高中物理竞赛讲义微积分初步.docx

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高中物理竞赛讲义微积分初步

高中物理竞赛讲义--微积分初步

高中物理竞赛讲义——微积分初步

一：

引入

【例】分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2；

②立方体角点的电势与什么有关呢?

电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；

KQ

根据点电荷的电势公式及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为

rU=

CKQ2

ρa；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，a

3

2

ρ是电荷密度；其中Q=ρa

a2CKρa

③大立方体的角点电势：

U0=Ckρa；小立方体的角点电势：

U2=Ckρ（）=24

2

大立方体的中心点电势：

U1=8U2=2Ckρa

2

1

；即U01

2

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。

如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：

导数

㈠物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。

我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

△v△t

【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速

度的表达式。

（所有物理量都用国际制单位，以下同）

△s

分析：

我们知道，公式v=△t一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。

22

s（t）=3t+2ts（t+△t）=3（t+△t）+2（t+△t）

222

△s=s（t+△t）-s（t）=3（t+△t）+2（t+△t）-3t-2t=3△t+4t△t+2△t3△t+4t△t+2△t

v===3+4t+2△t△t△t

当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。

△s

2

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f（t）的变化率瞬时值z的步骤：

①写出t时刻y0=f（t）的函数表达式；

②写出t+△t时刻y1=f（t+△t）的函数表达式；③求出△y=y1-y0=f（t+△t）-f（t）；

④求出z=

△y△t

f（t+△t）-f（t）

；

△t

⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡无穷小

当△t取很小时，可以用V=

△s△t

求瞬时速度，也可用i=

△Q

N△φ

求瞬时电流,用ε=求△t△t

瞬时感应电动势。

下面，我们来理解△t：

△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？

可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：

ε>△t。

或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：

t

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=；

2t

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=；

3t

第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=；

4„„„„

t

第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=；

N+1

„„„„

一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。

或者，用数学形式表示为lim△t=0。

其中“lim”

∆t→0

∆t→0

表示极限，意思是△t的极限值为0。

常规计算：

①lim（△t+C）=C②limC·△t=0③limf（△t）=f（0）

∆t→0

∆t→0

∆t→0

④limf（t+△t）=f（t）⑤lim

∆t→0

sin（△t）

△t

∆t→0

=1

『附录』常用等价无穷小关系（x→0）

①sinx=x；②tanx=x；③1-cosx=

12

x；④ln（1+x）=x；⑤ex-1=x2

㈢导数

前面我们用了极限“lim”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:

∆t→0

z=lim

△y

∆t→0△t

并简记为z=

dy

称为物理量y函数对时间变量t的导数。

物理上经常用dt

dxdvdqdФ

、a=、i=、ε等，甚dtdtdtdt

某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=至不限于对时间求导，如F=

dWFdUdm

、Ex=、ρ=等。

dxdxdl

这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用lim来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。

∆t→0

如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率

的瞬时值（导数）了。

同学们可以课后推导以下公式：

⑴导数的四则运算

dudvuu

·v-u·d（）dtdtvd（u±v）duvdv

①=±③2

dtdtdtdtvd（u·v）dudvu

=·v+udtdtdtv⑵常见函数的导数

①

dCdcost=0（C为常数）；=-sint；dtdt

n

t

dtden-1t

②=nt（n为实数）；=e；

dtdtdsint

③=cost；

dt

⑶复合函数的导数

在数学上，把u=u（v（t））称为复合函数，即以函数v（t）为u（x）的自变量。

du（v（t））du（v（t））dv（t）

·dtdv（t）dt

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量

的导数——称为链式法则。

【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期

为ω（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。

请完成以下几问：

①求出t时刻的速度v

②写出合力F与位移x的关系

③验证简谐运动中质点的机械能守恒。

【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：

①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε

（计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照）

2π

三：

微分和积分

㈠简单问题

【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。

某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。

试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t的变化关系如何？

分析：

①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；

dq

②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q满足关系式：

dt③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-CRi；④联立上式，有dqd（Q0-CRi）di==-CRdtdtdt

tdidi

⑤进行公式变形，令则有CRdtdx同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i=数本身？

dix

我们观察到，只有y=Ce形式的函数才满足关系，C为待定常数。

dx故可以知道，i=Ce=Ce

x

-t/CR

di

？

，或者说什么函数的导数等于函dx

Q0U0Q0Q0-t/CR

当t=0时，U0=，i0=；而把t=0代人，得i=Ce=C；故C=CRCRCRQ0-t/CR

所以，流过电阻R的电流随时间t的变化关系为：

i=e

CR

【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t的

变化关系如何？

㈡微分

1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

didi

2、对于或i=，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函

dtdx数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。

下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。

虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q=i△t。

对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q=－△q，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi

