求动点的轨迹方程.docx
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求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：
求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：
直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
●求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x,y）满足的关系式。
1.直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；
（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：
，动点M到圆C的切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
解：
设动点M（x,y），直线MN切圆C于N。
依题意：
，即
而,所以
（x-2）+y=x+y-1
化简得：
x=。
动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：
动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：
相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：
设M（x,y），动圆Ｍ的半径为r。
xxM与圆C相外切，则有∣MC∣=r＋4
xxM与圆C相内切，则有∣MC∣=r-4
而∣MP∣=r,所以
∣MC∣-∣MP∣=±4
动点M到两定点P（-4,0）,C（4,0）的距离差的绝对值为4，所以动点M的轨迹为双曲线。
其中a=2,c=4。
动点的轨迹方程为：
3.相关点法
若动点P（x，y）随已知曲线上的点Q（x，y）的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。
这种方法称为相关点法。
例题：
已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：
设M（x,y）,A（）, 依题意有：
x=, y=
则：
x=2x-4,y=2y-3,因为点A（）在圆上，所以
点M的轨迹方程为：
动点M的轨迹为以（2,）为圆心，1为半径的圆。
4.参数法
例题：
已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴xx的动点（M、N不重合），且,点P在直线MNxx，。
求动点P的轨迹C的方程。
解：
设N（0,t）,P（x,y）
直线AN的斜率，
因为，所以直线MN的斜率
直线MN的方程为y-t=,令y=0得x=,所以点M（,0）
由,得
x=）,y-t=,则
所以动点P的轨迹方程为：
5.交轨法
例题：
如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。
求直线与的交点的轨迹的方程。
解：
设，由已知得，
则直线的方程为，直线的方程为，
即 y+2=
y-2=-
两式相乘，消去即得的轨迹的方程为．
练习与答案
1.设圆C与圆x2+（y.3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为 A
A．抛物线B．双曲线 C．椭圆D．圆
2.已知圆，圆，一动圆与这两个圆外
切，求动圆圆心P的轨迹方程。
（x>0）
3.过点A（4，0）作圆O∶x+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。
（x-2）+y=4（0≤x<1）
4.已知圆C：
+（y-4）=1,动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，
且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）。
求动点P的轨迹方程。
提示：
︱PO︱=︱PM︱=
3x+4y-12=0
5.已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。
解：
动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
依题意有：
︱PC︱-1=︱PC︱-1， 即
︱PC︱=︱PC︱
所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。
所以动点P的轨迹方程为：
2x+y-5=0
6.已知双曲线的左、右顶点分别为,点P（），Q（）
是双曲线上不同的两个动点。
求直线与交点的轨迹E的方程。
解：
由为双曲线的左右顶点知，
，，两式相乘，
因为点在双曲线上，所以，即，故，
所以，即直线与交点的轨迹的方程为
7.已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。
解：
（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.
8.已知点C（1，0），点A、B是⊙O：
上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。
求点P的轨迹T的方程。
解：
连结CP，由，知AC⊥BC
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂径定理知
即
设点P（x，y），有
化简，得到。
9.设椭圆，过点的直线交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解：
直线过点，设其斜率为k，则直线的方程为，
记，，由题设可得点A、B的坐标
是方程组的解，其方程组中消取得
∴
∵∴点P的坐标为
即：
点P为，
设点P为，则P点的轨迹参数方程为（为参数）
消去参数得：
当斜率不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，
故：
动点P的轨迹方程为。
10.设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
求圆C的圆心轨迹L的方程。
解：
两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
11.如图所示，已知P（4，0）是圆内的一点。
A、B是圆上两动点，且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解：
设R（x,y）,
依题意，有
｜OR｜+｜RA｜=36,而｜RA｜=｜RP｜,所以
｜OR｜+｜RP｜=36,即
化简得：
设Q（X,Y）,因为R（x,y）是 QP的中点，所以有
x=,y=,故
化简得：
X
12.在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP
的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。
当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方
程。
解：
如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
因此即
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
MQ为线段OP的垂直平分线，
又
因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点
由
（即）得，
故的轨迹方程为
②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为
13.点M是椭圆上的动点。
如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：
，=0, 求线段的中点的轨迹方程；
解：
设
.因为，故
①
因为
所以.②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以
由因为，结合①，②得
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故动点P的轨迹方程为（x-。
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