相交线和平行线重难点.docx
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相交线和平行线重难点
七年级数学第五章相交线和平行线重难点
5.1相交线
[教学重点与难点]
重点:
对顶角的概念.对顶角性质与应用
难点:
理解对顶角相等的性质的探索
[教学设计]一.创设情境激发好奇观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角
在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的特征。
教师出示一块布片和一把剪刀,表演剪刀剪布过程,提出问题:
剪布时，用力握紧把手，两个把手之间的的角发生了什么变化？
剪刀张开的口又怎么变化？
（学生观察、思考、回答）,得出:
握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小.如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.
教师点评:
如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.
二．认识邻补角和对顶角，探索对顶角性质
1．学生画直线AB、CD相交于点O，并说出图中4个角，两两相配
共能组成几对角？
根据不同的位置怎么将它们分类？
学生思考并在小组内交流，全班交流。
当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时，教师引导学生用
几何语言准确表达
；
有公共的顶点O，而且
的两边分别是
两边的反向延长线
2．学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各类角的度数有什么关系？
（学生得出结论：
相邻关系的两个角互补，对顶的两个角相等）
3学生根据观察和度量完成下表：
两条直线相交
所形成的角
分类
位置关系
数量关系
教师提问：
如果改变
的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗?
4．概括形成邻补角、对顶角概念和对顶角的性质
三．初步应用
练习：
下列说法对不对
（1）邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角
（2）邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角
（3）对顶角相等，相等的两个角是对顶角
学生利用对顶角相等的性质解释剪刀剪布过程中所看到的现象
四．巩固运用例题：
如图，直线a,b相交，
，求
的度数。
[巩固练习]（教科书5页练习）已知，如图，
，求：
的度数
[小结]
邻补角、对顶角.
[作业]课本P9-1，2P10-7，8
[备选题]
一判断题：
如果两个角有公共顶点和一条公共过，而且这两个角互为补角，那么它们互为邻补角（）
两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补（）
二填空题
1如图，直线AB、CD、EF相交于点O，
的对顶角是，
的邻补角是
若
：
=2：
3，
，则
=
2如图，直线AB、CD相交于点O
则
5.1.2垂线
[教学重点与难点]
1．教学重点：
垂线的定义及性质。
2．教学难点：
垂线的画法。
[教学过程设计]
一.复习提问：
1、叙述邻补角及对顶角的定义。
2、对顶角有怎样的性质。
二．新课：
引言：
前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？
日常生活中有没有这方面的实例呢？
下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB、CD互相垂直，记作
，垂足为O。
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
注意：
1、如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。
2、掌握如下的推理过程：
（如上图）
反之，
（二）垂线的画法
探究：
1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
画法：
让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：
如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
（三）垂线的性质
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
练习：
教材第7页
探究：
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，
A,B,C,……,其中
（我们称PO为点P到直线
l的垂线段）。
比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？
性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：
垂线段最短。
（四）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如上图，PO的长度叫做点P到直线l的距离。
例1
（1）AB与AC互相垂直；
（2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB；
（4）点A到BC的距离是线段AD;
（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；
（6）线段AB是点B到AC的距离。
其中正确的有（）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解：
A
例2如图，直线AB,CD相交于点O,
解：
略
例3如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A
向B行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄，
设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近，
行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P,Q两点位置。
练习：
1.
2.教材第9页3、4
教材第10页9、10、11、12
小结：
1.要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念；
2.要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；
3.垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。
作业：
教材第9页5、6.
1.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
2.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
3.如图，∠AOB的边OA上有一点P，
（1）过点P做OA的垂线，交OB于点C
（2）过点P做OB的垂线，垂足是D
（3）判断PC、PD、OC的大小关系，用小于号连接。
5.1.3三线八角
教学重点、难点三线八角的意义是重点，能在各种变式的图形中找出这三类角既是重点，也是难点
教学过程设计
一、从学生原有的认识结构提出问题
教师提问：
1两条直线相交后产生了几个角?
每两个角之间的关系是什么?
