲、乙两船分别从A、B两港同时出发，都向上游航行。

甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游。

甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品。

当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。

已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍。

当甲船调头时，甲船已航行多少千米？

6.两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇。

已知水流速度是4千米／小时。

求：

相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？

7.（实验中学阶段测试题）某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？

8.在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。

小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面。

从站台到地面有多少级台阶？

。

9.小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级。

如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端（很危险哦，不要效仿!

），用下楼时5倍的速度需要走60级才能走到上端。

请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级？

10.小志与小刚两个孩子比赛登自动扶梯，他俩攀登自动扶梯上的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，自动扶梯运行后，他俩沿自动扶梯运行方向的相同方向从一楼登上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的自动扶梯需要用时多少秒？