拉普拉斯变换法在常微分方程中的应用.docx

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拉普拉斯变换法在常微分方程中的应用

集湖学院2012届木科毕业论文（设计）

拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用

作者：

倪敏学号:

08025085

（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）

摘要

本文给出了常微分方程（组）的基本概念性质及两种解法，常数变易法及拉普拉斯变换法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相矢的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。

通过对微分方程的研究，分析对比常数变易法和拉普拉斯变换法这两种求解方法，我们可以很明了的得出相对于繁琐的常数变易法，拉普拉斯法是非常简便的，它可以使求解简化很多•即对一个函数作拉普拉斯变换，然后在复数域作各种运算得到结果，再通过拉普拉斯反变换，可以很简单的求得实数域中相应的所需结果•在实际生活中，拉普拉斯变换法也与很多应用有着密切联系.

矢键词：

常微分方程；常微分方程组；常数变易法；拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换在常微分方程中的应用

Laplacetransformmethodinordinarydifferentialequation

（group）

Name:

NiMinStuNo:

08025085

（DepailmentofMathematicsChaohuCollegeChaohuAuliui238000）

Abstract

Thispapergivesthedifferentialequation（Group）thebasicconceptpiopeitiesandtwokindsofsolution,thevariationofconstantsmethodandLaplassetransfbnn,differentialequationofmathematicalanalysisforabranchofmathematicsandapplications,iscloselyrelatedtothebasicsubject,itsoneselfalsoisinceaselessdevelopment,learnthebasictheoivandmethodofoidinaiydiffeientialequationsonfiutherstudyofmathematicaltheoivandpracticalapplicationsareveiynupoitant.Basedonthestudyofdifferentialequations,analysisandcompansonofthevanationofconstantsmethodandLaplacetransfomimethodthetwosolutionmethods,wecanbeveiyclearthatrelativetothecomplexvariationofconstantsmethod,theLaplacemethodisveiysimple,sothatitcansolvealotof.ThatisafimctionoftheLaplacetransfomi.andtheninthecomplexdomainforavanetvofoperationalresults,byLaplaceinversetiansfbnu,canbeverysunpietoachieverealfieldconespondingtothedesnedresults.Iiireallife,Laplacetiaiisfbnnmethodandalsoalotofapplicationsarecloselylniked.

Keywords:

oidinaiydifferentialequations;Oidinaiydifferentialequations;Laplacetransfomimethod

集湖学院2012届本科毕业论文（设计）

拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用I

引言1

L1常微分方程基本概念1

1.2线性微分方程的相尖定义及性质3

121引言3

1.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质4

1.3线性微分方程的一般理论5

1.3.1齐次线性微分方程组5

1.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理6

2.1拉普拉斯变换的介绍6

2.2拉普拉斯变换的定义性质及部分变换7

3微分方程的求解8

3.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程8

3.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组9

4拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用11

4.1拉普拉斯变换在常微分方程中的应用11

4.1.1求解过程说明11

4」.2对比两种方法在常微分方程中的求解12

4.2拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用13

4.2.1求解过程说明13

4.2.2对比两种方法在常微分方程组中的求解13

5探索15

结束语19

参考文献20

巢湖学院2012届木科毕业论文（设计）

引言

常微分方程在许多领域有重要的应用，各种电子学习设备的设计，弹道计算，飞机和导弹的飞行稳定性，化学反应过程的稳定性等等.应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决.常微分方程理论中的应用己取得的伟大成就，但是现有的理论仍然远远不能满足需求，需要进一步发展，使这门学科拥有较完整的理论.

1常微分方程

1.1常微分方程基本概念

1.1.1常微分方程和偏微分方程

微分方程就是含有微分未知数的方程，如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微

分方程就叫做常微分方程；自变量的个数为两个或者多个的微分方程就叫做偏微分方程.

方程

cy=M）

就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量.

方程

咚+咚+咚=0ardy~dr

⑶

就是偏微分方程的例子，这里T是未知函数，xyz,t都是自变量•方程⑶含有三个自变量、而方

程（4）含有两个自变量.

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.尸

yyr{ayay\—

就是一般微分方程的具体形式.…———

这里是半」的己知函数，而且一定含有孕；y是未知函

Idx）数，x釜•axaxax

自变量.

我们学习的这门课程是常微分方程•今后，我们把常微分方程简称为“微分方程”，有时更

简称为“方程”.

