《等比数列的前n项和》教学设计模板.docx

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《等比数列的前n项和》教学设计模板

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　　《等比数列的前n项和》教学设计

　　建三江二中姜云云

　　一、教材分析：

　　等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3.3节的内容。

它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。

这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。

在高考中占有重要地位。

　　二、教学目标

　　根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

　　1.知识与技能：

理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

　　2.过程与方法：

通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

　　3.情感与态度：

通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

　　三、教学重点和难点

　　重点：

等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。

　　难点：

等比数列的前项和公式的推导。

　　重难点确定的依据：

从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。

　　四、教法学法分析

　　通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。

强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，

　　五、教学过程

（一）创设情境，引入新知

　　从故事入手：

传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。

结果是国王倾尽国家财力还不够支付。

同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？

　　关键就在于计算麦粒的总数。

很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+……+263？

（二）师生讨论、探究新知

　　总结归纳：

当q=1时，Sn=na1

　　当q≠1时，

　　公式说明：

①对等比数列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②运用公式时要根据条件选取适当的公式，特别注意的是，在公比不知道的情况下要分类讨论；③错位相减的思想方法。

　　（三）例题讲解，形成技能

　　例1：

等比数列{an}中，

　　①已知a1=－4，q=1/2，求S10②已知a1=1，an=243，q=3，求Sn

　　③已知a1=2，S3=26，求q。

　　通过例题一，渗透知三求二的思想。

　　练习：

求等比数列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各项的和。

　　例2.等比数列{an}中，已知a1=3，S3=9，求q，an。

　　练习：

等比数列{an}中，若S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。

　　通过练习得出等比数列前项和的一个性质：

成等比数列。

　　例3：

（1）求数列1+1/2，2+1/4,3+1/8，…n+，…的前n项和。

　　首先由学生分析思路，观察出这组数列的特点，它既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差加等比。

归纳出这类数列求和的方法。

　　思考：

求和：

1+a+a2+a3+…+an

　　（四）课堂小结

　　以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

　　『设计意图：

以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

』

　　六、板书设计略

　　七、课后记

　　本节课的设计体现呢“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。

在教学的每一个环节中军设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。

《童年的发现》第二课时教学设计小学数学优化课堂教学设计的研究《王几何》教学设计一、教学目标　　1．掌握二次根式的混合运算．

　　2．掌握混合运算的应用．

　　3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

　　4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神

　　二、教学设计

　　小结、归纳、提高

　　三、重点、难点解决办法

　　1．教学重点：

二次根式的混合运算．

　　2．教学难点：

混合运算的应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程（）

　　【例题】

　　例1　化简：

（1）；　

（2）．

　　解：

（1）

　　　　．

（2）

　　　．

　　说明：

在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把先变为，这样则为1，继续运算可避免错误．

　　例2 解下列方程（组）：

（1）

（2）

　　（3）

　　解：

（1）

　　　．

（2）①×，得

　　　　　　③

　　②×，得

　　　　　　④

　　③－④，得

　　把代入①，得

　　解得．

　　∴  是原方程组的解．

　　（3）由②，得

　　　　　　③

　　①×，得

　　　　④

　　③－④，得

　　把代入①，得

　　．

　　∴　是原方程组的解．

　　例3 已知，，求的值．

　　解：

．

　　   ．

　　，，

　　∴．

　　例4 已知，，求的值．

　　解：

，．

　　．

（二）随堂练习

　　1．教材中P206中8．

　　2．解不等式：

．

　　解：

　　∴．

　　3．已知，，求的值．

　　解：

3．，或．

　　．

　　∴

　　　．

　　4．已知，，求：

的值．

　　解 4．

　　　．

　　5．已知，求的值．

　　解5．．

　　　．

　　6．不求方根的值比较与的大小．

　　解6．∵

　　∴

　　∴

　　（三）总结、扩展

　　根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

　　（四）布置作业

　　教材中P207B组1、3和补充作业．

　　补充作业：

　　1．已知，求的值．

　　2．已知，，求的值．

　　（五）板书设计

标    题

　1．例题……　　　　　3．例题……

　2．练习题　　　　　　4．练习题

　　八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

　　1．方法 

（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

（2）在实数范围内运算律仍适用．

　　（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

　　2．顺序  先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．

对称——沟通世界的桥梁

对称——科学世界的女皇

时间:

2004.9.14  班级:

初二（４）　课型：

小结复习

教学目标:

１、通过学生自己动手画图，让学生体会轴对称、平移和旋转三者之间的联系，培养学生探究的精神。

　　　　　　２、让学生深刻体会对称思想的重要性，提高应用能力。

教学过程：

一、向学生展示生活中美丽的对称图形，并指出其是怎样的对称？

（展示课件）

二、探究规律：

课前完成书本第６页：

做一做、和第１４页：

做一做。

（展示课件）

轴对称、平移和旋转是图形变换的三种最基本的形式。

表面上它们是三件不相干的事，可经过反复轴对称，我们发现：

规律１：

当对称轴两两互相平行的时候，经过偶数次的轴对称变换相当于实现一次伟大的平移变换，平移的方向与对称轴距离矢量和的方向一致，平移的距离恰好是对称轴距离的代数和的２倍；