（除平角外，产生四个角，对顶角相等，邻补角互补）2三条直线之间也可以有什么样的位置关系?
（可以让学生用手中的铅笔表示直线）在学生回答的基础上，教师打出投影，（四种情况，如图2—30）
（1）三条直线都没有交点
（2）两条直线平行被第三条直线所截（3）三条直线两两相交，有三个交点（4）三条直线交于一点
上节课是对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2—30（3）进行研究，简称为：
三线八角（板书课题）
二、三线八角的意义
1教师用谈话方式提出问题：
在图2—31中，l1和l3（或l2和l3）所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：
对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢?
这就是下面所要研究的问题
2分析特点，形成概念
（1）同位角的意义先引导学生分析∠1和∠5有什么共同特点?
在学生回答的基础上，教师归纳总结出共同特点是：
均在直线l3的一侧，且分别在l1和l2的上方，像这样的两个角叫作同位角请同学们指出：
图中还有同位角吗?
（答：
∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7）
（2）内错角的意义（3）同旁内角的意义（这两种角的教法类似同位角，如果学生要问∠1和∠6，∠1和∠7是什么关系，可以简单说一下，不问也不说）
3变式练习，揭露概念本质属性
（1）如图2—32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的?
∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3
答：
∠1与∠2是l2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角。
∠2与∠4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角。
∠2与∠3是l2、l1被l3所截而得到的同位角
（2）如图2—33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角
答：
同位角有：
∠2与∠3，∠4与∠7，∠4与∠8；内错角有∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7；同旁内角有∠3与∠8，∠1与∠4
（3）如图2—34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系
答：
∠1与∠2是内错角，∠3与∠4也是内错角
4正确识别这三类角应注意的问题
（1）识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：
哪两条线被哪一条直线所截
（2）抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找出同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角
三、综合应用，课堂练习
1找出如图2—35中的对顶角和邻补角
答：
对顶角有四对：
它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8；
邻补角有∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠8，∠8与∠6，∠6与∠7，∠7与∠5（还可以找出图2—35中相等的角，即四对对顶角）
2如图2—36，如果∠1=∠2=∠7，那么还有哪些角是相等的
答：
∠1与∠4是邻补角，∠2与∠5是邻补角，∠3与∠6是邻补角∠7与∠8是邻补角，因为∠1=∠2=∠7，∠2=∠3（对顶角相等），所以∠1=∠2=∠3=∠7，则∠4=∠5=∠6=∠8（等角的补角相等）
3如图2—37中，若∠1=∠2，证明：
∠3与∠4是互补的角
证明：
因为∠1=∠3，（对顶角相等）
∠1=∠2，（已知）
所以∠2=∠3（等量代换）
又因为∠2+∠4=180°
所以∠3+∠4=180°（等量代换）
即∠3与∠4是互补的角
此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法
若要证∠3与∠4互补，即证∠3+∠4=180°，但∠4与∠2的和为180°，因此需证∠3=∠2，由于∠3=∠1（对顶角相等），∠1=∠2是已知，所以∠2=∠3而写出证明过程时，要从先证∠2=∠3出发，最后得到∠3+∠4=180°
以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能得到要求的结果
四、小结
1教师先提出以下问题：
（1）在所学的知识中，直线的位置关系是怎样形成和发展的?
（2）学了哪些相互关系的角?
（3）寻找同位角、内错角和同旁内角关键应准确找到什么?
2在学生回答的基础上，教师指出，
（1）（投影）直线位置关系所对应的基本图形结构如图2—38
（2）学过六咱相互关系的角
①互为余角，②互为补角（邻补角是特殊情形），③对顶角，④同位角，⑤内错角，⑥同旁内角
（3）寻找同位角，同旁内角关键在于准确找到三线（两线被第三线所截）
五、作业
1选书中习题
2以下六个题供选用
（1）指出图2—39
（1）中，
①∠2和∠5的关系是_________；②∠3和∠5的关系是_________；
③∠2和____是直线____、______被_____所截，形成的同位角；
④∠1和∠4呢?
∠3和∠4呢?
∠6和∠7是对顶角吗?
