概率论及数理统计复习总结计划题标准答案doc.docx
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概率论及数理统计复习总结计划题标准答案doc
概率论与数理统计复习题
一．填空题
1．设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系式表示下列事件：
A,B,C都发生_____________；A,
B,C中不多于一个发生______________.
解：
ABC；
ABBC
AC
ABC
ABCABC
ABC
2.一副扑克牌共
52张，无大小王，从中随机地抽取
2张牌，这
2张牌花色不相同的概率为
C42C131C131
13
1
C41C132
13
解：
p
或者p
C522
17
C522
17
3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为
解：
S{（i,j）|i,j
1,L,6},
A
{i
15
5
j},P（A）
12
36
4.设随机事件
A与B相互独立，P（A）
0.5,P（B）
0.6
，则P（A
B）＝
，P（A
B）＝。
解：
P（AB）P（AB）
P（A）P（B）
0.2
P（A
B）
P（A）
P（B）P（A）P（B）
0.8
5.已知P（A）
1
1
1
B）______________.
P（B|A）
P（B）
，则P（A
4
3
6
解：
P（AB）
P（A）P（B|A）
1
1
1
B）
1
4
3
，P（A
P（A）P（B）P（AB）
12
3
6.已知P（A）
0.6,P（AB）
0.3,且A,B独立,则P（A
B）
.
解：
P（AB）
P（A）P（B）
0.3
P（B）0.5
P（B）
0.5
P（AB）
P（A）
P（B）
P（AB）P（A）
P（B）
P（A）P（B）
0.8
7.已知P（A）=,P（B）=,
且A,B互不相容，则P（AB）
_____,P（AB）_____.
解：
P（AB）
P（B）
P（AB）
0.3,P（AB）
P（A）
P（AB）0.3
或P（AB）
P（A
B）1
P（A）
P（B）
0.3
8.在三次独立的实验中，事件
B至少出现一次的概率为
19/27，若每次实验中
B出现的
概率均为p,
则p=_______________
解：
设X表示3次试验中事件B出现的次数，则X:
B（3,p），
P{X1}
1
P{X
0}
1
（1
p）3
19
p
1
27
3
9.设X:
P（
）,
0，则X的分布律为
解：
P{X
k}
ke
k0,1,2,L
k!
10．设随机变量
X服从泊松分布，且已知
P{X
1}
P{X
2}，那么P{X
4}
。
解：
由P{X
1}
P{X
2}即
e
2e
2，P{X
4}
24e2
2
e2
1!
2!
4!
3
11.设随机变量X:
U
（0,5）,则方程2Xx2
2Xx
1
0（x为未知数）有实根的概率为.
解：
P{
0}
P{（2X）2
4
2X
0}
P{X
2}
P{X
0}
3
5
12.设X:
N（1,3）,Y:
N（2,4）
，X与Y相互独立，则Z
2X
3Y:
解：
E（Z）
2E（X）
3E（Y）
4,Var（Z）
4Var（X）9Var（Y）
48,Z
2X
3Y:
N（4,48）
13．设10件产品中有
4件不合格品，从中任取两件，则其中至少有一件是不合格品的概率为
．
解：
p1
C62
1
1
2
C102
3
3
Y
1
2
3
X
14.设随机变量（X,Y）的概率分布如
1
1/6
1/9
1/18
右表,则E（X）
Var（X）
2
1/3
2/9
1/9
解：
QP{X
1}
1
P{X
2}
2
E（X）
5
E（X2）
3,Var（X）
3
（
5
）2
2
3
3
3
3
9
15.已知随机变量
X服从[1,3]上的均匀分布，则E（X）
Var（X）
。
解：
E（X）
1
3
2，Var（X）
（3
1）2
1
2
12
3
16.二维连续型随机变量
（X,Y）的联合概率密度为
f（x,y），则
f（x,y）dxdy1
。
17．设随机变量
X,Y独立且X,Y的概率密度分别为
2x
0
x
1,
fY（y）
4y,
0
y2,
fX（x）
其它,
0,
其它,
0,
则（X,Y）的联合概率密度为。
8xy
0x1,0y2
解：
X,Y独立,f（x,y）fX（x）fY（y）
其它,
0,
18.设随机变量序列X1,X2,LXn,L相互独立，且服从同一分布，
E（Xk）
存在，则
0，有limP{|1n
Xk
|
}
0
。
n
nk1
19.
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，
Xn
:
U（0,10）,n
1,2,3,L
，那么当n
时
X
1
n
0
10
Xi依概率收敛于
2
5
ni1
20.
设X、Y相互独立且X:
2（m），Y:
2（n），则X
Y:
2（m
n）。
21．设（X,Y）:
N（1,2,
12,
22,
），则Cov（X,Y）
1
2
2（10）的样本，则统计量
n
2（10n）。
22.
设X1,X2,L
Xn是来自总体
Y
Xi:
i1
1
x
23.
设总体X具有概率密度函数
f（x）
e
x
0，
0为已知，
0else
样本为X1,X2,LXn，则E（X）
，Var（X）
。
解：
E（X）
E（X）
Var（X）
2
，Var（X）
。
n
n
24.在总体N（52,6.32）中随机抽一容量为
36的样本，则样本均值
X落在到之间的概率为
。
解：
E（X）
52，Var（X）
6.32
，X
:
N（52,6.32
）
N（52,1.052），
36
36
P{50.8
X
53.8}
（53.852）
（50.8
52）
1.05
1.05
（1.71）
（
1.14）
0.9564（10.8729）
0.8293
25.设X1,X2,L
Xn是来自总体X的样本且E（X）
Var（X）
2，
2未知，
则的矩估计量为
，
2的矩估计量为
1
E（X）
1
μ
X,?