若对称轴两两相交于同一点，经过偶数次的轴对称变换相当于实现一次伟大的旋转变换，旋转中心就是对称轴的交点，旋转方向就是对称轴交角矢量和的方向一致，旋转的角度恰好是对称轴交角的代数和的２倍。

（难点）

规律２：

一些图形经过轴对称、平移、旋转变换后的，图形的形状、大小与原图完全一样。

这里的“完全一样”是一个非常好用的性质，因为它意示着：

对应线段、对应角、对应图形的周长、面积相等。

三、应用规律解题：

（重点）（展示课件）

例１、已知：

如图，点Ａ和点Ｄ关于直线ＭＮ对称，点Ｂ和点Ｃ也关于直线ＭＮ对称，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，且点０在直线ＭＮ上，请你写出尽可能多的结论。

（至少写出８条）

例２、如图，在一个长为２００米，宽为１５０米的长方形公园里，拟建三条宽都为Ｃ米的人行道，其余部分为绿化带，试问，绿化带面积是多少平方米？

（列式即可）

例３、已知正方形ＡＢＣＤ和正方形ＡＥＦＧ有一个公共点Ａ，点Ｄ、Ｅ分别在线段ＡＤ、　　ＡＢ上。

（２）若将正方形ＡＥＦＧ绕点Ａ按顺时针方向旋转，连结ＤＧ，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段ＤＧ的长始终相等。

并以图２为例说明理由。

解答：

连结ＢＥ，

因为在正方形ＡＢＣＤ和正方形ＡＥＦＧ中，

ＡＤ＝ＡＢ；　ＡＧ＝ＡＥ；

所以在旋转过程中，

线段ＡＤ对应线段ＡＢ；

线段ＡＧ对应线段ＡＥ；

则线段ＤＧ对应线段ＢＥ；

因此：

ＢＥ＝ＤＧ。

练习１、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别移到右边的三个图形中，使它成为轴对称图形。

练习２、如图所示，已知ＡＥ∥ＤＦ，ＢＥ∥ＣＦ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ且ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝３，ＡＤ＝４。

求多边形ＡＥＢＣＦＤ的面积。

练习３、如图，将一个扇形（∠ＡOＢ＝90°）平移到一个长方形上，恰好ＯＣＤＥ为正方形，若正方形边长为１，则图中阴影部分的面积为多少？

练习４、如图所示，点Ｏ是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半经足够长，圆心角∠EOF＝90°的扇形纸板的圆心放在点O处，并将纸板绕点O旋转。

求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的长度和被纸板覆盖部分的面积。

四、小结：

三种图形变换的联系和两个规律及其应用。

五、作业：

１、请同学们设计符合下列要求的图形

（１）  使它是中心对称图形，又是轴对称图形；

（２）  使它是中心对称图形，但不是轴对称图形；

　２、预习下一章内容，尝试用对称的思想分析平行四边形的性质。

六、课后反思：

本节教学前，经备课组老师建议，取消了规律1的探索，补充了下面的一道开放式探索题：

在正方形的瓷砖面上画花纹，要求将砖面分成４部分，每部分形状、大小完全一样，请作出你的设计。

学生设计出12种的方案，并用对称的思想加以归类总结，取得了很好的效果。

但作为一堂“指导----自主----合作”的教学模式，老师安排的内容是否太多，学生自主学习放到课前，该如何监控等问题还有待进一步探索。

对称——沟通世界的桥梁

对称——科学世界的女皇

时间:

2004.9.14  班级:

初二（４）　课型：

小结复习

教学目标:

１、通过学生自己动手画图，让学生体会轴对称、平移和旋转三者之间的联系，培养学生探究的精神。

　　　　　　２、让学生深刻体会对称思想的重要性，提高应用能力。

教学过程：

一、向学生展示生活中美丽的对称图形，并指出其是怎样的对称？

（展示课件）

二、探究规律：

课前完成书本第６页：

做一做、和第１４页：

做一做。

（展示课件）

轴对称、平移和旋转是图形变换的三种最基本的形式。

表面上它们是三件不相干的事，可经过反复轴对称，我们发现：

规律１：

当对称轴两两互相平行的时候，经过偶数次的轴对称变换相当于实现一次伟大的平移变换，平移的方向与对称轴距离矢量和的方向一致，平移的距离恰好是对称轴距离的代数和的２倍；

若对称轴两两相交于同一点，经过偶数次的轴对称变换相当于实现一次伟大的旋转变换，旋转中心就是对称轴的交点，旋转方向就是对称轴交角矢量和的方向一致，旋转的角度恰好是对称轴交角的代数和的２倍。

