届高三应用题专项训练突破4160含答案.docx
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届高三应用题专项训练突破4160含答案
2018届高考应用题专项突破（41~44）
41．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m．
（1）求x的取值范围；（运算中取1．4）
（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
42．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF＝．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗），AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD＝2θ．
（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
（2）当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．
43．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：
元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
44．如图所示，把一些长度均为4m（PA＋PB＝4m）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷．根据人们的生活体验知道：
人在帐篷里的“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k＝．若k越大，则“舒适感”越好．
（1）求“舒适感”k的取值范围；
（2）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐篷里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式，并求出y的最大值（请说明详细理由）．
2018届高考应用题专项突破（45~48）
45．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：
第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：
①当34≤x≤60时，t（x）＝－a（x＋5）2＋10050；②当60≤x≤70时，t（x）＝－100x＋7600．设该店月利润为M（元），月利润＝月销售总额－月总成本．
（1）求M关于销售价格x的函数关系式；
（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．
46．过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．
（1）据市场调查，若售价每提高0．5元，月销售量将相应减少0．2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x－9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0．5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？
并求出下月最大总利润．
47．某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB＝BD＝l，∠B＝的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面（C不与A、B重合），且CD可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v．为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．
（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数（用含有v和l的式子）；
（2）当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？
48．从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，若单程票价定为150元/人．
（1）一艘游轮单程以40km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？
（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？
2018届高考应用题专项突破（49~52）
49．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30m，其中大圆弧所在圆的半径为10m．设
小圆弧所在圆的半径为xm，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
50．如图，把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．
（1）当高h和宽b取多少时，才能使梁的截面面积取最大值？
（2）当高h和宽b取多少时，才能使梁的抗弯截面模量取最大值？
并求出这个最大值．（注：
矩形梁的抗弯截面模量为W＝bh2）
51．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
km）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
52．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C、D在半圆上），设∠BOC＝θ，木梁的体积为V（m3），表面积为S（m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求体积V的最大值；
（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？
请说明理由．
2018届高考应用题专项突破（53~56）
53．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（mg/m3）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4（mg/m3）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化空气，试求a的最小值．（精确到0．1，参考数据：
取1．4）
54．某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）＝，其中t＝2－，a、b为常数，n∈N，f（0）＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
55．如图，O为总信号源点，A、B、C是三个居民区，已知A、B都在O的正东方向上，OA＝10km，OB
＝20km，C在O的北偏西45°方向上，CO＝5km．
（1）求居民区A与C的距离；
（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A、B、C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE＝θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
①求w关于θ的函数表达式；
②求w的最小值及此时tanθ的值．
56．
某风景区在一个直径AB为100m的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：
小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC＝θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数s（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
2018届高考应用题专项突破（57~60）
57．图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB＝50m，AC＝50m，当P为AC中点时，∠BPD＝45°．
（1）求CD的长；
（2）试问P在线段AC的何处时，∠BPD达到最大．
58．根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p＝（日产品废品率＝×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y＝日正品赢利额－日废品亏损额）
（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？
最大日利润是几千元？
59．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：
正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？
并求此时x的值．
60．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：
新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
2018届高考应用题专项突破（41~60）答案
41．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m．
（1）求x的取值范围；（运算中取1．4）
（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解：
（1）由题意，得（4分）
解得即9≤x≤15．所以x的取值范围是[9，15]．（7分）
（2）记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×＋ax×πx2＋×[104－π×－πx2]
＝[π＋12×104]，（10分）
令f（x）＝－x4＋x3－12x2，则f′（x）＝－x3＋4x2－24x＝－4x．
由f′（x）＝0，解得x＝0（舍去）或x＝10或x＝15，（12分）
列表如下：
x
9
（9，10）
10
（10，15）
15
f′（x）
－
0
＋
0
f（x）
极小值
所以当x＝10，y取最小值．
答：
当x＝10m时，可使“环岛”的整体造价最低．（14分）
42．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF＝．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗），AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD＝2θ．
（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
（2）当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．
