②在自变量范围内对于任意的xi都存在X2,使得xi所对应的函数值yi与X2所对应的函数值y2相
等.我们就称yi与y2这两个函数为“兄弟函数”.
设函数yi=x2-2x-3,y2=kx-i
（i）当k=-i时，求出所有使得yi=y2成立的x值；
（2）当iwxw3时判断函数yi=与y2=-x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；
（3）已知：
当-iWxW2时函数yi=x2-2x-3与y2=kx-i是"兄弟函数"，试求实数k的取值范
围？
26.如图，OE的圆心E（3,0）,半径为5,OE与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），
与x轴的正半轴交于点C,直线l的解析式为y7x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点的抛物线过点B.
（i）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与。
E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1.给出四个数0,百，卷,-1,其中最小的是（）
A.0B.M,D.T
【考点】实数大小比较.
【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.
【解答】解：
根据实数比较大小的方法，可得
-1〈0<2<3,
.•・四个数0,点,-1,其中最小的是-1.
故选：
D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解：
A、是轴对称图形，故正确；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误.
故选：
A、B.
3
.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解：
从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线.
故选A.
4.下面是一位同学做的四道题：
①2a+3b=5ab;②（3a3）2=6a6；③a6刃2=a3；④a2?
a3=a5,其中做对
的一道题的序号是（）
A.①B.②C.③D.④
【考点】同底数哥的除法；合并同类项；同底数哥的乘法；哥的乘方与积的乘方.
【分析】①根据合并同类项，可判断①，
②根据积的乘方，可得答案；
③根据同底数塞的除法，可得答案；
④根据同底数塞的乘法，可得答案.
【解答】解：
①不是同类项不能合并，故①错误；
②积的乘方等于乘方的积，故②错误；
③同底数哥的除法底数不变指数相减，故③错误；
④同底数哥的乘法底数不变指数相加，故④正确；
故选：
D.
5.今年清明节期间，我市共接待游客48.6万人次，旅游收入218000000元.数据218000000
用科学记数法表示为（）
A.2.18M08B.0.218M09C.2.2X108D.2.2X109
【考点】科学记数法一表示较大的数.
【分析】根据科学记数法的表示方法：
ax10n,可得答案.
【解答】解：
218000000用科学记数法表示为2.18M08,
故选：
A.
6.抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）
A,y=（x+1）2+3B,y=（x+1）2-3C.y=（x-1）2-3D,y=（x-1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解：
由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：
2
y=（xT）;
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x-1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：
y=
（x-1）2+3.
故选D.
7.下列说法属于不可能事件的是（）
A.四边形的内角和为360°B.对角线相等的菱形是正方形
C.内错角相等D.存在实数x满足x2+1=0
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.
【解答】解：
四边形的内角和为360。
是必然事件，A错误；
对角线相等的菱形是正方形是必然事件，B错误；
内错角相等是随机事件，C错误；
存在实数x满足x2+1=0是不可能事件，
故选：
D.
8
.如图，A,B,C,D为。
。
上四点，若/BOD=110°,则小的度数是（）
A.110°B,115°C.120°D,125°
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质.
【分析】由A,B,C,D为。
。
上四点，若/BOD=110。
，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得/C的度数，又由圆的内接四边形
的性质定理，即可求得答案.
【解答】解：
:
A,B,C,D为。
。
上四点，/BOD=110°,
../C=\BOD=55°,
，/A=180°-ZC=125°.
故选D.
9.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x…-3-2-101…
y…-3-2-3-6-11…
则该函数图象的顶点坐标为（）
A.（-3,-3）B.（-2,-2）C.（T,-3）D.（0,-6）
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可.
【解答】解：
=x=-3和-1时的函数值都是-3相等，
・•・二次函数的对称轴为直线x=-2,，顶点坐标为（-2,-2）.
故选：
B.
10.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）
A.矩形B.等腰梯形
C.对角线相等白四边形D.对角线互相垂直的四边形
【考点】中点四边形.
【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边
形.
【解答】解：
如图，根据题意得：
四边形EFGH是菱形，点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,
CD的中点，
EF=FG=GH=EHBD=2EFAC=2FQBD=AC.
，原四边形一定是对角线相等的四边形.
11.正六边形的边心距为G&,则该正六边形的边长是（）
A.VIB.2C.3D.2/3
【考点】正多边形和圆；勾股定理.
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决.
【解答】解：
二.正六边形的边心距为点,
OB=/3,AB=^OA,•••OA2=A）+OE2,•••OA2=臣a）2+矩）2
解得OA=2.
故选：
B.
【考点】动点问题的函数图象.
EF,再根据三角形
【分析】判断出△AEF和4ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出
的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可.
【解答】解：
=EF//BC,
・.△AED△ABC,
EF5一式.=
=C5'
回・T
EF=?
10=10-2x,
5
•.SU（10-2x）?
x=-x2+5x=-（x--1）2号,
S与x的关系式为S=-（x-5）2+^j（0vxv5）,纵观各选项，只有D选项图象符合.
故选：
D.
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
13.因式分解2x2-8xy+8y2=2（x-2y）2.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式2,进而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解：
2x2-8xy+8y2=2（x2-4xy+4y2）
2=2（x—2y）.
故答案为：
2（x-2y）2.
14.如图，边长为1的小正方形网格中，O。
的圆心在格点上，则/AED的余弦值是
C
【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到/ABC=/AED,在直角三角形ABC中，利用锐角三角函
数定义求出cos/ABC的值，即为cos/AED的值.