21
n
Xi2
2
解：
E（X
2
）Var（X）
[E（X）]
2
2
2
2
2
X
2
2
1
ni1
26.随机抽查某校的
7名学生，测得他们的裸眼视力分别为：
,,,,
，则总体均值
及方差
2的矩估计值分别为
?
，?
2
．
μx
1
n
1.2143,?
2
1
n
2
xi
xi2
0.1755
解：
由上
x
ni1
ni1
10
27．设X1,X2,L
X10是来自总体N（0,0.32）的样本，则P{
Xi2
1.44}
i1
解：
Q
Xi
:
N（0,1）,（Xi
）2:
2
（1）,
1
10
Xi2
:
2（10）
0.3
0.3
0.09i1
10
1
10
1
10
P{
Xi
2
1.44}
P{
Xi2
16}
1
P{
Xi2
16}
0.90,（Q
02.90（10）15.987）
i1
0.09i1
0.09i
1
28.设X1,X2,L
X10是来自总体X:
2（n）的样本，E（X）
Var（X）
E（S2）.
解：
E（X）
E（X）
n，Var（X）
Var（X）
2n
n,E（S2）Var（X）
2n
10
10
5
29.设在总体N（
2）中抽取一容量为16的样本，这里
2为未知参数，S2为样本方差。
2
则P{S2
2.041}
，Var（S2）
解：
Q
（n1）S2
:
2
（n
1）,n16
2
P{
S2
15S2
30.615}0.99,（Q
2
（15）30.57830.615）
22.041}P{
2
0.99
2
2
15S2
2
2
15S2
4
2
4
Var（S
）Var（
2）（
15
）Var（
2）
15
22
15
15
15
30.铅的密度测量值服从正态分布
N（,
2），测量16次，算得x
2.705，s
0.029，
则的置信水平为
0.95的双侧置信区间为
。
解：
1
0.95,
0.05，
2未知,
的置信区间为
（X
St
（n1）,X
St
（n
1））（2.7050.029t0.975（15）,2.705
0.029t0.975（15））
n1
2
n1
2
16
16
（2.705
0.029
0.029
2.1314,2.705
2.1314）（2.6895,2.7205）
16
16
二．计算题
1.设某人按如下原则决定某日的活动：
如该天天下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友；如该
天天不下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是。
（以下要求用字母表示随
机事件，写出计算公式）
（1）试求那天此人外出购物的概率。
（2）已知此人那天外出购物，试求那天下雨的概率。
解：
设A:
下雨，B:
购物C:
会友
则P（A）0.3
，P（A）
0.7
，P（B|A）
0.2,P（C|A）0.8
，P（B|A）0.9,P（C|A）0.1
（1）P（B）
P（BA
BA）
P（B|A）P（A）
P（B|A）P（A）
0.69
（2）P（A|B）
P（AB）
P（B|A）P（A）
0.2
0.3
2
P（B）
P（B）
0.69
23
2.设随机变量
X:
N（1,4），现对
X
进行三次独立观察，求至少有两次观察值大于
1
的概率。
解：
P{X
1}
1
P{X
1}
1
1
1
1
（1
（1））
0.8413，
（
）
2
设Y表示三次观察中观察值大于
-1
的次数，则Y:
B（3,0.8413）
则
P{Y
2}1
P{Y
0}
P{Y
1}
1
（1
0.8413）3
3
0.8413（1
0.8413）2
0.9403。
3．某地抽查结果表明，考生的外语成绩（百分制）
X近似服从正态分布
N（,
2），平均成绩为
72，96分
以上的考生占%,求：
（1）标准差
的值.
（2）考生成绩在
60分到84分之间的概率。
解：
72,
2.3%
P{X
96}
1
（96
72）
12
P{60
X84}
84
72
（
60
72
）
2
（1）
1
0.6828
（
）
12
12
4.设随机变量
X的概率密度为
f（x）
cx4
0
x
1
。
0
else
求
（1）常数c。
（2）
X
的分布函数。
（3）
1
3
P{
x
}
（4）
Y
2X
1
2
4
的概率密度函数。
c,c
解：
（1）由1
f（x）dx
1
cx4dx
5
0
5
0
x
0
（2）F（x）
x
f（x）dx
x
5t4dtx5
0x1
0
1
x
1
（3）P{1
x
3}F（3）F
（1）（3）5
（1）5。
2
4
4
2
4
2
（4）当0x1,
1y2x
13时
FY（y）P{Y
y}
P{2X
1
y}
P{X
y
1}
FX（y1）
2
2
'
'
y1
y1
y1'
5（y1）4
1y3
fY（y）FY（y）FX（
2
）
fX（
）（
2
）
32
2
0
0
5.将2个球随机地放入
2个盒子中，若
X、Y分别表示放入第
1个，第
2个盒子中球的个数，
求
（1）（X,Y）的联合分布律和边缘分布律
.
（2）
求P{X1|Y
1}（3）
X、Y是否独立
解：
（1）
Y
X0
1
2
P{Y=j}
100
20
2
P{X=i}
1
1
4
4
1
0
1
2
2
1
0
1
0
4
4
1
1
1
1
4
2
4
（2）
P{X1|Y
1}
P{X
1,Y1}
1
（3）
P{X
1|Y
1}1
P{X
1
P{Y
1}
1},X,Y不独立。
2
6.设X,Y是独立同分布的随机变量，
P{X
i}
P{Yi}
1
1,2,3
M
max（X,Y）,
i
3
N
min（X,Y）,求（M,N）的联合分布律和各自的边缘分布律并求出
P{X
Y}.
解：
X,Y独立且
X12
3
Y1
2
3
pk
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