小学四年级数学广角.docx

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小学四年级数学广角

数学：

上册数学广角

课程解读

一、学习目标：

1. 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的应用。

2. 认识到解决问题所用策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3. 感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养应用意识和解决实际问题的能力。

4. 逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

二、重点、难点：

通过日常生活中的一些简单事例，尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用及对策论方法在解决问题中的运用。

三、考点分析：

1. 喝牛奶问题。

2. 吃饺子问题。

3. 借书等候时间问题。

4. 煮鸡蛋问题。

5. 刷漆问题。

6. 批改作业等候时间问题。

7. 烤面包问题。

8. 象棋比赛问题。

知识梳理

1. 烙饼问题2. 沏茶问题3. 等候时间问题4. 田忌赛马问题

典型例题

［方法应用题］

例1. 亮亮一家每天早上起来都要喝鲜牛奶，亮亮妈妈需要做三件事：

取牛奶、热牛奶和洗三个杯子。

已知去取牛奶需要1分钟，热牛奶需要5分钟，洗一个杯子需要1分钟，亮亮一家喝到热牛奶最快要用多少分钟？

思路分析：

（1）题意分析：

喝牛奶问题。

（2）解题思路：

首先想取牛奶要1分钟，然后洗杯子的同时可以热牛奶（共用5分钟），最后就能喝到牛奶了。

解答过程：

1＋5＝6（分）答：

亮亮一家喝到热牛奶最快要用6分钟。

解题后的思考：

要使安排时间最短需考虑：

1. 有哪些事情要做。

2. 哪几件事必须先做，顺序怎样。

3. 哪几件事可以一起做。

例2. 星期天，小明的妈妈要包饺子给大家吃，请你设计一个合理的顺序，让大家尽早吃上饺子，至少需要多长时间？

思路分析：

（1）题意分析：

吃饺子问题。

（2）解题思路：

首先想买菜要10分钟，然后包饺子和烧开水可以同时进行，最后煮饺子。

解答过程：

10＋40＋5＝55（分）答：

至少需要55分钟。

解题后的思考：

要使安排时间最短需考虑：

1. 有哪些事情要做。

2. 哪几件事必须先做，顺序怎样。

3. 哪几件事可以一起做。

例3. 要使三人等候时间的总和最少，应如何安排他们的借书顺序？

共需多少时间？

小文小兰小亮

我借两本书需要8分钟我除了借书还要还书，我借一本书需要5分钟

需要12分钟

思路分析：

（1）题意分析：

借书等候时间问题。

（2）解题思路：

三人等候借书所用时间情况统计如下：

方案

借书顺序

小文等候时间（分钟）

小兰等候时间（分钟）

小亮等候时间（分钟）

等候时间总和（分钟）

小文、小兰、小亮

小文、小亮、小兰

小兰、小文、小亮

小兰、小亮、小文

小亮、小文、小兰

小亮、小兰、小文

解答过程：

顺序：

小亮、小文、小兰

时间：

5＋（5＋8）＋（5＋8＋12）＝43（分）

答：

借书顺序是小亮、小文、小兰，共需43分钟。

解题后的思考：

依次从等候时间最少的人开始借书，就能使三人的等候时间的总和最少。

例4. 煮熟一个鸡蛋要6分钟，一个锅可以同时煮10个鸡蛋，那么要煮熟18个鸡蛋，最少需要（）分钟。

思路分析：

（1）题意分析：

煮鸡蛋问题。

（2）解题思路：

6＋6＝12（分）

解题后的思考：

第一次煮10个鸡蛋用6分钟，第二次煮8个鸡蛋又用6分钟，所以直接将两次所用的时间相加即为所求。

［综合运用题］

例5. 给一块小木板的两面刷油漆，刷一面要1分钟，但必须等5分钟漆干后才能给另一面刷漆。

那么，漆完6块这样的木板至少需要（）分钟。

思路分析：

（1）题意分析：

刷漆问题。

（2）解题思路：

每块木板都先刷一面，6块木板都刷完一面后，再从第一块木板开始刷第二面。

直到刷完，所用时间正好是刷12个面的总时间，所以是12分钟。

解题后的思考：

需要等待一段时间才能去做的事情，可暂且搁置，先去做下一件事，待可以做后，再回头做第一件事。

