北师大版初二数学上册基础知识与考试常见陷阱.docx
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北师大版初二数学上册基础知识与考试常见陷阱
北师大版初二数学上册基础知识与考试常见陷阱
第一章勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数
满足的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：
（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）
第二章实数
1、实数的概念及分类
①实数的分类
②无理数
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
开方开不尽的数，如√7,3√2等；
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/₃+8等；
某些三角函数值，如sin60°等
2、实数的倒数、相反数和绝对值
①相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
|a|≥0。
0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
③倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
0没有倒数。
④数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
⑤估算
3、平方根、算数平方根和立方根
①算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
性质：
正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
②平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意√a的双重非负性：
√a≥0;a≥0
③立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。
表示方法：
记作3√a
性质：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
-3√a=3√-a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
4、实数大小的比较
①实数比较大小
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
两个负数，绝对值大的反而小。
②实数大小比较的几种常用方法
数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
求差比较：
设a、b是实数a-b＞0↔a＞b；a-b=0↔a=b；a-b＜0↔a＜b。
求商比较法：
设a、b是两正实数，
绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则∣a∣＞∣b∣↔a＜b。
平方法：
设a、b是两负实数，则a2＞b2↔a＜b。
5、算术平方根有关计算（二次根式）
①含有二次根号“√”；被开方数a必须是非负数。
②性质：
③运算结果若含有“√”形式，必须满足：
被开方数的因数是整数，因式是整式
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
6、实数的运算
①六种运算：
加、减、乘、除、乘方、开方。
②实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
③运算律
加法交换律a+b=b+a
加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律ab=ba
乘法结合律（ab）c=a（bc）
乘法对加法的分配律a（b+c）=ab+ac
第三章位置与坐标
1、确定位置
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2、平面直角坐标系及有关概念
①平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
②坐标轴和象限
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
③点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
④不同位置的点的坐标的特征
a、各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0
点P（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0
点P（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0
点P（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0
b、坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上→y=0，x为任意实数
点P（x,y）在y轴上→x=0，y为任意实数
点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上→x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
c、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上→x与y相等
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上→x与y互为相反数
d、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
e、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
f、点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：
点P（x,y）到x轴的距离等于∣y∣
点P（x,y）到y轴的距离等于∣x∣
点P（x,y）到原点的距离等于√x2+y2
3、坐标变化与图形变化的规律
第四章一次函数
1、函数
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
3、函数的三种表示法及其优缺点
关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
4、由函数关系式画其图像的一般步骤
列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值。
描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。
连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
5、正比例函数和一次函数
①正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（k为常数，k不等于0），称y是x的正比例函数。
②一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线。
③一次函数、正比例函数图像的主要特征
一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；
正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。
④正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
⑤一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小。
⑥正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k不等于0）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法.
⑦一次函数与一元一次方程的关系
任何一个一元一次方程都可转化为：
kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：
当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
第五章二元一次方程组
1、二元一次方程
①二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
②二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
2、二元一次方程组
①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
②二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
③二元一次方程组的解法
代入（消元）法
加减（消元）法
④一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解
一次函数与二元一次方程组的关系：
二元一次方程组
的解可看作两个一次函数
和
的图象的交点。
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；
当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
第六章数据的分析
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：
平均数、众数、中位数
2、平均数
平均数：
一般地，对于n个数，我们把它们的和与n之商叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。
加权平均数。
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
第七章平行线的证明
1、平行线的性质
一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
也可以简单的说成：
两直线平行,同位角相等；
两直线平行,内错角相等；
两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
也可以简单说成：
同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
其他两条可以简单说成：
内错角相等两直线平行
同旁内角相等两直线平行
初中数学常见陷阱
陷阱1：
在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。
常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。
陷阱2：
要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。
陷阱3：
注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。
陷阱4：
非负数的性质：
若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：
绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。
陷阱5：
五个基本数的混合运算：
0指数，基本三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简，这些需牢记。
陷阱6：
科学计数法中，精确度和有效数字的概念要清楚。
方程与不等式
陷阱1：
运用等式性质解方程时，切记等式两边不能直接约去含有未知数的公因式，必须要考虑约去的含有未知数的公因式为零的情形。
陷阱2：
常在考查不等式的题目时候埋设关于性质3的陷阱，许多人因忘记改变符号的方向而导致结果出错。
陷阱3：
关于一元二次方程中求某参数的取值范围的题目中，埋设二次项系数包含参数这一陷阱，易忽视二次项系数不为0导致出错。
陷阱4：
解分式方程时，首要步骤是去分母，分数相当于括号，易忘记最后对根的检验，导致运算结果出错。
陷阱5：
关于一元一次不等式组有解无解的条件，易忽视相等的情况；利用函数图象求不等式的解集和方程的解时，注意端点处的取值。
函数
陷阱1：
关于函数自变量的取值范围埋设陷阱。
注意：
①分母≠0，二次根式的被开方数≥0，0指数幂的底数≠0；②实际问题中许多自变量的取值不能为负数。
陷阱2：
根据一次函数的性质（或者实际问题、动点问题等）判断函数的图象出错，一次函数图象性质与k、b之间的关系掌握不到位。
陷阱3：
二次函数y=ax2+bx+c的图象位置和参数a,b,c的关系。
常在选择题中的压轴题来考查。
陷阱4：
在有些函数或方程的表述形式上埋设陷阱，如表述为“函数y=ax2+bx+c”，这里因为没有特别注明是二次函数，所以一定要注意当a=0的情况，如表述为“方程ax2+bx+c=0”，则该方程不一定为一元二次方程，故还要考虑当a=0的情况。
陷阱5：
在关于二次函数的应用题中，常见陷阱是当y取得最值时，自变量x不在其范围内。
陷阱6：
根据反比例函数性质比较大小时，要注意看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上，则直接利用正负情况比较大小；若在同一分支上，则利用增减性判断；若末明确点所在象限，要分类讨论。
三角形
陷阱1：
三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。
最短距离的方法。
陷阱2：
在论证三角形全等、三角形相似等问题时，对应点或者对应边容易出错。
注意边边角（SSA）不能证两个三角形全等。
陷阱3：
关于等腰三角形的陷阱比较多，并且几乎每年必考，如在解决仅告诉某三角形是等腰三角形，而没有具体说明哪两条边是腰、那两个角是底角的计算与证明问题时，注意需分类讨论。
陷阱4：
运用勾股定理及其逆定理计算线段的长、证明线段的数量关系、解决与面积有关的问题以及简单的实际问题时，注意先确定直角或者斜边，如不能确定，需分类讨论。
陷阱5：
涉及三角形面积时，确定底边对应的高容易出错（特别拿钝角三角形为陷阱诱导考生出错）。
四边形
陷阱1：
平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
如利用性质“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”时，注意“同一组对边”这个关键词。
陷阱2：
常通过条件中没有给出图形这一方法埋设陷阱，大家要善于利用已知条件画出所有可能的情形，当题目中有不确定的已知条件时，要注意分类讨论。
防止在解题过程中只看到一种情形，要注意全面考虑。
陷阱3：
四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，注意其中的不变与变化。
圆
陷阱1：
对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。
陷阱2：
考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，许多人容易忽视其中的一种情况。
陷阱3：
圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
对称图形
陷阱1：
图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，如在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。
陷阱2：
将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。
统计与概率
陷阱1：
求概率的方法：
（1）简单事件；
（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：
利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；
（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
陷阱2：
判断是否公平的方法是判断概率是否相等，注意频率与概率的联系与区别。
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