等差数列前n项和教学设计.doc
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等差数列前n项和
【教学目标】
一、知识与技能
1、借助几何图形,通过直观感知,能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路;理解公式的推导过程,再次感受数形结合的思想。
2、理解公式,能用公式解决简单的问题;通过公式运用进一步体会方程的思想;让学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法;进一步加深对等差数列的认识。
二、过程与方法
1、启发式教学。
从三角形图案入手,以高斯算法引入,设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”,就是为了启发、诱导学生,让学生主动发现问题,得到公式推导的思路,并能自觉地得到解决办法;指导学生合情推理,加深认识,正确运用。
2、探究式学习。
从高斯算法到倒序相加法,从特殊数列到一般数列求和,从公式的认识到运用,都是以学生探究为主,老师适当指导,总结。
三、情感态度与价值观
1、让学生亲身经历数学研究的过程,体验创造的激情,享受成功的喜悦,感受数学的魅力。
2、培养学生良好的思维习惯,以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。
【教学重点、难点】
重点:
探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路;掌握公式,学会用公式解决简单的问题;体会等差数列的性质、公式与方程的联系。
难点:
等差数列前n项和公式推导思路的获得。
解决办法:
以三角图案入手,得自高斯算法的启发,设计一个“试一试”,借助几何图形的变化得到“倒”的思路。
【教学用具】
实物投影仪,多媒体软件,电脑
【教学过程】
一、情景引入:
1、(播放媒体资料)印度泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
即:
1+2+3+······+100=?
少年高斯是如何快速地得出了结论的呢?
高斯用的是首尾配对的方法。
特点:
首项与末项的和:
1+100=101,
第2项与倒数第2项的和:
2+99=101,
第3项与倒数第3项的和:
3+98=101,
······
第50项与倒数第50项的和:
50+51=101,
于是所求的和是:
101×50=5050。
S100=1+2+3+······+100
=101×50=5050
2、试一试:
假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢?
把“全等三角形”倒置,与原图构成平行四边形。
平行四边形中的每行宝石的个数均为101个,共100行。
有什么启发?
1+2+3+……+98+99+100
100+99+98+……+3+2+1
1+2+3+…+100=(100+1)×100÷2=5050
想一想:
1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗?
(配)
2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗?
(倒)
点出方法:
倒序相加
二、推进新课
1、探究1:
求1到n的正整数之和即:
sn=1+2+3+……+n
2、看谁算得快:
如图一堆钢管有多少根?
5+6+7+8+9==35
3、探究2:
那么,对于一般的等差数列,又该如何去求它的前n项和?
即:
=a1+a2+a3+……+an
证法1:
利用定义可得:
两式相加可得:
即
证法2:
∴
(1)+
(2)可得:
2
∴
公式变形:
将代入可得:
综上所述:
等差数列求和公式为:
4、认识公式:
(1)、用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前n项和的两个公式.
(2)、公式特点:
(1)相同点:
都需知道a1与n
(2)不同点:
第一个还需知道an,第二个还需知道d。
5、公式应用:
例1:
求等差数列-10,-6,-2,2,…前10项的和。
变式题:
等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项和是54?
解:
设题中的等差数列为,前n项为
则
由公式可得
解之得:
(舍去)
∴等差数列-10,-6,-2,2…前9项的和是54
思考:
其实,在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素,如果已知其中(三个),联列方程(组),就可求其余(两个)。
(知三求二)
练习一:
1、根据下列条件,求相应的等差数列前n项的和
(1)a1=100,d=-2,n=50
(2)a1=-4,a8=-18,n=8;(3)a1=14.5,d=0.7,an=32
2、已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前n项和的公式.
例2、已知一等差数列有12项,a3+a10=4,求s12(能力提高)
练习二:
1、已知一等差数列中a5=10,则s9=(C)
A、45B、60C、90D、120
2、已知一等差数列中a3+a6+a9=-6,则s11=(B)
A、-11B-22C、0D、22、
想一想:
1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于(首末两项的和)
2、等差数列有奇数项,那么前n项和等于(中间项乘以项数)
公式的变式:
三、课堂小结:
1、回顾公式的推导,从特殊到一般是我们研究问题的一般方法;
2、倒序相加的方法,数形结合的思想;
3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。
四、作业布置:
1、预习新课
2、书面作业:
课本46页,习题2.3A组第2、3题
课题:
等差数列前n项的和
公式:
an=a1+(n-1)d
推导过程
例1
例2
【板书设计】
【教学设计说明】
一、情景引入1、以三角形图案开始,高斯算法引入,激发学生的兴趣。
2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离,我设计了一个“试一试”:
假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢?
目的是想让同学们从图形变化入手,从感性上体会“倒”的巧妙,启发同学的思维,为自然过渡到“倒序相加法”作准备。
我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。
二、两个探究
1、探究1,从特殊数列入手,让学生更好地体会“倒序相加法”的优点。
2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形,启发同学的思维,也是加深倒序法的感性认识。
3、探究2:
公式的推导,要求学生自觉地应用“倒序相加法”。
从情景引入到探究1、2,到公式的认识,无不体现了“数形结合”的思想。
三、例题及习题的选择
例1及变式题到例2有一定梯度,例2有点活,都反映了公式的特点,达到理解公式、自如地运用公式的目的。
练习一是基本运用,体现了一定的梯度,第二题是书本的例题,要鼓励学生用多种解法。
练习二体现了公式的灵活运用,更要突出解选择题的方法技巧。
练习题包含了三种题型,训练全面;能很好地让学生的能力得到逐步提升。
整个教学过程都体现了从“一般到特殊,再从特殊到一般”的认知规律。
2008-12
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