例6. 小明、小刚和小红3个人都来找老师批改作业，小明错的少，只需要1分钟；小红错的多一些，需要3分钟；小刚错的最多，需要8分钟。

怎么安排批改三人作业的顺序，才能使3人等候的总时间最少？

最少时间是多少？

思路分析：

（1）题意分析：

批改作业等候时间问题。

（2）解题思路：

依次从等候时间最少的人开始批改作业，就能使三人的等候时间的总和最少。

解答过程：

顺序：

小明、小红、小刚

时间：

1＋（1＋3）＋（1＋3＋8）＝17（分）

答：

批改作业的顺序是小明、小红、小刚，共需17分钟。

解题后的思考：

从需要时间最少的人开始批改作业，可使等候的总时间最少。

［思维突破题］

例7. 烤面包时，第一面要烤2分钟，烤第二面时只需1分钟。

小丽用的烤面包机一次只能放两片面包。

她每天早上要吃三片面包，最少要烤多长时间？

思路分析：

（1）题意分析：

烤面包问题。

（2）解题思路：

第一片第二片第一片第三片第二片第三片

正面正面反面正面反面反面

2分钟1分钟 2分钟1分钟

解答过程：

最少要烤5分钟。

解题后的思考：

每次都让烤面包机中有两片面包，因为是三片面包，所以按正正、反正、反反的步骤来烤面包，所需时间最短。

例8. 胜利小学和红旗小学举行象棋比赛，每校派出3名选手参赛，规定哪校有两名队员获胜，则该校就获胜。

两校的参赛选手情况如下表：

（名次高的都能赢名次低的）

学校

姓名

名次

胜利小学

红旗小学

第一名

王翰

李佳明

第二名

刘庄

刘一鸣

第三名

孙一凡

王菲

如果胜利小学想要获胜，该怎样排兵布阵？

胜利小学

红旗小学

第一场

第二场

第三场

思路分析：

（1）题意分析：

象棋比赛问题。

（2）解题思路：

根据参赛选手的情况将所有可能的策略列出，最后找出获胜方案。

胜利小学

红旗小学

本场胜者

第一场

孙一凡

李佳明

红旗小学

第二场

王翰

刘一鸣

胜利小学

第三场

刘庄

王菲

胜利小学

解答过程：

胜利小学

红旗小学

第一场

孙一凡

李佳明

第二场

王翰

刘一鸣

第三场

刘庄

王菲

解题后的思考：

第一场比赛虽然输了，但后两场比赛因胜利小学的参赛选手的多次都高于红旗小学的，所以赢了两场，最终胜利小学获胜。

提分技巧

烙饼沏茶与卸货，生活问题不简单。

饼多锅少放最多，节约时间省资源。

做事顺序要合理，举一反三算时间。

排队从少开始算，等候时间才最短。

田忌赛马有策略，扬长避短最优化。

四年级上册数学广角

**1.

起床穿衣 5分钟

整理被褥 3分钟

刷牙 2分钟

洗脸 1分钟

温牛奶 3分钟

烤面包 2分钟

吃早餐 8分钟

怎样做才能最节省时间，保证上学不迟到？

**2. 睡觉前，耿华同学要做以下几件事。

整理书包，准备第二天要带的学具：

5分钟

再背诵一下当天学习的英语单词：

10分钟

整理床铺，准备睡觉：

2分钟

洗脸、刷牙：

3分钟

温洗脚水：

5分钟

洗脚：

5分钟

看体育新闻：

10分钟

耿华最少要用（）分钟，才能把这些事做完。

**3. 李晓红同学每天的家庭作业都要爸爸或妈妈检查一遍。

今天，李晓红同学做家庭作业时先估计了一下做作业的时间。

李晓红先做哪科的作业，才能使爸爸或妈妈检查作业的等候时间的总和最少？

**4. 四

（一）班和四

（二）班进行乒乓球比赛。

每班选出打乒乓球技术最好的5名同学参赛，共打5场球，5盘3胜。

假如你是四

（一）班的同学，你将如何安排本班的5名选手出场比赛，才有可能打赢比赛。

四年级上册数学广角试题答案

1.起床穿衣——整理被褥、温牛奶——刷牙、洗脸、烤面包——吃早餐

共需要19分钟。

解析：

要使安排时间最短需考虑：

1）有哪些事情要做。

2）哪几件事必须先做，顺序怎样。

3）哪几件事可以一起做。

2、看体育新闻的同时——背诵英语单词的同时

温洗脚水、整理书包、洗脚洗脸、刷牙、整理床铺

最少要20分钟。

解析：

要使安排时间最短需考虑：

1）有哪些事情要做。

2）哪几件事必须先做，顺序怎样。

3）哪几件事可以一起做。

**3.先做英语作业，然后做数学作业，最后做语文作业。

解析：

从需要时间最少的作业开始做起，可使爸爸或妈妈等候的总时间最少。

**4.

四

（一）班

四

（二）班

本场胜者

第一场

第四名

第一名

四

（二）班胜

第二场

第五名

第二名

四

（二）班胜

第三场

第一名

第三名

四

