全等三角形经典模型总结.docx

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全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结

一、角平分线模型

（一）角平分线的性质模型

辅助线：

过点G作GE⊥射线AC

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.

2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

AP平分∠BAC.

B、模型巩固

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：

∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现

A、例题

辅助线：

延长ED交射线OB于F辅助线：

过点E作EF∥射线OB

例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F.

求证：

.

例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：

.

（三）角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC.

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB＋BP＝BQ＋AQ.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.

求证：

AB－AC＞PB－PC.

2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，

求证：

AD＋BD＝BC.

3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，

求证：

AC＋CD＝AB.

二、等腰直角三角形模型

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.

（2）辅助线作法：

过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.

（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：

连结AD.

（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF≌△ADE.

（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF≌△ADE.

A、例题

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△EMC的形状，并证明你的结论.

B、模型巩固

1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.

（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.

（三）构造等腰直角三角形

（1）利用以上

（一）和

（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；

（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.

（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，

满足PB＝PC，AP＝AC，求证：

∠BCP＝15°.

三、三垂直模型（弦图模型）

A、例题

已知：

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF.

求证：

∠ADB＝∠CDF.

变式1、已知：

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.

求证：

（1）∠AMB＝∠CNF；

（2）BM＝AF＋FN.

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，

求证：

（1）PM＝PN；

（2）PB＝PF＋AF.

四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：

（1）△ABF≌△AEC.

（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.

（3）OA平分∠EOF.（四点共圆证）

拓展：

△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：

（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ为等边三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）

（7）OA＝OB＋OC；

（8）OE＝OC＋OD.

（（7），（8）需构造等边三角形证明）

例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：

（1）BE＝CD；

（2）BE⊥CD.

3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形

结论：

（1）BD＝CF；

（2）BD⊥CF.

变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：

（1）T为FD中点；

（2）

.

变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，

求证：

AS⊥BC.

4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：

五、半角模型

条件：

两边相等.

思路：

1、旋转

辅助线：

①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF

②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：

旋转需证F、B、M三点共线

结论：

（1）MN＝BM＋DN；

（2）

；

（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.

2、翻折（对称）

辅助线：

①作AP⊥MN交MN于点P

②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.

A、例题

例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，

求证：

（1）∠MAN＝45°；

（2）

；

（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

变式：

在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

AH⊥MN，垂足为H，

（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；

（2）求证：

AB＝AH

例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：

.

变式：

在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且

，求证：

EF＝BE＋DF.