高中数学必修一《方程的根与函数的零点》说课.docx

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高中数学必修一《方程的根与函数的零点》说课

人教版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》说课稿

【教材分析】

（一）教材结构与内容简析

1．《方程的根与函数的零点》是人教版必修一第三章第一节的内容，是新课标新增内容，本节课的教学分为两个课时。

2.本节课起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体。

本课内容给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程数学思想的任务。

函数零点的定义和函数零点存在性定理，为“用二分法求方程近似解”这一函数的应用提供理论基础,同时也要为后续“算法”的学习埋下伏笔。

3.本节课是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体.

4.本节课内容是近年来高考考查的重点和热点.

（二）教学目标：

知识与技能：

领会函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握

函数零点的存在性定理。

培养学生自主发现、探究实践的能力。

过程与方法：

以二次函数为载体，探究函数零点概念及零点存在性定理。

在具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践能力，并渗透相关的数学思想。

情感态度与价值观：

培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特

殊到一般的研究方法，形成严谨的科学态度。

（三）重点、难点：

教学重点：

①领会函数零点的概念

②领会函数的零点与方程的根之间的联系；

③掌握零点存在性定理．

教学难点：

探究发现函数零点存在性定理

【教法分析】

“紧扣教材，学生主体，教师主导，注重思维，注重过程”是我上课的指导思想，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，激发求知欲，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

【学法分析】

通过前面的学习，学生已经掌握了基本初等函数的图象和性质，具备有一定的看图识图能力。

但是利用函数的观点及应用函数的意识较薄弱。

本节课将从学生已有的经验出发，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，启发学生探究，启发学生讨论。

【教学过程】

（一）回顾旧知，发现问题

问题1求下列方程的根．

（1）

；

（2）

；

（3）

.

【设计意图】由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程没办法用前面学过

的方法求解,造成认知上的冲突，需要寻求新的解决方法，激发学生的求知欲．

问题2：

观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方程

方程的实数根

函数

函数

图象

（简图）

函数的图象与轴的交点

学生发现：

方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标

【设计意图】通过实例让学生体验方程、函数、函数的图象三者的关系，渗透

数形结合的思想，为引入函数的零点的概念及归纳方程与函数的关系打下基础

而这种关系对于一般的一元二次方程

与相应二次函数

也成立。

教师特别强调：

二次函数的图象与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程的根的关系可以推广到一般情形——

即对于函数y=f（x）图象与x轴交点的横坐标即是f（x）=0的根。

（二）总结归纳，形成概念（本节课重点）

1、函数的零点：

对于函数

，把使

成立的实数

叫做函数

的零点．（特别强调函数的零点不是点，而是一个实数）

辨析练习：

函数

的零点是：

（）

A．（-1，0），（3，0）；　　B．x=-1；C．x=3；D．-1和3．

【设计意图】通过辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.

2、等价关系：

方程

有实数根

函数

的图象与

轴有交点

函数

有零点

在讲清等价关系时，应从“

”这个符号的要求出发，任意一个都可以推出另外两个。

应注意“有”的等价，与个数不能混为一谈，通过结合问题2点明方程的根的个数与函数零点的个数并不能等价。

【设计意图】引导学生得出三个重要的等价关系，领会“等价转化”，“数形结合”和“函数与方程”的数学思想，这也是解题的关键．

（三）初步运用，示例练习

例1．求函数

的零点．

求零点的方法：

方法1：

解方程f（x）=0；（代数法）

方法2：

画出函数的图象，写出图象与x轴交点的横坐标（几何法）

【设计意图】巩固函数零点的求法，进一步培养学生利用“方程与函数”和“数

形结合”的思想解决问题的能力．

（四）生活实例，创设情境（本设置为解决本节课重点难点：

零点存在性定理）

问题3：

观察下列两组画面,并推断哪一组能说明人的行程一定曾渡过河？

（A为起点，B为终点）

【设计意图】分解难点

问题4：

这个生活实例中，若将河看

成x轴，A、B是人的起点和终点，

则A,B应满足什么条件就能说明他

的行程一定曾渡过河？

【设计意图】将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行类比推理

（五）分组讨论，探究结论

问题5：

函数y＝f（x）在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y＝f（x）一定有零点？

探究:

观察二次函数

的图象，如下图，

我们发现函数

在区间

上有零点．

计算

和

的乘积，

你能发现这个乘积有什么特点？

在区间

上是否也具有这种特点呢？

猜想：

如果有，那么函数在区间（a,b）上有零点．

学生容易表述为：

如果函数

在区间[a,b]上有

，那么函数

在区间（a,b）内有零点。

引导学生构造反例：

，强化判定方法的条件——图象是连续不断的一条曲线

零点的存在性定理：

如果函数在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，且满足

那么，函数

在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程

的根.

【设计意图】通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性定理.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程

判断正误（定理辨析）：

（1）f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点。

（2）函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点,则f（a）·f（b）<0。

（3）f（a）·f（b）<0，函数y=f（x）在区间（a,b）内只有一个零点。

【设计意图】让学生更深刻体会到函数零点存在定理的三个注意点：

1函数是连续的。

2定理不可逆。

3至少有一个零点。

（六）知识应用、解决疑难

1.请学生解决问题1中的第三小题，引导学生可以通过计算找到零点所在的区间。

问题6：

这个区间内有零点，那么有几个零点呢？

【设计意图】此题一方面巩固运用判定零点存在的方法，另外，再一次引起认知上的冲突，为继续学习做铺垫。

2.动手画一画，探索：

在零点存在性定理中，函数需要再满足什么条件，函数在区间（a，b）上只有一个有零点？

结论:

函数在区间［a，b］上是单调连续的，且f（a）·f（b）<0，则函数在区间（a，b）上只有一个零点。

3.例2：

求函数

的零点个数

法1：

利用单调性

法2：

画

的图象

提出问题:

本题只是解决了问题1（3）求方程的根的一个方面，那么方程的零点究竟是什么呢？

【设计意图】巩固运用判定函数零点存在方法，初步学会用函数单调性及函数

图象求零点个数。

问题的提出为后续用二分法求方程近似解埋下伏笔。

（七）课堂小结,提升能力

知识点：

一个概念，三个等价，一个定理

思想方法：

“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”

【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的知识.进一步培养学生的归纳概括能力。

作业：

1必做题：

p881,2

2选做题：

函数f（x）=ax2+2x+1在区间（0，2）内恰有一个零点，则a的取值范围。

【设计意图】分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高

学生的兴趣。

【教学反思】

1.由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．这样逐层铺垫，降低难度；

2.恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程；

3.采用“启发—探究—讨论”教学模式，精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会；

4.需要加强过程性评价，教学过程中还需加强对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，让学生充分暴露思维，并及时给予矫正，调整思路。

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