专题九方案设计型问题DOC.docx
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专题九方案设计型问题DOC
专题九方案设计型问题
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：
测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。
解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、中考考点精讲
考点一：
设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例11．（2013•吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：
课题
测量教学楼高度
方案
一
二
图示
测得数据
CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°，
EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°
参考数据
sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40
sin13°≈0.22，cos13°≈0.97
tan13°≈0.23
sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62
sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93
请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）
思路分析：
若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=
即可得出CG的长，同理，在Rt△ACG中，根据tan∠ACG=
可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论．
若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=
可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=
可求出EB的长，由EF=EB-FB且EF=10，可知
=10，故可得出AB的长．
解：
若选择方法一，解法如下：
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，
∵CG=
=30，
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，
∵tan∠ACG=
，
∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，
∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）．
答：
教学楼的高度约19米．
若选择方法二，解法如下：
在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，
∵tan∠AFB=
，
∴FB=
≈
，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，
∵tan∠AEB=
，
∴EB=
≈
，
∵EF=EB-FB且EF=10，
∴
-
=10，解得AB=18.6≈19（米）．
答：
教学楼的高度约19米．
对应训练
1．（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：
（即AB：
BC=1：
），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
1．解：
如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=
=
x，
在Rt△ABC中，
∵
，AB=3，
∴BC=3
，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3，
∴AF=
=
（x-3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴
（x-3）=3
+
x，
解得x=9．
答：
树高为9米．
考点二：
设计搭配方案问题
这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2（2013•昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
思路分析：
（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可．
解：
（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，
由题意得，
，
解得：
x=4，
经检验得：
x=4是原方程的根，
答：
打折前每本笔记本的售价为4元．
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，
由题意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90-y）≤365，
解得：
67
≤y≤70，
∵x为正整数，
∴x可取68，69，70，
故有三种购买方案：
方案一：
购买笔记本68本，购买笔袋22个；
方案二：
购买笔记本69本，购买笔袋21个；
方案三：
购买笔记本70本，购买笔袋20个；
点评：
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系．
对应训练
2．（2013•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？
列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从
（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．
2．解：
（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得
，
∵x、y为正整数，
当x=1时，y=6，7，8符合题意，
当x=2时，y=5，6符合题意，
当x=3时，y=4，5符合题意，
当x=4时，y=3符合题意，
当x=5时，y=1舍去，
当x=6时，y=0舍去．
共有8种购买方案，
方案1：
购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：
购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：
购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：
购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：
购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：
购买康乃馨3支，购买兰花4支；
方案7：
购买康乃馨3支，购买兰花5支；
方案8：
购买康乃馨4支，购买兰花3支；
（2）由题意，得，
，
购花的方案有：
方案1：
购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：
购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案4：
购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：
购买康乃馨2支，购买兰花6支；
∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，
∴小明能实现购买愿望的概率为P=
．
考点三：
设计销售方案问题
在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例3（2013•遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：
两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：
A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：
该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？
请说明理由．
思路分析：
（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；
（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．
解：
（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：
y1=0.7[120x+100（2x-100）]+2200=224x-4800，
y2=0.8[100（3x-100）]=240x-8000；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，即224x-4800＞240x-8000，解得：
x＜200
当y1=y2时，即224x-4800=240x-8000，解得：
x=200
当y1＜y2时，即224x-4800＜240x-8000，解得：
x＞200
即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；
当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；
当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．
点评：
本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点．
对应训练
3．（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m-20
售价（元/双）
240
160
已知：
用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在
（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
3．解：
（1）依题意得，
，
