应用题.docx
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应用题
一元一次方程应用题归类汇集
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
审—审题：
认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
设—设出未知数：
根据提问，巧设未知数．
列—列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系
列出方程．
（4）解——解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案．（注意带上单位）
第一类、行程问题
行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
行程问题基本类型
1、甲、乙二人相向相遇问题
⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量
2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题
⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量
3、单人往返
⑴各段路程和＝总路程⑵各段时间和＝总时间⑶匀速行驶时速度不变
例：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
）
一般行程问题（相遇与追击问题）
1乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小
时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。
解：
等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
列出方程是：
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，
那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
解：
等量关系甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程（18千米）
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是：
3、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，
可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：
等量关系⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
老师提醒：
速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：
设预定时间为x小/时，则列出方程是：
15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：
设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
4、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，
t分钟后第一次相遇，t等于分钟。
老师提醒：
此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）
等量关系：
快者跑的路程－慢者跑的路程＝800（俗称多跑一圈）320t－280t＝800t＝20
5、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：
2，问两车每秒各行驶多少米？
老师提醒：
将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：
快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则16×3x＋16×2x＝200＋280
6、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？
⑵这列火车的车长是多少米？
老师提醒：
将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。
等量关系：
①两种情形下火车的速度相等②两种情形下火车的车长相等
在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：
⑴行人的速度是：
3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒
骑自行车的人的速度是：
10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒
⑵方法一：
设火车的速度是x米/秒，则26×（x－3）＝22×（x－1）解得x＝4
方法二：
设火车的车长是x米，则
7、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
（提示：
此题为典型的追击问题）
解：
设爸爸用x小时追上我们，则6x＝2x＋2×1
解得x＝0.50.5小时＜1小时45分钟答：
能追上。
8、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问：
步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
老师提醒：
此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2
解：
设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则5x＋60（x－1）＝60×2
9、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【】
（A）60秒（B）50秒（C）40秒（D）30秒
老师提醒：
将车尾看作一个行者，当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时
所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！
你明白吗？
解：
时间＝（600＋150）÷15＝50（秒）选B。
10、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
解：
方法一：
设由A地到B地规定的时间是x小时，则
12x＝
x＝212x＝12×2＝24（千米）
方法二：
设由A、B两地的距离是x千米，则（设路程，列时间等式）
x＝24答：
A、B两地的距离是24千米。
温馨提醒：
当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
11、甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。
注：
此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。
只是他们的开始与结束时间是一样的，
以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。
解：
设甲、乙两人相遇用x时，则2x＋2x＝5
（千米）
答：
小狗所走的路程是15千米。
12、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？
火车的长度是多少？
若不能，请说明理由。
老师解析：
只要将车尾看作一个行人去分析即可，
前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。
此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。
解：
方法一：
设这列火车的长度是x米，根据题意，得
x＝300答：
这列火车长300米。
方法二：
设这列火车的速度是x米/秒，
根据题意，得20x－300＝10xx＝3010x＝300答：
这列火车长300米。
13、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得。
答案：
14、列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千米，就可以将耽误的时间补上？
解：
设走x千米就补上耽误的时间，则
x＝20
答：
走20千米就补上耽误的时间。
15、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，
快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？
⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到
快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？
老师解析：
①快车驶过慢车某个窗口时：
研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！
②慢车驶过快车某个窗口时：
研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！
③快车从后面追赶慢车时：
研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的
追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！
解：
⑴两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）
慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）
⑵设至少是x秒，（快车车速为20－8）则（20－8）x－8x＝100＋150x＝62.5
答：
至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。
16、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还
快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
解：
设乙的速度是x千米/时，则
3x＋3（2x＋2）＝25.5×2∴x＝52x＋2＝12
答：
甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。
17、一辆汽车上午10：
00从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表，
地名
安阳
曲沟
铜冶
时间
10：
00
10：
15
11：
00
水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟10千米，距铜冶20千米，安阳到水冶的
路程有多少千米？
解：
设安阳到水冶有x千米，则
或
解，得x＝20答：
安阳到水冶的路程有20千米。
18、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，
到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
解：
设A、B两地间的路程是x千米，则
方法一：
方法二：
x＋36＝36×2×2解，得x＝108答：
A、B两地间的路程是108千米。
小张骑车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8点同时出发，到上午10点两人还相距36千米，到中午12点两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
甲乙两站相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？
甲乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分.
