地球流体动力学复习总结.docx

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地球流体动力学复习总结

主要概念:

1.位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律

位势涡度：

在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称为位势涡度，且定义为（「2「），,_-■

P

位势涡度的引入有两种方法：

A.可以从涡度方程出发

d们----VPxVp3

涡度方程：

丄」=「aUPV-

dtPP

影响涡度变化的因素可概括为：

涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。

位势涡度方程：

Q（匕）「-［丄人币］•「{':

P}•「c-）

dtppp3pp

因此，当满足以下三个条件时：

1.3=0摩擦可忽略

2.'是守恒量，=0

3.

■仅是匚p的函数，、''、p）=0，或流体是正压的

7—h

浅水中引入守恒量B

H

则二

（f）

故浅水位涡守恒—（丄=0

dtM

B.从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒。

2.地转风和热成风

地转风：

在大尺度旋转流体运动中，其Rossby数的量级0（&）<10,,在旋转流体水平运动

过程中若略去0（10，）以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的

运动即为地转运动，此时的风为地转风。

风沿等压线的方向，在北半球高压在右。

-：

vg

3.Taylor-proudman定理

在均质或正压旋转流体中,

流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿门的方向上将不改变。

也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴的方向,

即运动将趋于两维化。

4.地球上流体大尺度运动

大尺度运动的定义：

RoUU-1

20L一fL

物理意义：

流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几

乎感不到地球的自转。

也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一个小偏差。

t惯性力/科氏力t旋转时间尺度/平流时间尺度t相对涡度/牵连涡度t相对速度/牵连速度w1

Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。

5.Brunt-Vaisala频率

地球流体是具有层结结构的层结流体。

由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，

其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。

因此，

流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振

1

一_（z^2

荡运动，又称为浮力振荡，其频率为N，称作Brunt-Vasala频率。

其中，z为

高度坐标，0是位温。

Brunt-Vasala频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。

0时，层结是稳

定的；当d%z£°时，层结是不稳定的。

对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响可以忽略，其表达式可简化为

1

..「g^P¥

N三

IP呵

6.

均质流体和层结流体（三种情况下）的准地转位势涡度方程

层结流体的准地转位势涡度方程：

Q「o「：

y｝二丄厶（^Wj）

dtPsdz

d1用P1冷P

大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：

巴「°「y•丄—（_2入）]=丄一

（二）

dtPsczsPsczs

d1甘P

在无加热时，准地转涡度方程为：

°[0-y（二山）]=0

dtPsczs

相应的流函数形式位涡方程：

H.：

'■■■.：

「2「1?

亠厂:

二——一-——一][22—一（）y]=0

d匚

海洋中天气尺度的准地转位涡方程：

-匹丄w1s=山

dt

-j;?

s:

.匚

y-一T—（）

s

7.Rossby变形半径

R-C0也，是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。

f20

（1）Poincare波：

在旋转特征周期2"‘这一时间尺度上，波速为C0=：

JgH0的浅水重力

波传播的特征距离。

（2）Kelvin波：

在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。

振幅

cc

衰减的e-折尺度为R三0-。

可将Rossby变形半径理解为一个特征距离尺度，在这个

f2Q

距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平

衡。

（3）准地转位涡守恒方程：

—{^F°•B}=0

dt

准地转近似下的无量纲的位涡为：

二gMIO—F°*B

2L2

'、0和F0两项比较看F=（—）2:

R

F「：

：

1，的变化可以忽略，比Rossby半径小的水平尺度运动可视为刚盖运动（自

由面起伏对大尺度运动的高度贡献不大）。

2

F>>1,'、项可忽略，比Rossby半径大的水平尺度运动o

（1）量级上的相对涡度是次

要的。

因此，Rossby波半径又可解释为这样一个特征距离尺度，在此距离上，相对涡度和表面

高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献。

8.

