1995考研数三真题及解析.docx
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1995考研数三真题及解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）⑴设f（x）二—，则f⑺（x）二.
1+x
⑵设z=xyfC）,f（u）可导,则xZxyZy=.
x
（3）设f（Inx）=1x,则f（x）二.
100、
⑷设A=：
220,A用是A的伴随矩阵，则（AJ」=.
⑸设X1,X3」f,X5是来自正态总体N（」f2）的简单随机样本，其中参数丿和二2未
1nn
知，记XXiQ2八（Xi-X）2,则假设H。
：
—0的t检验使用统计量
ni二y
t=.
、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只
（1）设f（x）为可导函数，且满足条件四
（1,f
（1））处的切线斜率为（）
1
（A）2（B）-1（C）（D）-2
（2）下列广义积分发散的是（）
11
（A）工——
Jsinx
丄2-
11dx（B）.j2dx寸1—x
■be2-be1
（C）0e」dx（D）.2-dx
02xlnx
⑶设矩阵Amn的秩为r（A）=m:
:
:
n,Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）
（A）A的任意m个行向量必线性无关
（B）A的任意一个m阶子式不等于零
（C）若矩阵B满足BA=0,则B=0
（D）A通过初等行变换，必可以化为（Em,0）的形式
（4）设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X，Y,则随机变量U与V必
（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零
⑸设随即变量X服从正态分布N（*2）,则随匚的增大，概率Pfx一」1（）
（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定
三、（本题满分62分）_cosx）,xcO
x
设f（x）=21,x=0,试讨论f（x）在x=0处的连续性和可导性.
1x2
四、（本题满分6-分Costdt,x>0
.x
已知连续函数f（x）满足条件f（x）二:
-e2x,求f（x）.
、013丿
五、（本题满分6分）
将函数y=1n（1-x-2x2）展成x的幕级数，并指出其收敛区间.
六、（本题满分5分）
:
:
:
:
（x2,y2）
计算min{x,y}e4）dxdy.
七、（本题满分6分）
设某产品的需求函数为Q二Q（p）,收益函数为R二pQ,其中p为产品价格,Q为需求量（产品的产量）,Q（p）为单调减函数.如果当价格为p°,对应产量为Q0时，边际收益
dR
二a0,收益对价格的边际效应dR
dp
Ep二b1.求p。
和Q.
八、（本题满分6分）
设f（x）、g（x）在区间[-a,a]（a-0）上连续,g（x）为偶函数,且f（x）满足条件f（x）f（-x）二A（A为常数）.
aa
（1）证明飞f（x）g（x）dx二A0g（x）dx；
⑵利用
（1）的结论计算定积分J±|sinxarctanexdx.
2
九、（本题满分9分）
已知向量组（I）：
1,：
2^3；（儿）宀，〉2,>3,〉4；（川）>1,>2,〉3,〉5,如果各向量组
的秩
分别为r（I）二r（ll）=3,r（lll）=4.
证明:
向量组>1,>2,>3,>5-爲的秩为4.
十、（本题满分10分）
已知二次型f（%,x2,x3）=4x；-3xf4%x2-4^X38x2x3.
（1）写出二次型f的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进
一步调试，
经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新
生产了
n（n一2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：
（1）全部能出厂的概率；
⑵其中恰好有两台不能出厂的概率1;
⑶其中至少有两台不能出厂的概率二.
十二、（本题满分8分）
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
X4xy,0_x_1,0_y_1,f（x'y）=i0y其他，y
求X和Y联合分布函数F（x,y）.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】DY
（1+X）T
【解析】由于心）」"2_1=2（1•x）」一1,
1+x1+x
f（x）=2（-1）（1X）3
f（x）=2（一1）（一2）（1x）",IH,所以f（n）（x）=2（-1）nn!
（1x）』。
=2（-1）烈.
（1x）n1
⑵【答案】2xyf丫
lx丿
【解析】根据复合函数求导法则，
z^yf-xyf'一占=yfy.x1xy
所以ssxyf「“「xyf「
y=（f（x））的导数为y=：
（f（x））f（x）.
（3）【答案】xexC
【解析】在f（Inx）=1•x中令Inx=t,贝Uf（t^1et，从而
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题，它是根据具体情况和问题的要求，首先提出原假设H。
再由样本提供的信息，通过适当的方法来判断对总体所作的假设H。
是否成立.
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值J的假设检验问题.据此类型应该选取t检验的统计量是
X-％X
一1（Xi-X）2
n（n-1）ij
t0-
X
经过化简得t=—yn（n-1）.QN
【相关知识点】假设检验的一般步骤：
（1）确定所要检验的基本假设Ho；
（2）选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；
（3）对确定的显著性水平二查相应的概率分布，得临界值,从而确定否定域;
（4）由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设H。
作出拒绝还是接
受的判断.
、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】（D）
故应选（A）.