（一）班胜

第四场

第二名

第四名

四

（一）班胜

第五场

第三名

第五名

四

（一）班胜

四年级下学期数学广角答案

一、1. 2 2.3 3. 2

二、1.答：

因为属相共有12个，可以看作12个抽屉，把15个同学放进12个抽屉中，每个抽屉中各放1个后，还剩3个，所以无论再往哪个抽屉里放，都至少有2个同学在同一个抽屉里。

2. 答：

10÷4=2……2，把10只鸽子平均放入4个鸽笼中，每个鸽笼中放2只还剩2只，这2只鸽子无论怎么放，都至少有3只鸽子要放在同一个鸽笼中。

3. 答：

73÷8=9……1，把打了8枪看作8个抽屉，把73环放入8个抽屉中，每个抽屉中放入9环，还剩1环，所以无论再往哪个抽屉里放，王叔叔都至少有1枪不低于10环。

4.答：

从题目中我们知道要保证有一个学生至少能分到3本书，就说明这50个学生每人有2本书，那我们就可列出算式

50×2＋1=101（本）

至少要从图书室借101本书，才能保证有一个学生至少能分到3本书。

5.答：

1至30中，3的倍数有30÷3=10（个），不是3的倍数有30－10=20（个），至少要取出20＋1=21（个）不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数。

（1）2＋1=3（个）

（2）6＋1=7（个）

数学:

下册数学广角及综合应用

课程解读

一、学习目标：

1. 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

2. 会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

3. 综合运用所学的量的计量、统计及比例等知识解决生活中的实际问题。

二、重点难点：

重点：

理解“抽屉原理”

难点：

灵活应用“抽屉原理”解决实际问题。

三、考点分析：

本讲内容在让同学们理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模式化”，会用“抽屉原理”加以解决。

“抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的，因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

综合应用：

节约用水这部分内容是让同学们综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水资源浪费的问题。

同学们只要能结合具体问题把本单元内容的大致意思说出来就可以了。

本单元的内容在考试中可能出现的题型有填空题、选择题。

所占分值约2~3分。

知识梳理

知识点一：

抽屉原理

（一）

1. 用不同的方法证明题中的观点。

2. 认识抽屉原理

3. 理解“抽屉原理”

（一）

知识点二：

抽屉原理

（二）

1. 用数的分解法证明

2. 用假设法证明

知识点三：

用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

1. 自由猜测，再加以证明

2. 把实际问题转化成“抽屉问题”来解答

典型例题

例1、有七只小白兔，要放进3个兔笼子里，至少有3只要放进同一个笼子里。

这是为什么？

思路分析：

1）题意分析：

本题主要考查同学们对“抽屉问题”的理解。

2）解题思路：

（1）枚举法

把7只小白兔放进3个兔笼子里，有如下八种情况：

由此发现，把7只小白兔放到3个兔笼里有8种情况，在任何一种情况下，

总有一个笼子里至少放3只兔子。

（2）假设法

假设法最核心的思路就是把兔尽量地“平均”分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少只兔，剩下的兔不管放到哪个抽屉中，总有一个抽屉比平均分得的只数多1只。

这个核心思路是用“有余数的除法”这一数学形式表示出来的。

由此发现：

7只兔平均放到3个兔笼里，每个兔笼里放2只还剩1只。

所以无论这1只兔放入哪个兔笼里，那个兔笼里至少有3只兔。

解答过程：

依据题意，把7只小白兔看成7个要放入的物体，3个兔笼看作3个抽屉，即把7个物体放进3个抽屉中，因为7÷3=2（个）……1（个），假设每个抽屉里放2个物体，剩下的1个物体还要放进任意一个抽屉，所以至少有1个抽屉里要放进（2+1）个物体，因此至少有3只兔子要放进同一个兔笼里。