Rossby数，Ekman数，雷诺数，Froude数（旋转/层结）

t惯性力/科氏力t旋转时间尺度/平流时间尺度t相对涡度/牵连涡度t相对速度/牵连速度w1

Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。

Ekman数：

2

E二U/L，表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数。

fUfL

雷诺数:

Re二9竺,Ah为垂直湍流粘性系数。

AH

F是表征运动的水平尺度L相对于Rossby变形半径R的大小的一个参数。

其中，g为简化重力（g'選寸）

9.群速度

在简化条件I：

:

：

1下，由线性化准地转位涡守恒方程:

直2甘@

p-F］：

二=0和波动的表达式=A（x,y,t）cos（kxly-；「t）

.:

t；x

可以得到精确到最低阶的

k

Rossby波频散关系：

；「二一-—2

K+F

以及反映振幅变化的方程：

2；*一：

2㈡：

：

A

22—0

.:

tKF;:

xKF:

y

由此可见振幅为的传播速度:

B（k2—丨2—F）如Pkl旳

Cgx2，Cgy-22

gKF；:

kgyK2Fjl

----dA

Cg=Cgxi'Cgyj，以速度Cg移动的观察者（因为=0）所看到的振幅为常数，将此速

dt

-K---

度定义为群速度：

cg=、k；「二k（kc）c•kc=c•K\kc（Cg=c时为频散波）。

10.共振三波组

对于非线性准地转位涡方程（无量纲）

aar^njia

.x

c2「-f）——C2「）_——C2:

）-.:

t;:

x;:

y釣;:

x

l2

：

=：

01=Rossby波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。

令t*=（-0l）4Tt（~为新的无量纲时间变量）

U

P|2即~=-t

U

11时，~为无量纲快变量，其特征值（飞L）-要小些

t为无量纲慢变量，其特征值（丄）要大些

U

无量纲位涡方程则要求表示为：

显然非线性项的量纲为：

■-J，是否忽略非线性作用的条件是由1决定。

1

求解方法是利用对小参数日的摄动展开。

1

1〜

.22（x,y,t）...

（-冷⑴：

略（2。

500-2。

504）

此式说明了第m个波和第n个波相互作用产生了关于方程的强迫项，此强迫项也是一个

周期作用，其波矢为：

Kmn二Km_Kn；频率Wmnm二匚n

通过数学处理，可得强迫振荡：

1的振幅:

明确：

-mn是「方程的固有频率；--mn是强迫项的频率；Kmn是强迫项的波矢

叫，小4叫一"g3

这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足:

…^mkn

_22_22

k2I2Fk2I2F

mmnn

mn与''mn无限接近时，会出现共振。

1t

非线性问题的解（精确到1）:

—化+（詐讪0日皿+6）=化+亦0日mF）

令：

（x,y,〜，J=\（x,y,〜）=l（x,y,~）则要求：

kj-km•kn=0,ljIm人=0，二j（kj,lj）二m（km,lm）；「n（心儿）=0即：

三个波矢之和为零。

kkk-

第三个条件可写为：

2一霧2為2打0

km也杆knf+Fkj+lj+F

我们称满足上述条件的波矢构成共振三波组。

11.f平面近似，[平面近似

L亓

f平面近似：

运动的经向水平尺度远小于地球半径时，1，取f：

、f°，把f作为常数处

a

理，称为f平面近似。

:

平面近似：

f二f0•：

0y*,考虑了由于地球的球面性引起的f变化的线性部分，f的变化对f°而言是个小量，但与相对涡度比较已不能忽略。

12.球面1效应与地形1效应等价性（P81）

在3—平面模式中，浅水位涡为：

其中，-0y*f°h；/D为环境位涡的变化部分。

可见，科氏参数随纬度的变化,y*与

地形的变化f0h；/D在位涡动力学中具有精确的动力学等价性。

球面一：

效应与地形一：

效应动力学等价性相当于j二乂1。

L2

13.Rossby驻波

r1

加上纬向流扰动后，流函数为：

®=-Uy+%x,y,t）,I?

为无量纲数丿

-1

代入准地转无界波动的位涡方程，得：

[—1?

一][\2_F]'Fl?

]J（,I2_F■）二0

；:

t:

x:

x

取解的形式为：

.二Acos（kx-ly-；「t）（无界平面波）该解要成为方程的精确非零解应满足频散关系:

—K^r（Uk2」）>Cx，当U=

从此频散关系我们可以看出:

当U?

=-1东风基本流时，对于任何波动都是向西传播，不可能出现驻波。

总之，稳定的Rossby驻波只有在I?

与1同号时，才会在无界区域内出现，而当I?