（2）指出图中2—39
（2）中，
①∠C和∠D的关系：
②∠B和∠GEF的关系；
③∠A和∠D的关系；
④∠AGE和∠BGE的关系；
⑤∠CFD和∠AFB的关系
（3）如图2—39（3），用数学标出的八个角中
①同位角有________________；②内错角有________________；③同旁内角有_______________；
（4）如图2—39（4），若∠1=∠2，可推出∠1与∠ADE______________；∠1与∠BDE__________________
（5）判断正误：
如图2—39（5），①∠1和∠B是同位角；②∠2和∠B是同位角；③∠2和∠C是内错角；④∠EAD和∠C是内错角；
（6）如图2—39（6），①∠1和∠4是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠2和∠7是内错角；④∠1和∠4是同旁内角；
（7）如图，图中的内错角的对数是（）
A.2对B.3对C.4对D.5对
平行线的判定
重点、难点：
重点：
平行线的三种识别方法，运用这三种方法判断两直线平行。
难点：
运用平行线的识别方法进行简单的推理是本节课的教学难点。
教学过程：
一、复习引入：
1．如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG
（1）∠1与∠2是直线_____和直线____被直线______所截而成的________角.
（2）∠3与∠2是直线_____和直线____被直线______所截而成的________角.
（3）∠5与∠6是直线_____和直线____被直线______所截而成的________角.
（4）∠4与∠7是直线_____和直线____被直线______所截而成的________角.
（5）∠8与∠2是直线_____和直线____被直线______所截而成的________角.
2.下面说法中正确的是（）.
（1）在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种
（2）在同一平面内,不垂直的两条直线必平行
（3）在同一平面内,不平行的两条直线必垂直
（4）在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直
3．如果a∥b,b∥c，那么_______,理由是_____________________.
导言:
上节课我们学习了平行线的意义,在同一平面内,两条直线的位置关系,以及平行公理,
在此基础上,我们再来研究直线平行的条件.
请同学们利用直尺、三角尺画直线b，使它经过P点，且平行于直线a。
请同学们思考这样的问题，
与
是什么位置关系的角？
在三角板移动的过程中，
与
是否产生变化？
二、
新课：
1.同位角相等，两直线平行。
（1）提出新问题：
如果只有a、b两条直线，如何判断它们是否平行？
由于前面已经复习了平行方法的推论，因为估计学生会说“再作一条直线c，让c//a，再看c是否平行于b就行了”。
而后再以“如何作c，使它与a平行？
作出c后，又如何判断c是否与b平行”追问，使学生意识到刚才的回答似是而非、需要找新的方法后，进一步启发学生，能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件，并让学生过已知直线a外一点p画a的平行线b，而后作以下演示：
（2）进行观察比较，得出初步结论
由刚才的演示发现：
画平行线仍借助了第三条直线，但是要用与a、b都相交的第三线，根据“三线八角”的名称，在画平行线的过程中，实际上是保证了同位的两个角都是45°或60°，……因此，得出“猜想”：
如果同位角相等，那么两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
例如，如图，直线a、b被直线l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b。
在图中，由于∠2=∠3，因此，如果∠1=∠3，那么就有∠1=∠2，于是可得a∥b。
这就是说：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单地说，就是内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
例1如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°，∠2=115°，直线a、b平行吗？
为什么？
平行线的识别方法：
1同位角相等，两直线平行。
2内错角相等，两直线平行。
3同旁内角互补，两直线平行。
4.例题讲解：
例2如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？
AD与BC平行吗？
解本题中直线AB与CD平行，但根据题目的已知条件，无法判定AD与BC平行。
由已知条件可得∠B+∠C=180°。
根据同旁内角互补，两直线平行，因此AB∥CD。
三、练习：
P171至P172第1、2、3、4.
四、小结：
本节课学习了平行线的识别方法，即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
希望同学们能运用这些知识进行判断两直线是否平行，并能把判断过程正确书写出来。
五、作业：
课堂练习:
1．下列判断正确的是（）.