1丄2线性和非线性

如果方程（5）的左端为y及？

，・・；《工的一次有理整式，则称（1.5）为n阶线性微dxdx

分方程侧如，方程（1.1）是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式器+讣）铝+••牛％

（嵋+2”⑴（6）

例如，方程嘤+今=0是二at-1

■

（5）微分方程组

用两个及两个以上的矢系式表示的微分方程称为微分方程组•

习惯将一阶常微分方程写成最高阶导数的形式

dM）=g（f,Z,乙・・；d"T））（7）

其中如篇2諾r叫箸.如果把心;严卅都理解为未知函数，取变

*（n-1）

%=z』2=z,••；=V

则1】阶方程（7）可以用一阶方程组

n-1

⑪一Y

~dT'y"

（/y

片=g（f片）

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代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组牛二£％,•••,

或更简单的写成向量形式

其中

y”）,/=1,2,…

$=/（r；V）at

■y/儿

••

一儿

••…儿

I_•

人（s，…，儿）

•••

fn（（，•••，儿）

前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组.

1.2线性微分方程的相矢定义及性质

121引言

我们讨论如下的U阶线性微分方程

dlx/dx（*x伐

乔+©

（1）沪+・・・+%“）防，（丿

其中q（f）（1=1,2,.../）及/⑴都是区间a

女口果/（f）三0,贝IJ方程（8）变为

d"xz.d,tAxzxdx/、八

我们把它叫做n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程，而称形如方程（8）的方程为11

阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且通常把方程（9）叫做对应于方程

（8）的齐次线性微分方程.

定理1⑴如果q（f）（心1,2,.../）及/⑴都是区间a

任一『0丘〔。

上〕及任意的兀，兀

（1）,...,兀”円），方程（8）存在唯一解x=0（f），定义于区间

a

（10）

（p（to）=Xo,AA="

1.2.2齐次线性微分方程的解的性质

（11）

我们先來讨论齐次线性微分方程

+...+Cln^（t）FCln（t）x=O

定理2

（1）（叠加原理）女口果不（0,耳（。

，…，忑卩）是方程（11）的k个解，则它们的线性组合c內⑴+人耳（!

）+■••+勺匚、心）也是的解，这里q,q,...,q是任意常数.

特别地，当k=n时，即方程（11）有解

x=（r）+c2%2（f）+...+q血⑴（12）

它含有n个任意常数.

定理3㈢若函数不⑴心⑴，…，母•⑴在区间xrvb±线性相矢，则在［a,b］上它们的朗斯基行列式W（f）三0.

定理0如果方程（9〉的解兀

（1）£（『），…，£

（1）在区间a

⑴’…’兀⑴在这个区间的任何点上都不等于零，即WH0（dG

定理5凶n阶齐次线性微分方程（9）必然会有一个线性无矢的解.

定理6（6）（通解结构定理）如果不⑴，乞⑴，…，兀⑴是方程（9）的n个线性无矢

的解，则方程（12）的通解可表为

x=f（r）+C2X2（f）+…+c”兀（/）,（13）

其中q,q,...,c“是任意常数.且通解（12）包括了方程（9）的所有解.

方程（9）的一组11个线性无尖解称为方程的一个基本解组.显然，基本解组不是唯一的.特别地，当w（r0）=1时称其为标准基本解组.

1.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质

分析n阶非齐次线性微分方程

4

dnx/\dM（、dxI、“、

肋r+©⑴乔才+…+弘⑴防+色⑴“/⑴‘

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易见方程（9）是它的特殊情形.

性质r10]如果】⑴是方程⑻的解，而是方程（9）的解，则曲）+/⑴也是方程⑻的解.

性质2切方程（8）的任意两个解之差必为方程（9）的解.

定理7

（2）设兀（0,冯兀（”为方程（9）的基本解组，而】（/）是方程⑻的某

—解，则方程（8）的通解可表示为

A=CiXi（r）+c2Xi（r）+...+cnA7i（r）+3:

（r）,（13）

其中sc?

...,c“为任意常数.

1.3线性微分方程的一般理论

定义⑴线性微分方程组x=A（r）x+/（r）,（14）

的一般理论，主要是研究它的解的结构问题.

女口果于（”工0则可称（14）为非齐次线性的.

女口果/（”=0,则方程的形式为y=（15）

可称（14）为齐次线性的.通常（15）称为对应于（14）的齐次线性微分方程组.

1.3.1齐次线性微分方程组

定理8171（叠加原理）如果H（F）和”/）是（15）的解，则它们的线性组合购（l）+0v（f）也是（⑸的解，这里亿0是任意常数.

定理9

（2）如]果向量函数兀（『），兀兀（J在区间上线性相矢，则它们

的朗斯基行列式W⑴=0（必Ub）.

定理10（5）如果（15）的解兀⑴，兀⑴，…,£⑴线性无矢，那么，它们的朗斯基行列式w（r）=o（«

）.