与］反号

时，驻波只能在有界的区域即K2：

：

：

0时才会出现。

14.旋转减弱时间

t=」D。

旋转流体受扰动后，如去掉产生扰动的外力，则流体运动要调整到地转平衡。

2Kvf

Ekman层，能联将从摩擦不起作

延伸到下垫面附近的流体因受到摩擦力的作用在其附近形成

用的区域流入Ekman层被摩擦消耗掉，流体运动在下垫面摩擦的作用下减弱，最终达到一种静止状态，称为"旋转减弱”，把摩擦引起的涡度随时间的衰减的时间尺度称为“旋转减弱时间”。

旋转衰减的机制

（1）从相对涡度方面考虑：

当正涡度存在时，下Ekman层将把流体向上抽吸到低压内，上

Ekman层则向下抽吸，二者联合效应使涡管以-r。

的速度被压缩。

相对涡度随时间减小。

反之亦然。

（2）

从能量角度：

Ekman抽吸作用，使内区低压中心的流体向外流动，必定克服压强梯度

能，又进而转化为湍流动能。

15.Sverdrup关系

Sverdrup关系：

：

v=f』通过行星涡度f拉伸和在行星涡度梯度：

方向的经向运动构成

cz

的涡度平衡，为对混合层下的流体元才有效的局地微分平衡关系。

Sverdrup平衡：

v°=kcurl~，由海表的风应力旋度确定流体的经向速度，适用于内区。

16.Munklayer，Stommellayer摩擦附属层，惯性边界层

17.Ekman上升流

（1）风吹过海洋产生Ekman漂流，漂流与风之间有一夹角。

根据一个简单的理论知此夹角为90（北半球向右）。

因此当风沿岸界吹的时候，产生的Ekman漂流方向不是向岸，便是离岸，岸界作为障碍存在。

北（南）半球岸界在左（右）侧时，沿岸吹的风产生离岸流。

此时上层水减少，压力降低，强迫低层的水向上移动以补充离岸流造成的空缺。

这种现象称为沿岸上升流。

（2）沿赤道的上升流，沿赤道，稳定的信风总是从东向西吹。

在赤道以北，Ekman漂流向右，或者说离开赤道；而在南侧，它偏向左，也是离开赤道。

沿赤道必然发生水平

辐散，质量守恒要求上升流。

（3）气旋中心会出现Ekman上升流。

（4）在高纬，上升运动通常发生在冰边缘，称之为冰区边缘带。

均匀风在冰面和开阔水域

上有不同的应力作用；紧接着移动的冰对其下的海洋有应力作用。

对风与冰边缘之间

特定的角度，流辐散，发生上升流以补偿水平流辐散。

方法（掌握）

1.尺度分析法

合理的估计出一个函数，一个物理作用在问题中量级的大小，根据每个作用的相对大小将一些小项略去，保留重要性较大的项。

这样可以使主要因子筛选出来，使复杂的问题得到简化。

2.小扰动线性化法

3.摄动法

4.平面波求解方法

5.边界层中坐标变换方法

6.Rossby波能量传播图作图法（通过波矢量来表示群速度的一种几何方法）

-CT

原理：

k2l2F0

E22B2

（,0），半径是

一2

若：

k0（正数）匚：

:

0,[k_——]2I2二一-F—2^如

对于某一频率c，波矢必须位于k-l平面的一个圆上，其圆心坐标是（二-F）12。

当,F一定时，圆心位置与半径完全由频率决定。

平均能通量矢量的方向可以用OW的方向来表示而对于振幅和频率都相同的Rossby波，能

通量也相同。

波矢端落在APB上的波向右传播能量（波数大，短波）

波矢端落在AOB上的波向左传播能量（波数小，长波）（P122）

利用能量传播图表示，，反射平面波的关系的步骤：

<1>根据已知x-y平面上入射波的能量方向：

:

:

si-和二i角在k-l图上确定wi点。

<2>连接原点和Wi点确定入射波对应的波矢量ki

<3>根据入射角=反射角，在k-l图上确定owr。

<4>连接原点与Wr得到反射波波矢量和平均能通量

<5>将kr和：

:

:

sr•平行地绘制x-y平面图上，同时绘出cr和相平面（等相位线），等位相线之间间距与k呈反比。

主要内容：

1.浅水方程的导出（尺度分析法）

步骤：

1）确定基本量：

T,L,U,D

2）利用质量守恒方程：

--，W=0，进行尺度分析,

致®&

D

得到垂直速度尺度应受到的约束条件：

W

L

故W乞o（、U），事实上W远小于0（、U）。

3）估计动量方程各项以简化动量方程。

其P是可变压力场尺度，为了保持水平压力梯度项在动量方程中的作用，根据尺度分析，应

有:

P=:

-U[:

L,U,fL]max

4）根据对垂直速度变化方程的尺度分析，[W,列]max二上故:

TLPD

讨论：

若R洛，⑴或更大，上式右边量级为"

若R：

：

1，上式右边量级为、：

2R。

故精确到0（、：

2）量级时，大尺度大气海洋运

—0

:

x

.:

y；z

;u

丄旬丄

:

u

h

uv

fv=-g-

ft

:

x

-:

y

ex

:

h

—g-

：

y

利用上下边界条件，并对连续方程进行垂直积分，则可将连续方程写成:

这就是大气海洋中浅水运动的动力学方程组。

2.浅水中的平面波及频散特性和传播特性（小扰动线性化法）

基本方程：

[（2f2）-「（芽）]-gfJ（H°,）=0-t:

't

（一）Poincare波：

无水平边界，H0=const

描述方程简化为：

［（2•f2）」（cfi）］=0（齐次方程）

ct戲2

取其解的形式为：

=Re0ei（kx"y3=Re0e心

将解代入描述方程求其频散关系（重点）。

可得出，厂-_{f2c2K2}2，f=0时，厂-_CoK，c=「Co

可以得到以下结论：

（讨论）

1）无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同的波动。

2）旋转（地转）使波速增大。

频率大于f,周期小于地转周期iI的一半。

即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运动频率。

短波RK■.1，浅水重力波，二•RK；长波RK：

：

：

：

1，c:

-f，惯性振荡。

4）质点运动的水平速度矢量的矢端随时间描绘出椭圆的轨迹。

n2

0

2_C_

H0

因为二1，故平行K方向的最大速度大于垂直于方向的最大速度。

流体的运动处于非地转

平衡状态。

主要发生在沿着压力梯度I的方向。

V1:

10\二

5）位涡守恒线性化形式为：

（匚）=0

■rH0

波峰处产生正的相对涡度，波谷处产生负的相对涡度，自由面时升时降。

（二）Kelvin波：

无限长渠道，H0二const

描述方程为:

边界条件:

受边界条件影响，其解应取为：

求其频散关系（将解分别代入描述方程和边界条件，由描述方程得出关于振幅通解，再代入到边界条件中，使其有非零解的充要条件即是频散关系）：

（于一f2）（二2_k2c2）sin:

L=0

分三种情况讨论上式：

=n二/L,n=1,2…

22

n二

（1）

2

--k2

此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波，亦是向正，反两个方向传播的，不同之处

在于y方向的波数只是一的整数倍，不可能任意取值，称为Poincare波。

L

（2）匚-二c°k时特征方程也被满足，此解为一个与旋转参数

f无关沿着x方向传播的

kelvin波。

2ot

22

:

7-f

~2

C。

2，c

_fy/

求解为：

=0ec°cos（k（x-c0t））

口_fy/

u—ec0cos（k（x-c0t））

H0

v=0

特点：

1）在波动传播的x方向满足地转平衡，整个波动是非地转的。

2）y方向上只有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减，

在y方向上存在一个与波动场无

关的特征尺度R=c°（Rossby变形半径）,也是e-foldingscaleforthecross-channel。

波高

在观测者的右方最咼。

3）波动沿正负x方向传播，波峰线与y轴平行。

4）keIvin波只能在有界域内出现。

5）kelvin波是Poincare波的极限形式。

（3）；「-_f惯性振荡，为

（2）中的一种，此时已不能根据的表达式来得到u,v的解。

（三）Rossby波：

f-平面的渠道模式，为地形坡度。

描述方程：

—[（二f2）」（芽）]-gfJ（H°,）=0

-t:

t

边界条件：

；：

2:

:

f0,y=0,l

-y-t:

x

波动机制分析（3）

设其解：

=Re-（y）e"W，与Kelvin波相同。

nnnnn

即［（二-f）（二-kco）sln：

・L=0（与平底的有界域波动频散关系的形式一样，但：

•的值不同）讨论:

（1）；「=cokKelvin波

说明：

有界是Kelvin波的存在条件，”小”的地形坡度并不影响其存在。

此方程有两类完全不同的解。

第一类若丄：

:

：

1快波

第二类若二=o（s）慢波「2可忽略不计）

频散波。

波动特性：

（1）只有f,s均不为零时才存在地形Rossby波，即Rossby波是地形坡度与旋转两种因素

联合作用的产物，

因此地转与地形坡度同时存在，才会产生Rossby波。

看到浅流体在它的右方。

对于南半球则相反。

（4）高波数地形Rossby波与Poincare波以及Kelvin波相反，频率随波数增加而减小。

注：

通道中的Poincare波，Kelvin波和Rossby波的频散关系图P68。

3.浅水准地转位涡方程的推导，各项的物理意义（尺度分析，摄动法）

，小Rossby数，

（2）

借助尺度分析的方法从浅水方程出发，研究满足

（1）；=—1

fL

11一

"〒川，时间尺度远大于f的运动。

从浅水方程出发，实行无量纲化，引入特征量：

KlfULUf2L2厂f2L2」、2

No，F

（一）

gfLggDR

方程可写作：

；:

u/；:

u：

：

u、

；T（uv）-V二

:

t:

x:

y:

x

rccdi

:

V/:

v：

V\;■

-T（uv）u=-—:

t;xy:

y

令，=•；,，；是一个小量，将未知变量对；展开。

2

设u（x,y,t,；）二Uo（x,y,t）；U1（x,y,t）；U2（x,y,t）…

（式中Uo,U1,U2…等与；无关）

其他未知量也做类似展开，代入方程。

关于；的同次幕项须分别平衡，对于两个运动方程:

无法确定各未知量，地转退化。

F｛〒°uo—0

ctex

Ui,Vi完全由于处于地转平衡的运动U0和Vo的加速度及压力场与地转平

衡时的压力场偏差产生的。

（2）非地转运动的水平散度不为零，由于（A）地转运动自由面的起伏（B）底边界起伏所

造成的流体柱伸缩来平衡该散度。

一级近似方程整理后：

d-0换0cS,C^-0（占Ui矽1）甘生厂戲0

UoV0=（）,其中0:

dt讥：

x:

y:

x:

y:

x

0（；）

物理意义是：

相对速度的变率等于非地转运动的辐合，其量级为在；'近似条件下，由于’I：

f，故低阶近似中只有行星涡的挤压才有相对涡度的变化。

消去凹.兰得到：

Q{I-F0•B}二。

.xjydt

既：

[0二一二亠][\20—F0•B]=0为准地转位涡守恒方程。

.t:

x:

y:

y:

x

地转位涡（二g=\-F0*B）由相对涡度0、波高0和环境位涡B三部分组成。

波高的贡献取决于参数F的大小。

4•惯性边界流的动力学特点

根据准地转位涡方程讨论，若汗.；：

：

1，局地变率远小于平均项：

\__]C2：

_F：

B）=0

:

x:

y:

y:

x

JC：

，二g）=0，等'线与等二g线相重合。

物理意义：

相对涡度与环境涡度之和沿流线是守恒的，涡管的伸缩不会因自由面的变化

而是因底边界坡度的变化而变化。

引入函数：

B20•B，一旦K（「）确定，0即可解出。

（解椭圆

方程）。

若在均匀流的前方置一侧壁（x=0）,H0=D（1—s」）,

-sfL性4.亠性fLs

by=s（）y--y，其中-=s（）=

®UU£

故有I2匚|.：

y=K（「）

由于无穷远处是均匀定常流故I2：

：

=0,K（「：

J=V,

而匸門-壮,K（l）：

岸Il-y0，所以函数K（「）：

严“y0八2「「y为了将非齐次方程\2—一：

=--（^y0）变为齐次方程，若令

=（y-y。

）」:

（x,y），则、2」•严：

0。

■■的边界条件：

Xr-',■「「0；x