（难点）

规律２：

一些图形经过轴对称、平移、旋转变换后的，图形的形状、大小与原图完全一样。

这里的“完全一样”是一个非常好用的性质，因为它意示着：

对应线段、对应角、对应图形的周长、面积相等。

三、应用规律解题：

（重点）（展示课件）

例１、已知：

如图，点Ａ和点Ｄ关于直线ＭＮ对称，点Ｂ和点Ｃ也关于直线ＭＮ对称，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，且点０在直线ＭＮ上，请你写出尽可能多的结论。

（至少写出８条）

例２、如图，在一个长为２００米，宽为１５０米的长方形公园里，拟建三条宽都为Ｃ米的人行道，其余部分为绿化带，试问，绿化带面积是多少平方米？

（列式即可）

例３、已知正方形ＡＢＣＤ和正方形ＡＥＦＧ有一个公共点Ａ，点Ｄ、Ｅ分别在线段ＡＤ、　　ＡＢ上。

（２）若将正方形ＡＥＦＧ绕点Ａ按顺时针方向旋转，连结ＤＧ，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段ＤＧ的长始终相等。

并以图２为例说明理由。

解答：

连结ＢＥ，

因为在正方形ＡＢＣＤ和正方形ＡＥＦＧ中，

ＡＤ＝ＡＢ；　ＡＧ＝ＡＥ；

所以在旋转过程中，

线段ＡＤ对应线段ＡＢ；

线段ＡＧ对应线段ＡＥ；

则线段ＤＧ对应线段ＢＥ；

因此：

ＢＥ＝ＤＧ。

练习１、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别移到右边的三个图形中，使它成为轴对称图形。

练习２、如图所示，已知ＡＥ∥ＤＦ，ＢＥ∥ＣＦ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ且ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝３，ＡＤ＝４。

求多边形ＡＥＢＣＦＤ的面积。

练习３、如图，将一个扇形（∠ＡOＢ＝90°）平移到一个长方形上，恰好ＯＣＤＥ为正方形，若正方形边长为１，则图中阴影部分的面积为多少？

练习４、如图所示，点Ｏ是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半经足够长，圆心角∠EOF＝90°的扇形纸板的圆心放在点O处，并将纸板绕点O旋转。

求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的长度和被纸板覆盖部分的面积。

四、小结：

三种图形变换的联系和两个规律及其应用。

五、作业：

１、请同学们设计符合下列要求的图形

（１）  使它是中心对称图形，又是轴对称图形；

（２）  使它是中心对称图形，但不是轴对称图形；

　２、预习下一章内容，尝试用对称的思想分析平行四边形的性质。

六、课后反思：

本节教学前，经备课组老师建议，取消了规律1的探索，补充了下面的一道开放式探索题：

在正方形的瓷砖面上画花纹，要求将砖面分成４部分，每部分形状、大小完全一样，请作出你的设计。

学生设计出12种的方案，并用对称的思想加以归类总结，取得了很好的效果。

但作为一堂“指导----自主----合作”的教学模式，老师安排的内容是否太多，学生自主学习放到课前，该如何监控等问题还有待进一步探索。

一、教学目标　　1．了解二次根式的意义；

　　2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；

　　3.掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；

　　4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；

　　5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

　　二、教学重点和难点

　　重点：

（1）二次根的意义；

（2）二次根式中字母的取值范围．

　　难点：

确定二次根式中字母的取值范围．

　　三、教学方法

　　启发式、讲练结合．

　　四、教学过程（）

（一）复习提问

　　1．什么叫平方根、算术平方根？

　　2．说出下列各式的意义，并计算：

　　，，，，，，，

　　通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．

　　观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，

　　，，，表示的是算术平方根.

（二）引入新课

　　我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：

　　新课：

二次根式

　　定义：

式子叫做二次根式.

　　对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？

呢？

　　若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

（2）是二次根式，而，提问学生：

2是二次根式吗？

显然不是，因此二次

　　根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．

　　例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？

　　分析：

，，，、、、四个是二次根式.因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数（如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是二次根式.

　　例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？

　　解：

略．

　　说明：

这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．

　　例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：

（1）　

（2）　（3）　（4）

　　分析：

由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．

　　解：

（1）∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.

（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.

　　（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是二次根式.

　　（4），即，故x-2≥0且x-2≠0,∴x＞2.当x＞2时，是二次根式.

　　例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

（1）；　

（2）；　（3）；　（4）

　　分析：

这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：

只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．

　　解：

（1）由2a+3≥0，得.

（2）由，得3a-1＞0，解得.

　　（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子是二次根式.所以所求字母x的取值范围是全体实数．

　　（4）由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：

b=0．

　　（三）小结（引导学生做出本节课学习内容小结）

　　1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

　　2．式子中，被开方数（式）必须大于等于零．

　　（四）练习和作业

　　练习：

　　1．判断下列各式是否是二次根式

　　分析：

（2）中，，是二次根式；（5）是二次根式.因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此

（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.

　　2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

　　五、作业

　　教材P．172习题11．1；A组1；B组1．

　　六、板书设计