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定理11151齐次线性微分方程组（15）—定存在11个线性无矢的解

不“），不兀”（『）・

定理12⑵如果兀⑴巧⑴是（15）的1】个线性无矢的解，则（15）的任一解x⑴均可表为x

1.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理

非齐次线性微分方程

x=ACt）x-vf（t）,

（14

）

的解的结构问题，这里《）是区间a

性质1⑺如果0（/）是（14）的解，0（1雇（14）对应的齐次线性微分方程组（15）的解.贝巾（1H0（1»（14）的解.

性质2〔刃如果0

（1）和刃）是（14）的两个解，则「0）-0（“是（14）的解.

定理13何设①

（1）是（1.17）的基解矩阵，KJ是（14）的某一解，则（14）的任一解

0（f）都可表为0（f）=®（

2拉普拉斯变换

2.1拉普拉斯变换的简介

拉普拉斯变换法主要是借助拉普拉斯变换将常系数线性微分方程（组）转换成复变数S的代数方

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程（组）•通过一些代数运算，再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解•方法十分简单方便，工程技术工作者普遍采用.当然，方法本身也有一定局限性，他要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不能用了.

2.2拉普拉斯变换的定义性质

定义⑴由积分F（5）=fx/（r>/r所定义的确定于复平面（Res>b）上的复函数s的函数H5）,称为

函数/（/）的拉普拉斯变换，其中/（『）于加0有定义，且满足不等式W7八vM严，这里M,b为某两个

正常数.我们将称/（『）为原函数，而F（s）称为像函数.

定理1口】如果对向量函数/⑴存在常数M〉0及b>0使不等式I|/（l）\vM严对所有充分大

的t成立，则初值问题x=Ax+/f^）二力的解o⑴及其导数c⑴均像彳7丿r羊满足类似的不等式

||/（r）||

拉普拉斯部分变换表:

序号

原函数

像函数

F（Wy⑴岀

F（s）的定义域

1

1

1

S

Re5>0

2

t

1

厂

Re5>0

3

f

n\

严

Re5>0

4

占

1

Re5>Re

—

te:

>

1

Re5>Re

6

n\

（—泸

Re5>Re

3微分方程的求解

3.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程

定义⑴n阶常系数非齐次线性微分方程

念〕三等+4缶+・・・+%#+%=□）

对应的n阶常系数齐次线性微分方程为

，如+占+...+汕+%=0,

护*严r'Tdt'1（2.

其中％吆・••皿为常数，/（f）为连续函数.

基本解组设几为

（2）的特征根，可以为实数，也可以为复数.

对方称

（2）变形：

dp"

~/—+。

宀（兄”+必”~>+....+%2+务）“’三F⑷訂

其中F

（2）4“+"++血=0,（3）为方程

（2）的特征方程.

当特征根兄是单根时，设人，血，…，人是特征方程（3）的个彼此不相等的根，则相应地方

程（3.2）的基本解组为：

訐“，・

若2,（/=1,2,...,/?

）为实数，则

（2）的通解表示为x=+a"-+...+c肿•

若人（心1,2,…屮）为复根，则

（2）的两个实值解为严cosO/,严smOf.

当特征根兄有重根时：

有k重根时，方程

（2）的基本解组为：

有2k重根时，方程

（2）的基本解组为：

出cospt9tea'cos阳〜出coscosJ3t

凸sin［儿泌smptfeat…/〜Fsmpt

定理1⑴给出方程：

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d'gxdf（、dx（、人/a

丽曲1）丽叶…+%⑴不+讥片=0（4）

丽+©⑴萨■+・・・+张1）不+〃）*/（/）（5）

设兀（1L⑴,…心⑴为方程⑷的基本解组，而壬⑴是方程（5）的某一解，则方程（5）的通解可表示为

x=qXi（/）+c2X2（f）+・+c"x"f）+X（f）,其中q,q,...,c“为任意常数.

对任一n阶常系数非齐次线性微分方程⑴都可以由上述方法求出对应的齐次线性微分

（2）的基本解组，再应用常数变易法求得

（1）的一个特解，这样，根据定理一即可写出方程

（1）的通解表达式.

例1・试求方程/•-的通解.

cosf

解：

对应的齐次线性微分方程为x+x=0.

特征方程久’+2=0的根为入二入二1.

所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cos/,sill/应用常数变易法，令x=q（f）cosf十c2（『）sinf将它代入方程，则可得决定c；（/）和c；（/）的两个方程.

c1（f）cosr+c；（f）sin/=0及一sintc\（f）十cosfc；（f）=一

〜cost

解得：

c；（f）=一里巴,c；（f）=1.积分得：

q（/）=ln|cosfl-x,c（f）=/+人cost・

于是原方程的通解为：

x=q（f）=齐cosr+/2smf+cosfln|cosr|+lsuit其中齐，人为任意常数.