A.因为∠1和∠2是同旁内角,所以∠1+∠2=180°
B.因为∠1和∠2是内错角,所以∠1=∠2
C.因为∠1和∠2是同位角,所以∠1=∠2
因为∠1和∠2是补角,所以∠1+∠2=180°2.如图:
（1）已知∠1=65°,∠2=65°,那么DE与BC平行吗?
为什么?
（2）如果∠1=65°,∠3=115°,那么AB与DF平行吗?
为什么?
（3））如果∠4=60°,∠2=65°,那么DE与BC平行吗?
为什么?
4．如图所示：
（1）如果已知∠1=∠3，则可判定AB∥______,其理由是__________________;
（2）如果已知∠4+∠5=180°，则可判定___________∥______,其理由是__________________;
（3）如果已知∠1+∠2=180°，则可判定___________∥______,其理由是__________________;
（4）如果已知∠5+∠2=180°那么根据对顶角相等有∠2=__,
因此可知∠4+∠5=____,所以可确定___________∥______,其理由是__________________;
（5）如果已知∠1=∠6，则可判定_____∥______,其理由是__________________.
第4题图第5题图
5.如图，
（1）如果∠1=________,那么DE∥AC;
（2）如果∠1=________,那么EF∥BC;
（3）如果∠FED+∠________=180°,那么AC∥ED;（4）如果∠2+∠________=180°,那么AB∥DF.
平行线的性质
重点：
平行线的三个性质．
难点：
平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．
关键：
能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质．
教学过程
一、复习
1．如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？
2．把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？
它们正确吗？
二、新授
1．实验观察，发现平行线第一个性质
请学生画出下图进行实验观察．
设l1∥l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？
请同学们再作出直线l4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？
平行线性质1（公理）：
两直线平行，同位角相等．
2．演绎推理，发现平行线的其它性质
（1）已知：
如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：
∠1=∠2．
（2）已知：
如图2-64，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：
∠1+∠2=180°．
在此基础上指出：
“平行线的性质2（定理）”和“平行线的性质3（定理）”．
3．平行线判定与性质的区别与联系
投影：
将判定与性质各三条全部打出．
（1）性质：
根据两条直线平行，去证角的相等或互补．
（2）判定：
根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
联系是：
它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的．
三、例题
例2如图所示．已知：
AD∥BC，∠AEF=∠B，求证：
AD∥EF．
分析：
（执果索因）从图直观分析，欲证AD∥EF，只需∠A+∠AEF=180°，
（由因求果）因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又∠B=∠AEF，所以∠A+∠AEF=180°成立．于是得证．
证明：
因为 AD∥BC，（已知）
所以 ∠A+∠B=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
因为 ∠AEF=∠B，（已知）
所以 ∠A+∠AEF=180°，（等量代换）
所以 AD∥EF．（同旁内角互补，两条直线平行）
四、练习：
1．如图所示，已知：
AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．
求证：
∠1+∠2=90°．
证明：
因为 AB∥CD，
所以 ∠BAC+∠ACD=180°，
又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
所以
，
，
故
．
即 ∠1+∠2=90°．
（理由略）
2．如图所示，已知：
∠1=∠2，
求证：
∠3+∠4=180°．
分析：
（让学生自己分析）
证明：
（学生板书）
小结
我们是如何得到平行线的性质定理？
通过度量，运用从特殊到一般的思维方式发现性质1（公理），然后由公理通过演绎证明得到后面两个性质定理．从因果关系和所起的作用来看性质定理和判定定理的区别与联系．
作业：
1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？
2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且EF∥BC，如果∠B＝40°，∠2＝75°，那么∠1、∠3、∠C、∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度，为什么？
3．如图，已知AD∥BC，可以得到哪些角的和为180°？
已知AB∥CD，可以得到哪些角相等？
并简述理由．
补充练习:
1.已知:
如图，AB∥CD,EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFDEG与FH平行吗？
为什么？
2．已知：
如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，
A=
D，
1=
2，求证：
B=
C。
3．已知：
如图，
，DE平分
，BF平分
，且
。
求证：
4．已知：
如图，
。
求证：
升级会员 