【解答】解：
.一/AED与/ABC都对近；，
/AED=ZABC,
在Rt^ABC中，AB=2,AC=1,
根据勾股定理得：
BC=..,
【考点】正方形的判定.
【分析】由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案.
【解答】解：
♦.•四边形ABCD是矩形，
・•・当AB=AD或ACLBD时，矩形ABCD是正方形.
故答案为：
AB=AD.
16.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是kw1且kw0.
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式,
解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0.
【解答】解：
♦.・关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
△=b2-4ac>0,
即：
4-4k>0,
解得：
k<1,
;关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中kw0,
故答案为：
kwi且kwo.
17.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山
为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E,这时恰好在镜子里看到山头A,利用皮尺测量
AC距离
BE=2.1
米.若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为17米.
【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比可求出假山AC的高度.
【解答】解：
;DE±EC,AC±EC,/DEB=/ACB=90°,
•••/DBE=/ABC.DE*△ACB,
•.DE:
AC=BEBC,又"£=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，・•.1.7:
AC=2.1:
21,
•.AC=17米，
故答案为：
17米.
18.用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是1cm
【考点】圆锥的计算.
【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径.
【解答】解：
圆锥的底面周长是：
2%cm,
设圆锥的底面半径是r,则271r=2兀，
解得：
r=1.
故答案是：
1cm.
三、解答题：
（本大题2个小题，每小题6分，共12分）
19.计算:
后tanST+信）'+|我啜|十歹-6a
【考点】实数的运算；负整数指数哥；特殊角的三角函数值.
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数哥法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果.
【解答】解：
原式=/3x^+4+/2-1-4
二.‘;
【考点】分式的化简求值.
【解答】解:
【分析】先把括号内通分，再把分子分解因式，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到再把x=3代入计算即可.
、x-2（#1）Ck-15"3
原式=.「1
L1
=工：
n\
£42'
当x=3时，原式-^4四、解答题：
（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
21.为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次
中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：
A级：
优秀；B级：
良好；C级：
及格；D级：
不
及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是40;
（2）图1中/“的度数是54。
并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为7000.
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H,其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率.
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图.
【分析】
（1）由统计图可得：
B级学生12人，占30%,即可求得本次抽样测试的学生人数；
（2）由A级6人，可求得A级占的百分数，继而求得/a的度数；然后由C级占35%,可求得C级的人数，继而补全统计图；
（3）首先求得D级的百分比，继而估算出不及格的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用
概率公式即可求得答案.
【解答】解：
（1）本次抽样测试的学生人数是：
黑=40（人）；
故答案为：
40;
（2）根据题意得：
=360°*=544U
C级的人数是：
40-6-12-8=14（人），如图：
（3）根据题意得：
35000痂=7000（人）,
答：
不及格的人数为7000人.
故答案为：
7000;
22.如图，△ABC中，/BCA=90°,CD是边AB上的中线，分别过点C,D作BA和BC的平行线,两线交于点E,且DE交AC于点O,连接AE.
（1）求证：
四边形ADCE是菱形；
【考点】菱形的判定与性质；勾股定理.
【分析】
（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱
形的面积公式：
S±ACDE进行解答.
【解答】
（1）证明：
.「DE//BC,EC//AB,
••・四边形DBCE是平行四边形.
EC//DB,且EC=DB
在Rt^ABC中，CD为AB边上的中线，
•.AD=DB=CD
EC=AD
••・四边形ADCE是平行四边形.
ED//BC.
/AOD=ZACB.
•••/ACB=90°,
/AOD=ZACB=90.
・•・平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：
Rt^ABC中，CD为AB边上的中线，/B=60°,BC=6,
AD=DB=CD=6
・•.AB=12,由勾股定理得lAC=eV3.
••・四边形DBCE是平行四边形，
DE=BC=6
五、解答题：
（本大题2个小题，每小题9分，共18分）
23.某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知
甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2
区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不
超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用.
【分析】
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2）,根据在独立完成面积为400m2区域的
绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可.
【解答】解：
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2）,根据题意得：
400400，
=4,
父2x
解得：
x=50,
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50>2=100（m2）,
答：
甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2;
y天，根据题意得:
>0.25<8,
10天.
（2）设应安排甲队工作
1800-100y
0.4y+-
50
解得：
y>l0,
答：
至少应安排甲队工作
24.如图，在^ABC中，CA=CR以BC为直径的圆。
。
交AC于点G,交AB于点D,过点D作。
。
的切线，交CB的延长线于点E,交AC于点F.
（1）求证：
DF±AC.
（2）如果。
。
的半径为5,AB=12,求cos/E.
【考点】切线的性质.
【分析】
（1）首先连接OD,由CA=CB,OB=OD,易证得OD//AC,又由DF是。
。
的切线，即可证得结论；
（2）首先连接BG,CD,可求得CD的长，然后由AB?
CD=2Saabc=AC?
BG求得BG的长，易证得
_既
BG//EF,即可得cos/E=cosZCBG=^.
Be
【解答】
（1）证明：
连接OD,
•.CA=CRob=od,
/a=zabc,/abc=zodb,
.•・/a=/odb,
OD//AC,
DF是。
O的切线，
OD±DF,
DF±AC.
（2）解：
连接BG,CD.
BC是直径，
/BDC=90°,
•••CA=CB=1Q
••.AD=BD=1AB亶M2=6,22
Ccd=/aC2-^D2=8
AB?
CD=2Sxabc=AC?
BG,
.
•.BG=
BG±AC,D。
AC,BG//EF.
/E
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