注：
对于本题选项（A）,由于当x=0时sinx=0,故在积分区间［-1,1］中x二0是瑕点,
dx应分解为两个反常积分之和：
11反常积分」——
-sinx
1111
即dx发散，故一dx发散.
10sinx'-1sinx
111
在此不可误以为—是奇函数，于是'dx=O,从而得出它是收敛的错误结
sinx、」sinx
论.
⑶【答案】（C）
【解析】r（A）二m表示A中有m个列向量线性无关，有m阶子式不等于零，并不
是任意的，因此（A）、（B）均不正确.
经初等变换可把A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只fO10）
用一种不一定能化为标准形•例如，只用初等行变换就不能化成（E2,0）
（001,
的形式，故（D）不正确•
关于（C）,由BA=0知r（B）r（A）乞m,又r（A）二m,从而r（B）乞0,按定义又有
r（B）_0,于是r（B）=0,即卩B=0.故应选（C）.
⑷【答案】（D）
【解析】Cov（U,V）二Cov（X-Y,XY）.
二Cov（X,XY）-Cov（Y,XY）
-Cov（X,X）Cov（X,Y）-Cov（Y,X）-Cov（Y,Y）
=DX-DY.
由于X和Y同分布，因此DX二DY，于是有Cov（U,V）=0.
所以U与V的相关系数也为零，应选（D）.
【相关知识点】协方差的性质：
Cov（aX,bY）二abCov（X,Y）；
Cov（X「X2,Y）=Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）.
（5）
【答案】（C）
【解析】由于xLNC点2）,将此正态分布标准化，故
计算看出概率p{x一艸＜cj}的值与er大小无关.所以本题应选（C）.
三、（本题满分6分）
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题•一般要用
连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和
s=3,于是
四、（本题满分6分）
【解析】首先，在变上限定积分中引入新变量
3xt
fdt=3f（s）ds.
030
X“
代入题设函数f（x）所满足的关系式，得f（X）=3.°f（s）dse
在上式中令X=0得f（0）=1，将上式两端对x求导数得
f（x）=3f（x）2e2x.
由此可见f（X）是一阶线性方程f（x）-3f（x）=2e2x满足初始条件f（0）=1的特解.用e"同乘方程两端，得f（x）e^X=2「,积分即得f（x）二Ce3x-2e2x.
由f（0）=1可确定常数C=3,于是,所求的函数是f（x）=3e3x-2e2x.
五、（本题满分6分）
【解析】由1-x-2x~（1-2x）（1x）知
ln（1一x-2x2）=ln（1一2x）In（1x）.
23n
因为In（1x）=xx（_i）n|||,
23n
其收敛区间为（-1,1）；
23n
又In（1_2x）=（—2x）—^^•旦M）n1^^III,
23n
其收敛区间为-1,】•
I22丿
于是有In（1_x_2x2）=「（—1）
/」二L
其收敛区间为-1,1.
I22丿
【相关知识点】收敛区间：
若幕级数
2、n（_“n1（-2x）n
n
n1n
八2xn
n丄
是开区间（-R,R）;若其收敛半径是
qQ
anxn的收敛半径是正数R,则其收敛区间
n=S
■:
:
，则收敛区间是（-"'，=）.
六、（本题满分5分）
【解析】方法一：
本题中二重积分的积分区域D是全平面,设a0,
Da・：
（x,y）|-a乞x_a,—a_y_a：
则当a—」时，有Da—；D.从而
I=min{x,y}e'xy）dxdylimiimin{x,y}e'xy）dxdy.
亠二j^Da
注意当x-y时,min{x,y}=x;当xy时,min{x,y}二y.于是
!
imin{x,y}e"y）
Da
ay_£x2+v2）
dxdydyxe‘y）dxdxye
.a.a.a.a
且ax{22、1
dxye4xy）dy=-dxe
■-a'-a2'-a'-a
1』e,
由于__e"dx，从而可得
ax-（x2y2）221
d（x+y）=;L（e2」
a"
edx.
-a
a21
bdx2
''□DO
同理可得
方法
a4x2-a2）
a2
exdx
-a
ax衣叫汁0-和鮎
t=42xlim
2:
2a_?
:
-
ay丄x24y2）yH
limdyxe4）dx
亠2、2
■“'2二
、2__2.
设R0，则圆域Dr」.（x,y）|x2y^R2当R>:
:
时也趋于全平面，从
aim^dx^ye
e'dt二-
'、二
2、2.
HzC（22）（22）
Imin{x,y}e'xy）dxdylimmin{x,y}e'xy）dxdy.
RDr
引入极坐标系x二rcosdy二rsi，贝U
-5一
当0与2二时,min{x,y}=y=rsinr;
44
5:
：
当时,min{x,y}=x=rcost.
44
于是iimin{x,y}e'xy）dxdy
DR/R2工2丁R2j22二R2
Rr2e#dr.