解：
（1）设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ．
当0<θ<时（如图①），AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，S＝AB×AD＝（4cosθ＋2）（2×4sinθ）＝16sinθ（2cosθ＋1）．（3分）
当≤θ＜（如图②），AB＝2×4cosθ，AD＝2×4sinθ，
故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin2θ．
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
S＝（7分）
（2）当0<θ<时，求导，得S′＝16[cosθ（2cosθ＋1）＋sinθ（－2sinθ）]＝16（4cos2θ＋cosθ－2）．
令S′＝0，得cosθ＝．（10分）
记区间内余弦值等于的角为θ0（唯一存在）．列表：
θ
（0，θ0）
θ0
S′
＋
0
－
S
增函数
极大值
减函数
又当≤θ<时，S＝32sin2θ在上为单调减函数，
所以当θ＝θ0即cosθ＝时，矩形的面积最大．（16分）
43．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：
元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
解：
（1）可变成本为v2，固定成本为a元，所用时间为．
∴y＝，即y＝1000．（4分）
定义域为（0，80]．（5分）
（2）y′＝1000＝250·，
令y′＝0，得v＝2．（7分）
∵v∈（0，80]，∴当2≥80，即a≥1600时，y′≤0，y为v的减函数，
∴在v＝80时，y最小．（9分）
∴当2<80，即0v
（0，2）
2
（2，80）
y′
－
0
＋
y
极小值
在v＝2时，y最小．（13分）
以上说明，当044．如图所示，把一些长度均为4m（PA＋PB＝4m）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷．根据人们的生活体验知道：
人在帐篷里的“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k＝．若k越大，则“舒适感”越好．
（1）求“舒适感”k的取值范围；
（2）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐篷里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式，并求出y的最大值（请说明详细理由）．
解：
（1）k＝＝＝，（2分）
∵x2＋y2≥2xy，∴≤1（当且仅当x＝y时，取“＝”号），∴k≤．（4分）
∵>0，∴k>1，∴k的取值范围是（1，]．（6分）
（2）由PA＋PB＝4及
（1）的结论，得＋＝4，（8分）
∴＝4－．
两边平方、化简得y＝4，（10分）
当H与M重合时，t＝0，当H与A重合时，有PA＝AB＝y，
∴y2＋y2＝（4－y）2，∴y＝4－4，即t＝2－2，（12分）
∴y＝4（0≤t≤2－2）．（13分）
∵0≤t≤2－2，∴∈，∴1－∈，（15分）
∴ymax＝，此时t＝0．（16分）
说明：
若没有过程，直接求出y的最大值得2分．
45．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：
第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：
①当34≤x≤60时，t（x）＝－a（x＋5）2＋10050；②当60≤x≤70时，t（x）＝－100x＋7600．设该店月利润为M（元），月利润＝月销售总额－月总成本．
（1）求M关于销售价格x的函数关系式；
（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．
解：
（1）当x＝60时，t（60）＝1600，代入t（x）＝－a（x＋5）2＋10050，解得a＝2．（2分）
∴M（x）＝即M（x）＝（4）
（注：
写到上一步，不扣分）
（2）设g（u）＝（－2u2－20u＋10000）（u－34）－20000，34≤u<60，u∈R，则g′（u）＝－6（u2－16u－1780）．
令g′（u）＝0，解得u1＝8－2（舍去），u2＝8＋2∈（50，51）．（7分）
当340，g（u）单调递增；当51∵x∈N*，M（50）＝44000，M（51）＝44226，∴M（x）的最大值为44226．（12分）
当60≤x≤76时，M（x）＝100（－x2＋110x－2584）－20000单调递减，
故此时M（x）的最大值为M（60）＝21600．（14分）
综上所述，当x＝51时，月利润M（x）有最大值44226元．（15分）
答：
该打印店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．（16分）
46．过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．
（1）据市场调查，若售价每提高0．5元，月销售量将相应减少0．2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x－9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0．5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？
并求出下月最大总利润．
解：
（1）设每只售价为x元，则月销售量为（5－×0．2）万只，
由已知得（x－6）≥（8－6）×5，（3分）
∴x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，（4分）
解得8≤x≤，（5分）
即每只售价最多为18．5元．（6分）
（2）下月的月总利润y＝（x－6）－（x－9）（9分）
＝－x＋＝－x＋＝－＋，（10分）
∵x≥9，∴＋≥2＝，（12分）
当且仅当＝，即x＝10，ymax＝14，（13分）
答：
当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．（14分）
47．某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB＝BD＝l，∠B＝的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面（C不与A、B重合），且CD可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v．为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．
（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数（用含有v和l的式子）；
（2）当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？
解：
（1）在△BCD中，∵∠BCD＝θ，∠B＝，BD＝l，∴BC＝，CD＝，（4分）
∴AC＝AB－BC＝l－，则t＝＋＝－＋（<θ<）．（8分）
（2）t＝＋＝＋·，（10分）
令m（θ）＝，则m′（θ）＝．（12分）
令m′（θ）＝0得cosθ＝，设cosθ0＝，θ0∈，
则θ∈时，m′（θ）<0；θ∈（θ0，）时，m′（θ）>0，
∴cosθ＝时m（θ）有最小值2，此时BC＝l．（14分）
答：
当BC＝l时货物运行时间最短．（15分）
48．从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，若单程票价定为150元/人．
（1）一艘游轮单程以40km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？
（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？
解：
设游轮以vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，∵游轮的燃料费用每小时k·v3元，依题意k·103＝60，则k＝，（2分）
∴f（v）＝v3·＋3240·＝6v2＋．（5分）
（1）当v＝40km/h时，f（v）＝6×402＋＝17700（元），轮船公司获得的利润是150×180－17700＝9300元．（7分）
（2）f′（v）＝12v－＝，令f′（v）＝0，得v＝30,（9分）
当00，此时f（v）单调递增．（12分）
故当v＝30时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）＝16200，
∴轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30km/h．（15分）
49．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30m，其中大圆弧所在圆的半径为10m．设
小圆弧所在圆的半径为xm，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解：
（1）设扇环的圆心角为θ，则30＝θ（10＋x）＋2（10－x），所以θ＝．（4分）
（2）花坛的面积为θ（102－x2）＝（5＋x）（10－x）＝－x2＋5x＋50（0装饰总费用为9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x，（9分）
所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝＝－．（11分）
令t＝17＋x，则y＝－≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝．
答：
当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．（14分）
（注：
对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分）
50．如图，把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．
（1）当高h和宽b取多少时，才能使梁的截面面积取最大值？
（2）当高h和宽b取多少时，才能使梁的抗弯截面模量取最大值？
并求出这个最大值．（注：
矩形梁的抗弯截面模量为W＝bh2）
解：
（1）∵d2＝h2＋b2≥2bh，（4分）
∴bh≤d2，当b＝h＝d时，截面面积取最大值．（6分）
（2）∵h2＋b2＝d2h2＝d2－b2，（8分）
∴W＝b（d2－b2）＝（d2b－b3）（0当00，当∴当b＝时，h＝d时，W取最大值，Wmax＝××d2＝d3．（14分）
51．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
km）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
解：
（解法1）设∠AM
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