di（dt和di称之为微分）,数学变形为i=-CR，即以上

dt

解法中的微分方程。

微分与导数有什么关系呢？

对某自变量为时间t的函数F（t），它的极其微小的变化，dFdF

我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：

dF=，其中为F对t的导数。

dtdt

下面是常见的微分公式与微分运算法则：

nn-1

①d（c）=0②dx=nxdx③d（sinx）=cosxdxxx

④d（cosx）=-sinxdx⑤de=edx⑥d（u±v）=du±dv

（）

（）

⑦d（cu）=cdu⑧d（uv）=vdu+udv⑨d

⎛u⎫vdu-udv

⎪=2

v⎝v⎭

㈢积分

在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q=i△t，△q称为电量微元。

如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：

q=∑i△t。

由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上

∆t→0

⎰⎰

求积分。

我们来看一下这么做有什么意义：

①从几何上看，对于i-t图像，q=lim∑i△t=idt

∆t→0

⎰

就是图像中的面积。

对于恒定电流，很简单，△q=i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q=i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。

dq

②前面我们求导用了i=，积分用了q=idt。

可以

dt

⎰

看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：

q=Q0-Q=Q0（1-e

-t/CR

Q0-t/CR

）,i=e满足求导和积

CR

dq

分的运算关系、q=idt。

dt

⎰

对于一般函数F，如果有f=

dF

，那么就有dt

⎰fdt=F+C。

请思考，为什么积分中会出

现常数C？

下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：

xn+1

+c①⎰kdx=kx+c②⎰xdx=

n+1

n

③cosxdx=sinx+c④sinxdx=-cosx+c

xx

⑤edx=e+c

⎰⎰

⎰

现在我们用微积分书写方式来来解答上题。

由Q0=Q+q；Q=Q0-q；UQ

则dQ=-dq=-idt=-dt=-dt

RCRdQ1

即dt；

CRQ

11

；对等号两边积分：

⎰=-⎰CRQ

t-t/CR

有lnQ=-C`，或者Q=Ce；

CR当t=0时，Q（0）=C=Q0；所以电容器电量为Q=Q0e

-t/CR

。

㈣定积分

【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。

分析：

在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，

有

⎰

ds=⎰vdt=⎰3t2dt，则有：

s=t3+C；

现在有问题了：

当t=0时，S（0）等于多少我们不知道！

而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！

下面我们从物理上考察C这个常数的意义。

t=0时，s（0）=C。

当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；„„。

我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。

那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数

3

关系式为：

s（t）=t+C。

题目中所求的1到3秒的位移

33

为：

s1=s（3）-s

（1）=（3+C）-（1+C）=8m。

题目中所要求的位移（速度积分）与积分式当要求t=t到t=t时间内位⎰fdt=F+C中的C无关，

1

2

移时，s（t1→t2）=s（t2）-s（t2）。

这个相当于我们用s=∑

v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。

我们用一种简单符号表示这种关系：

⎰

b

a

fdt=F（b）–F（a）。

这种积分叫定积分。

【练】1、已知导线中的电流按I=t3-0.5t+6的规律随时间t变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。

计算在t=1s到t=3s的时间内通过导线截面的电荷量。

【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。

【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少功？

【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1（A），问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？

四：

课后习题

1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t，y轴上的坐标为y=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：

⑴物体的速度是多少？

⑵物体所受的合外力是多少?

⑶该物体做什么样的运动？

⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？

2

2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x,试问当位移x为多少时F变为零。

KQ

3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E=,

rKQ

请验证Ａ点处的电势公式为：

U=。

r

4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。

在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细杆上OA段的质量。

已知M为x的函数，函数关系为M=kx，现定义线密度dML

ρ=,问当x=处B点的线密度为何？

dx2

1-5

5、某弹簧振子的总能量为2×10J，当振动物体离开平衡位置振幅处，其势能

2EP=，动能Ek=。

6、取无穷远处电势为零。

若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U对电容为C的电容器充电，电容器存储的电能为何？

开始时电容器存放的电荷量为零。

7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R的电阻，导轨宽度为L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B。

有一导体棒ab垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。

在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V0，若其他电阻不计，则

⑴求导体棒的速度v随时间t的函数表达式；

⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S；

⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I随时间t的函数关系；⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q。

2