若两人从同一地点同时反向跑，多少分钟后两人第3次相遇？
若两人从同一地点同时同向跑，多少分钟后两人第2次相遇？
小张开车去火车站，如果速度为30千米/时,则早15分钟到达，如果18千米/时，则迟到5分，现在打算提前10分钟到达，那么他开车的速度是多少？
A、B两地相距49千米，某人步行从A地出发，分三段以不同速度走完全程，共用10小时。
已知第一段、第二段、第三段的速度分别为6千米/时，4千米/时，5千米/时,第三段的总路程为15千米，求第一段和第三段的路程？
相遇问题：
甲、乙两人相距60米，相向而行，甲从A地每秒走3米，乙从B地每秒走2米，如果甲先走10米，那么几秒后两人相遇？
乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，２小时后相遇。
已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米，求甲，乙两人的速度。
4、甲、乙两人同时同地同向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速度比甲慢，半小时后，甲调头往回走，再走10分钟与乙相遇，求乙的速度。
乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。
6、甲乙两人从A、B同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线同时相向而行，出发后3小时相遇，已知相遇时乙比甲多走90千米，相遇后经过1小时乙到达A地，问甲乙的速度分别是多少？
若设甲的速度是x千米/小时,则可列方程为
若设乙的速度是x千米/小时,则可列方程为
追及问题：
7、甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米然后奋力去追，求几秒后甲追上乙？
9、甲、乙两人分别从相距140千米的A，B两地同时出发，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时
（1）若相向而行，经过多少小时两人相距20千米？
（2）如果同向而行，经过多少小时两人相距20千米？
10、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为________________。
2.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
3.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度60公里/小时，我们的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。
出发地到目的地的距离是60公里。
问：
步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？
练习：
1、已知A、B相距60千米，甲位于A处，骑自行车，他的速度是每小时15千米，乙位于B处，开汽车，他的速度是每小时45千米。
若他们同时相向而行，则经几小时他们相遇？
若他们相向而行，小明先骑车0.5小时，问几小时他们相遇？
若他们同时同向而行，则经几小时乙追上甲？
若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，问乙经几小时追上甲？
若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，发现他的一个重要文件在乙那里，因此掉头去拿，同时乙也开车给甲送去，问甲经几小时和乙碰到？
2、A、B两地相距1200千米。
甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行。
甲每分钟行50千米，乙每分钟行70千米。
两人在C处第一次相遇。
问AC之间距离是多少？
如相遇后两人继续前进，分别到达A、B两地后立即返回，在D处第二次相遇。
问CD之间距离是多少？
3.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为________________。
4.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
4、行船问题与飞机飞行问题
⑴顺水速度＝静水速度＋水流速度⑵逆水速度＝静水速度－水流速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
例一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，
求两码头之间的距离。
解：
设船在静水中的速度是x千米/时，则3×（x－3）＝2×（x＋3）
解得x＝152×（x＋3）＝2×（15＋3）＝36（千米）答：
两码头之间的距离是36千米。
2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
解：
设无风时的速度是x千米/时，则3×（x－24）＝
×（x＋24）
3、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，
求该河的水流速度。
解：
设水流速度为x千米/时，则9（10－x）＝6（10＋x）解得x＝2答：
水流速度为2千米/时.
4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度
为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
解：
设A与B的距离是x千米，（请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）
当C在A、B之间时，
解得x＝120
②当C在BA的延长线上时，
解得x＝56
答：
A与B的距离是120千米或56千米。
5一架飞机在A、B两个城市之间飞行，顺分需要5.5小时，逆风需要6小时，风速为24千米/时，A、B两城市之间的距离是多少？
6、从A码头到B码头顺水航行需行驶9小时，由于进行河道改弯取直工程后，路程近了50千米，而船航行速度增加40千米，且只需6小时即可到达，求A、B码头之间改道后的距离.
7、一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要38小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？
5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
19客车长200m，一列货车长280m，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3∶2，问两车每秒各行驶多少米？
20.车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
环行跑道与时钟问题
⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：
①时针的速度是0.5°/分②分针的速度是6°/分③秒针的速度是6°/秒
在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
老师解析：
6：
00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，
在6：
00～7：
00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°
以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：
设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x解得
2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？
若背向跑，几分钟后相遇？
老师提醒：
此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。
解：
①设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则240x－200x＝400x＝10
②设背向跑，x分钟后相遇，则240x＋200x＝400x＝
3、在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：
⑴重合；⑵成平角；⑶成直角；
解：
⑴设分针指向3时x分时两针重合。
答：
在3时
分时两针重合。
⑵设分针指向3时x分时两针成平角。
答：
在3时
分时两针成平角。
⑶设分针指向3时x分时两针成直角。
答：
在3时
分时两针成直角。
4、某钟表每小时比标准时间慢3分钟。
若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间
为12时50分时，准确时间是多少？
解：
方法一：
设准确时间经过x分钟，则x∶380＝60∶（60－3）
解得x＝400分＝6时40分6：
30＋6：
40＝13：
10
方法二：
设准确时间经过x时，则
5、在8点和9点间，何时时钟分针和时针重合？
何时时钟分针和时针成直角？
何时时钟分针和时针成平角
21人在400米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？
小王在400米的环形跑道上跑了一圈，从起点出发，最初跑了45秒，后来加速1.5米/秒，再花了20秒跑到终点，问小王最初跑的速度是多少？
8、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。
（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？
（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇？
工程问题
工程问题的基本关系：
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：
先做的+后做的=完成量．
例做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，
问：
①甲做1小时完成全部工作量的几分之几？
②乙做1小时完成全部工作量的几分之几？
③甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？
④甲做x小时完成全部工作量的几分之几？
⑤甲、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？
⑥甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？
乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？
乙再合做x小时完成全部工作量的几分之几？
三次共完成全部工作量的几分之几？
结果完成了工作，则可列出方程：
1、①完成一项工程甲需要a天，乙需要b天，则二人合做需要的天数为1/（
②某工人原计划每天生产a个零件，现实际每天多生产b个零件，则生产m个零件提前的天
数为（
）。
2、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单
独做所需天数是乙队单独做所需天数的
问甲、乙两队单独做,各需多少天?
答：
常规解法：
设乙队单独做要x天完成，那么甲队单独做要
X天完成。
由题意得
巧解：
设乙队每天完成的工作量为x，那么甲队每天完成的工作量为
，由题意得：
3一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
4、某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?
5、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。
现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？
6、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？
7、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，则乙共需要几天完成？
8、已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？
9、某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天，然后两队合做，
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