整理得，3000（m-20）=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双，
根据题意得，
，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105-95+1=11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60-a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60-a=0，W=16000，
（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60-a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
考点四：
设计图案问题
图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。
这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。
例4（2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．
思路分析：
（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可；
（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；
（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．
解：
（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；
（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．
点评：
本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．
对应训练
4．（2013•深圳）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）
A．8或2
B．10或4+2
C．10或2
D．8或4+2
4．D
四、真题演练
1．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．
1．6
或2
2．（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3
m（精确到0.1m）．（参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
2．15.3
3．（2013•张家界）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．
3．解：
如图所示：
4．（2013•荆州）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．
4．解：
如图所示：
答案不唯一．
5．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？
（结果保留根号）
5．解：
过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5
，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5
，
则用AC+BC-（AD+BD）=10+5
-（5
+5）=5+5
-5
（千米）．
答：
汽车从A地到B地比原来少走（5+5
-5
）千米．
6．（2013•重庆）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上．
（1）请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称，其中点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对称点；
（2）在
（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度．
6．解：
（1）所作图形如下：
．
（2）A'B'=
．
7．（2013•天门）某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：
1.8改为1：
2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
7．解：
在Rt△ADC中，∵AD：
DC=1：
2.4，AC=13，
由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132．
∴AD=±5（负值不合题意，舍去）．
∴DC=12．
在Rt△ABD中，∵AD：
BD=1：
1.8，
∴BD=5×1.8=9．
∴BC=DC-BD=12-9=3．
答：
改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．
8．（2013•邵阳）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材2210m，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：
板房规格
板材数量（m2）
铝材数量（m）
甲型
40
30
乙型
60
20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
8．解：
设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100-x）间，根据题意得：
，
解得：
20≤x≤21，
x只能取整数，
则x=20，21，共有2种搭建方案，
方案1甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，
方案2甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．
9．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
9．解：
如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD-0.50PD=80，
解得PD=320，
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，
∵OB=220，
∴PE=OD=OB-BD=60，
∵OE=PD=320，
∴AE=OE-OA=320-200=120，
∴tanα=
=0.5，
∴α≈26.6°．
10．（2013•宿迁）某公司有甲种原料260kg，乙种原料270kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8kg，乙种原料5kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料9kg，可获利润1100元．设安排生产A种产品x件．
（1）完成下表
甲（kg）
乙（kg）
件数（件）
A
5x
x
B
4（40-x）
40-x
（2）安排生产A、B两种产品的件数有几种方案？
试说明理由；
（3）设生产这批40件产品共可获利润y元，将y表示为x的函数，并求出最大利润．
10．解：
（1）表格分别填入：
A甲种原料8x，B乙种原料9（40-x）；
（2）根据题意得，
，
由①得，x≤25，
由②得，x≥22.5，
∴不等式组的解集是22.5≤x≤25，
∵x是正整数，
∴x=23、24、25，
共有三种方案；
方案一：
A产品23件，B产品17件，
方案二：
A产品24件，B产品16件；
方案三：
A产品25件，B产品15件；
（3）y=900x+1100（40-x）=-200x+44000，
∵-200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=23时，y有最大值，
y最大=-200×23+44000=39400元．
11．（2013•贺州）如图，小明在楼上点A处测量大树的高，在A处测得大树顶部B的仰角为25°，测得大树底部C的俯角为45°．已知点A距地面的高度AD为12m，求大树的高度BC．（最后结果精确到0.1）
11．解：
过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE=AD=12m．
在Rt△ACE中，∵∠EAC=45°，
∴AE=CE=12m，
在Rt△AEB中，∠BAE=25°，
∴BE=AE•tan25°≈12×0.47=5.64m．
∴BC=BE+CE≈5.64+12≈17.6．
答：
大树的高度约为17.6m．
点评：
此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
12．（2013•遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选
（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？
最少费用是多少元？
12．解：
（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，
根据题意得，
，
由①得，x≥5，
由②得，x≤7，
所以，5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x=5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：
组甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：
组甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：
组甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：
由
（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，
由题意得，y=1500x+1200（16-x），
=300x+19200，
∵300＞0，
∴当x=5时，y有最小值，
y最小=300×5+19200=20700元；
方法二：
当x=5时，16-5=11，
5×1500+11×1200=20700元；
当x=6时，16-6=10，
6×1500+10×1200=21000元；
当x=7时，16-7=9，
7×1500+9×1200=21300元；
答：
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