解题后的思考：

解释抽屉原理的思考方法，既可用“枚举法”也可用“假设法”。

用“枚举法”来分析时，虽然很直观，但数据一增大就相当繁琐，因此用“假设法”来分析更具一般性。

例2．盒子里装有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各5个。

至少取多少个球，才可以保证取到两个颜色相同的球？

思路分析：

1）题意分析：

本题主要是把“取球问题”转化为“抽屉问题”。

2）解题思路：

要从5个红色球、5个黄色球、5个蓝色球中取出2个同色的球，至少要取出几个球。

要解决这个问题，可将其转化为“抽屉问题”。

因为一共有红、黄、蓝三种颜色的球，可把三种“颜色”看成3个抽屉，“同色”就意味着“同一抽屉”。

这样就可把“取球问题”转化为“抽屉问题”。

假设至少要取出a个球，a÷3=1……b，当b=1时，a就是最小的，此时a=4。

即至少要取出4个球，才能保证两个球是同色的。

由此可以得出：

只要取出的球比它们的颜色种数多1，就可以保证有两个球是同色的。

解答过程：

至少取出4个球，才可保证取到两个颜色相同的球。

解题后的思考：

“取球问题”也可以转化为“抽屉问题”：

只要取出的球比它们的颜色种数多1，就能保证取出的球有两个是同色的。

例3．敬老院买了许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？

思路分析：

1）题意分析：

这也是一道利用“抽屉原理”解决的生活问题。

2）解题思路：

根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的物体放在同一抽屉中，物体的总数至少要比抽屉数多1，这里，我们可以把敬老院老人的人数看作抽屉原理中的物体，关键是要找出抽屉数，因为三种水果任选两个的搭配有：

苹果—苹果、苹果—橘子、苹果—梨、橘子—橘子、橘子—梨、梨—梨共6种，故既然有6个“抽屉”，则必须至少有7个“物体”才能保证两个或两个以上的物体放在同一个抽屉里，即至少有7位老人。

解答过程：

6×（2－1）+1=7（位）

答：

至少应有7位老人才能保证有两位或两位以上老人所选的水果相同。

解题后的思考：

要解决抽屉问题，关键是要弄清楚把什么看成“抽屉”，有多少个要分放的“物体”。

若题目没有明确什么是“抽屉”和有多少个“抽屉”，则需要先分析，再用“抽屉原理”说明。

例4．把25个球最多放在几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球？

思路分析：

1）题意分析：

本题主要考查同学们对“抽屉问题”的灵活运用。

2）解题思路：

把盒子数看成抽屉数，要使其中一个抽屉里至少有7个球，则球的个数应比抽屉的（7－1）倍多1个，而（25－1）÷（7－1）=4，所以最多放进4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。

解答过程：

（25－1）÷（7－1）=4

答：

把25个球最多放进4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。

解题后的思考：

要求抽屉问题中的抽屉数，可用（分放物体的总数－1）÷（其中一个抽屉至少有的物体的个数－1）=a……b（b

例5．一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只才能保证每种颜色至少有一只？

思路分析：

1）题意分析：

本题也是利用“抽屉原理”来解决的问题。

2）解题思路：

本题我们如果先取5只全是红的，那么只好再取5只，假设5只又全是黄的，这时，再取1只就一定是蓝的了，这样取5×2＋1=11（只）才能保证每种颜色至少有1只。

解答过程：

5×2＋1=11（只）

答：

一次至少取出11只才能保证每种颜色至少有1只。

解题后的思考：

本题可采用“最不利原则”来解决问题，首先把最坏的情况都想到，然后再去推算一次最少拿几只袜子。

例6.从1-10这10个数中任选6个数，其中一定有两个数的和是11，你能说出期中运用了什么原理吗？

思路分析：

1）题意分析：

本题主要考查同学们灵活运用“抽屉原理”的能力。

2）解题思路：

根据题意“其中一定有两个数的和是11”可把1至10分成（1，10）、（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6）这样的5组，即5个抽屉，而任选的6个数就是被分物。

则有6÷5=1……1，所以任取6个数，至少有2个数是同一组的，则和必定是11。

解答过程：

其中运用了“抽屉原理”。

解题后的思考：

本题我们可以根据题意巧设“抽屉”来解决。

小学四年级下学期数学广角

一、填空题

1.5只小鸟飞回4个鸟笼，至少有（）只小鸟飞进同一个鸟笼里。

2. 张阿姨把7颗糖分给3个小朋友，至少有一个小朋友能分到（）颗糖。

3. 一个小组共有14名同学，其中至少有（）名同学在同一个月过生日。

二、推理题

1. 在班级任选15个同学，其中至少有2个同学的属相是相同的，为什么？

2. 把10只鸽子放进4个鸽笼中，至少有3只鸽子要放进同一个鸽笼中，为什么？

3. 王叔叔参加射击比赛，打了8枪，成绩为73环。

则王叔叔至少有1枪不低于10环，为什么？

4. 有50个学生，从校园图书室里借书分给大家看，要保证有一个学生至少能分到3本书。

那么至少要从图书室里借多少本书？

5. 从1到30中至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？

6. 盒子里有同样大小的红球和蓝球各6个。

（1）要想摸出的球一定有2个蓝是同色的，最少要摸出几个球？

（2）要想摸出的球一定有不同颜色的，最少要摸出几个球？

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