3.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组

定理2何如果矩阵A具有n个线性无矢的特征向量：

・£，它们对应的特征值分别为

人，人，...，人（不必各不相同），那么矩阵

①（/）=[戶必…1],一S

是常系数线性微分方程组

<+s,

（6）

X=Ax+f（t）

的一个基解矩阵.

我们也先给出非齐次线性微分方程组

T->T

X=Ax+f（t）

的常数变易公式，这里的人是n阶常数矩阵，7（f）是己知的连续向量函数•因为（7）对应的齐次线性微分方程组（6）的基解矩阵为①（1匕exp如，这时我们有

①T（s）=exp（-s4）gT（s）=exp[（/_s）4],若初值条件是①（*）=〃，则

①&（/）=exp[（/-/o）4]〃’（7）的解就是

例2：

设4=7（0二

，试求方程&丿满足初值条件①（0）=1

O（r）=exp[（r-ro）A]；7+£exp[（r-5）A]/（5）6/s

的解①“）・

解：

求得

expAt=

代入公式（3.8）

©（f）V

°（3+5少。

（3-5

e+e

』w+严小

■

i[

—V

1（严）『_严”）

丄）

池（3・5八

匕丿

1小

汐I）八卩i

汐3+5〃占5»B1

，得到（利用ro=O）

（cos5/sinStVOAir

\-sin5rcos5f丿（1丿丿。

3（_$）

fcos5/

i-sui5/

sm5f

cos5/

cos5（f-s）sin5（Z-5）V厂'・sin5（f-$）cos5（/-5）丿（0）

ds

我们计算上面的积分如下:

5/、♦一sm5/cos5s+

cos5/sin5$>

（6）

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利用公式或者分部积分法，得到

Ie,,4vcos5scls=（—4cos5s+5sin5s）

Jo16+25、

二/<45

l匕（nm5一5cos5s）

最后我们得到

4拉普删变换法在求解常微分方程（组）中的应用

①⑴寺

n4cos5/+46sm5f・4厂

八

拉普拉斯变换在常微分方程中的应用

4.1.1求解过程说明

设给定微分方程

竺+占+...+4“口）

dtn1d/”T”八丿

及初始条件兀（0）=兀，兀（0）””…，严（0）=兀冋，其中®4,…“是常数，而/⑴连续且满足原函数的条

件。

注意，如果兀⑴是方程⑴的任意解，则x（r）及其各阶导数d⑴仏二1,2,3,.../）均是原

函数.记

那么，按原函数微分性质有L[x（/）]=5X⑸・xo,

L[^）（/）]=s'X（sm_严虬一…一兀I,

于是，对方程

（1）两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到

$”X（S）・11。

-S“~2Xo__必0心）—

+©[严X（S）—°—广乂_...7°（”T）r

+...+%[sX（S）7°]+d”X（$）=F（s）,

即（s”+4严+¥+a"）X⑸二

F（S）+（s't+qs"・'+...+a''_Jxo+（s"〜$++...+Jxo+...+xo」

或A（5）X（5）=F（5）人（5）,

其中A⑸,5⑸和F（s）都是己知多项式，由此这就是方程⑴的

满足所给初始条件的解x（f）的像函数.而X（F）可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式求得.

4.1.2对比两种方法在常微分方程中的求解

例1:

求方程计-x=F满足初始条件x（0）=0的解.

解：

对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程

$X^-x（0）-X⑸=亠

s—2

由此，注意到x（O）=O,得X⑸=丄直接查拉普拉斯变换表,

5-1

可得丄和丄的原函数分别为戶和H・

5-25-1

因此，利用线性性质，就求得X（s）的原函数为这就是所要求的解.

例2：

求方程V+x=—的通解.

cost

解：

对应的齐次线性微分方程为/+X=0,特征方程才+兄二0的根为\=人2=7.所

以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cosr,sim-，应用常数变易法，令

x=q（l）cosf+q（l）sinf将它代入方程，贝IJ可得决定q⑴和勺1）的两个方程.

cos忆;（/）+sin©‘（/）=0及・sinfq（/）+cos忆三（/）=1

cost

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解得：

4（/）=一邑巴，叮（/）=1.积分得：

q（0=lii|cosf]+齐,c,（f）=F+「于是原方程cost的通解为：

只=齐COS/+儿smr+cosrhi|cosr|4-rsnu',M中儿必为任意常数.

通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于乂增加了题目的难度。

而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成复数S的代数方程，再通过代数运算进行计算，方法十分简单方便.

4.2拉普卿T变换法在常微分方程组求解中的应用

4.2.1求解过程说明

首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形.

定