全等三角形复习资料搜集整理版.docx

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全等三角形复习资料搜集整理版

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第十一章全等三角形复习

一、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质

（1）：

全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：

全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：

三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）

边角边:

两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）

角边角:

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）

角角边:

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）

斜边.直角边：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）

4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

第十二章轴对称

一、轴对称图形

1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

4.轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

四、（等腰三角形）知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）

五、（等边三角形）知识点回顾

1.等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。

2、等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4.直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半、

常见图形

一、轴对称型：

二、相交线型

三、旋转型

１．三角形全等的判定一（SSS）

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？

为什么？

２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，　　　　　　　　　　　　BE=CF．求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：

∠B=∠D。

５．如图,AD＝BC,AB＝DC,DE＝BF.求证：

BE＝DF.

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△

，AD，

分别是△ABC，△

的对应边上的中线，

AD与

有什么关系？

证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

4．已知：

如图，AD∥BC，AD=CB，求证：

△ADC≌△CBA．

5．已知：

如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。

求证：

△AFD≌△CEB．

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。

求证：

△ABD≌△ACE．

7．已知:

如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:

AC∥DF．

8．已知:

如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

9．如图,在△ABC中,分别延长中线BE、CD至F、H,使EF＝BE,DH＝CD,连结AF、AH．求证：

（1）AF＝AH；

（2）点A、F、H三点在同一直线上；（3）HF∥BC.

10．如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC＝BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF＝CD.求证：

BF＝AD,BF⊥AD.

11．证明：

如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：

首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）

12．证明：

如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．

13.已知：

如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF.

14．已知：

E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：

旋转构造等腰）

15.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.

（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;

（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系。

３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．

求BE的长．

3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：

AE=CE。

4．已知：

如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求证：

△ABD≌△CDB

5．如图,在△ABC中,AC⊥BC,CE⊥AB于E,AF平分∠CAB交CE于点F,过F作FD∥BC交AB于点D.求证：

AC＝AD.

6．如图,AD∥BC,AB∥DC,MN＝PQ.求证：

DE＝BE.

7．如图,在ABC中,∠A＝90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE＝EC,

（1）求∠ABC与∠C的度数；

（2）求证：

BC＝2AB.

8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）求证：

E是CD的中点；

（3）求证：

AD+BC=AB.

9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：

AE=EF.

10．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.

⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，

求证：

DM＝DN。

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。

问DM和DN有何数量关系。

11．已知：

C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交

x轴于B。

①求证：

CA＝CB；

②问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值。

12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。

①求证：

OM＝ON；

②连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。

５．三角形全等的判定五（HL）

1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：

（1）BD=CD；

（2）∠BAD＝∠CAD．

2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：

∠ABD＝∠ACD．

3．已知：

如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，

．

求证：

（1）

；

（2）

．

4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：

EB=FC

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

６．角的平分线的性质

1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．

求证∠1=∠2．

2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．

3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

4．如图,在ABC中,∠A＝90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE＝EC,

（1）求∠ABC与∠C的度数；

（2）求证：

BC＝2AB.

７．倍长中线法与截长补短法

1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长

的取值范围是（）.

A.1<

<4B.3<

<5C.2<

<3D.0<

<5

2．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是.

3．如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.

（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;

（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系。

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）求证：

E是CD的中点；

（3）求证：

AD+BC=AB.

5．如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，求∠BOC的度数.

6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？

.

7．已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，求证：

BC=AB+AD．

（分别用截长法和补短法各证一次）

8．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°．

（1）如果BE＋DF＝EF，求证：

①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．

（2）如果∠EAF＝45°，求证：

①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．

（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE

＝EF，求证：

①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）

８．全等三角形检测

一．选择题：

1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D,∠B=∠E,要使△ABC≌△FED,还需要的条件是（）

A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F

2.如图：

AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）

A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

4.如图：

某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

A.带①去B.带②去

C.带③去D.带①和②去

5.下列说法中，正确的个数是（）

①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长

的取值范围是（）.

A.1<

<4B.3<

<5C.2<

<3D.0<

<5

7.下列四个命题:

①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.等腰三角形周长为

，一腰的中线将周长分成5:

3两部分,则它的底边长为（）.

A.

B.

C.

或

　D.

9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是（）.

①顶角和一条腰对应相等；②一条腰和底边对应相等；

③顶角和底边对应相等；④两条腰和底角对应相等．

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知：

如图，BD为△ABC的的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：

①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；

④BA+BC=2BF.其中正确的是（）.

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

11.如图：

已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC则下列结论：

①∠DAC=∠BAE；②△DAC≌△BAE；③DC⊥BE；④MA平分∠DME；⑤△BMC≌△CEA；正确个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点，PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PG⊥EF于G,在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是（）

A.BC=DCB.BC=DC，且BC⊥DC

C.BC>DCD.BC⊥DC

二．填空题：

13.AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是.

14.如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，则∠BOC的度数为.

15.已知：

如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加的一个条件是

_____________（只需写出一个满足的条件）

16.已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则∠ABC的度数等于.

17.如图,∠1=∠2=25°,∠3=∠4,∠5=∠6，则∠7=.

18.有一张等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为度.

三．解答题：

19．如图，已知：

AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．

求证：

△ABD≌△ACE．

20．如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2，求证：

（1）AC＝AE；

（2）∠CAE＝∠CDE

21．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：

AF＝EF．

22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝

（AB＋AD）．①求证：

BC=DC．②求∠ABC＋∠ADC的度数．

23．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF与CE相交于O．①求证：

BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：

OA平分∠EOF．