=o'sinrdoredr亠i4cos^doredr亠i5二sinvdoredrR24-2-
redr°4sin4cosrd【亠15-sinrd）--2.2。
0IL04T0
R2r2Rr2
redr=.2limrd（e）
':
e’dr—昭
【解析】本题的关键在于p和Q之间存在函数关系，因此R=pQ既可看作p的函
数也可看作q的函数，由此分别求出箒及焙并将它们与弹性已卩咄器联系
起来,进而求得问题的解.
【解析】
（1）由要证的结论可知，应将左端积分化成'-0,a1上的积分，即
a0a
〜f（x）g（x）dx二」（x）g（x）dx°f（x）g（x）dx.
再将af（x）g（x）dx作适当的变量代换化为在l.0,a1上的定积分.
、a0a
方法一：
由于f（x）g（x）dx=if（x）g（x）dx亠If（x）g（x）dx,
■_a.a"0
0
在f（x）g（x）dx中令x--t,则由x:
-a>0，得t:
a—；0，且■_a
00aa
』f（x）g（x）dx二af（—t）g（-t）d（-t）二0f（_t）g（t）dt二0f（_x）g（x）dx,
aa厂-a
所以.」（x）g（x）dx=0〔f（x）f（_x）】g（x）dx二A0g（x）dx.
a
方法二：
在」（x）g（x）dx中令x~-t,则由x:
-a—a，得t:
a—a,且
用
（1）中结果计算题目中的定积分.
、rxJ!
方法一：
取f（x）=arctane,g（x）=sinx,a=—.
2
由于f（x）f（-x）=arctanexarctane」满足
x—x
“e—e
arctanexarctane»2x2x=0,
1+e1+e
故arctanexarctane^=A.
以下同方法九、（本题满分9分）
【解析】因为r（I）二r（ll）=3,所以m3线性无关,而：
-1<'2<'3/'4线性相关,因此=4可由〉1」2」3线性表出，设为〉^l/1l^2lr3.
若匕8+k2a2+33+k4（G5—口4）=0,
即（k1-■1飞4）、；1*（k2-■l2k4）、；2'（k3-'13k4）'S'=0,
由于r⑴I）=4，所以做5片3,5线性无关•故必有
I
Ik?
-l2*4=0,
k^—3X4=0,
解出k4=0*3204炜亠0,匕=0.
于是>1,>2,〉3,〉5-〉4线性无关,即其秩为4.
十、（本题满分10分）
由（E-A）x=O得基础解系Xi=（2,0,-1几即属于'=1的特征向量.
由（6E-A）x=0得基础解系X2=（1,5,2）T,即属于■=6的特征向量.
由（~6E-A）x=0得基础解系X3=（1,-1,2）丁，即属于怎--6的特征向量.
y1
经正交变换|X2j
'X3J
'也「次型化为标准形
書3勺5殛丁J6丁222
f“1,X2,X3）=xAx=y上y6y^6y3.
1、（本题满分8分）
【解析】对于新生产的每台仪器，设事件A表示“仪器需要进一步调试”，B表示“仪器能出厂”，则A二“仪器能直接出厂”，AB=“仪器经调试后能出厂”.且B=AUAB,A与AB互不相容，应用加法公式与乘法公式，且由条件概率公式
P（B|A）=P（AB）=P（AB）=P（B|A）P（A）,
P（A）
有PBi；=PAPAPB|A]=0.70.30.8=0.94.
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布Bn,0.94.由
二项分
布的概率计算公式，可得所求概率为
⑴二p^x二n'-0.94n；
（2）一：
二P〈X二n—2.；=C；0.94n，0.062;
（3）v-P〈X乞n—2；=1-P〈X=n—1?
-P〈X=n；=1—0.06n0.94心-0.94“
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
若Y-B（n,p）,则P〈丫二k—C：
pk（1-p）nJ\k=0,1,川，n.
十二、（本题满分8分）
【解析】将整个平面分为五个区域（如右图）.
当（x,y）Di时,F（x,y）=0,
其中Di二{（x,y）x0或y：
：
0}.
当（x,y）D4,即x1且y1时,F（x,y）=1.
当（x,y）D时，即0-x-1,0-y-1时,
xyx222
F（x,y）=J0.04stdtds=2syds=xy.
当（x,y），D2,即0_x—1,y1时，
xyx1x-
F（x,y）=J004stdtds=j0dsj04stdt=[2sds=x.
当（x,y）eD3,即x>1,0兰y兰1时，与D-类似，有F（x,y^y2.乂“或‘*0,
x^y2,0Ex^1,0兰y兰1,
综上分析，（X,Y）的联合分布函数为F（x,y）=^y2,1：
：
：
x,0f
x,0兰x兰1,1Cy,
1,1：
：
x,1：
：
y.
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