十年高考真题分类汇编数学专题02常用逻辑用语.docx
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十年高考真题分类汇编数学专题02常用逻辑用语
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题02常用逻辑用语
1.（2019•全国3•文T11）记不等式组
表示的平面区域为D.命题p:
∃（x,y）∈D,2x+y≥9;命题q:
∀（x,y）∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q
②￢p∨q
③p∧￢q
④￢p∧￢q
这四个命题中,所有真命题的编号是（ ）
A.①③B.①②C.②③D.③④
【答案】A
如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.
作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,￢p假,￢q真,故①③真,②④假.故选A.
2.（2019•天津•文T3）设x∈R,则“0A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
由|x-1|<1可得03.（2019•浙江•T5）设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
当a>0,b>0时,a+b≥2
若a+b≤4,则2
≤a+b≤4,所以
ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
4.（2019•北京,文T6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数）,则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
当b=0时,f（x）=cosx+bsinx=cosx,f（x）为偶函数;若f（x）为偶函数,则f（-x）=f（x）对任意的x恒成立,f（-x）=cos（-x）+bsin（-x）=cosx-bsinx,由cosx+bsinx=cosx-bsinx,得bsinx=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件,故选C.
5.（2019•北京•理T7）设点A,B,C不共线,则“
的夹角为锐角”是“|
|>|
|”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
∵A,B,C三点不共线,∴|
|>|
|⇔|
|>|
|⇔|
|2>|
|2⇔
>0⇔
的夹角为锐角.故“
的夹角为锐角”是“|
|>|
|”的充分必要条件,故选C.
6.（2019•天津•理T3）设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
由x2-5x<0,得07.（2018•北京•文T4）设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
ad=bc
a,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒
⇒ad=bc.故选B.
8.（2018•天津•理T4文T3）设x∈R,则“
”是“x3<1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
由
可得0因为（0,1）⫋（-∞,1）,
所以“
”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.
9.（2018•浙江•T6）已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,m与n还可能异面.故选A.
10.（2017•全国1•理T3）设有下面四个命题
p1:
若复数z满足
∈R,则z∈R;
p2:
若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:
若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
;
p4:
若复数z∈R,则
∈R.
其中的真命题为（ ）
A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
【答案】B
p1:
设z=a+bi（a,b∈R）,则
∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;
p2:
因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;
p3:
若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;
p4:
实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.
11.（2017•山东•理T3）已知命题p:
∀x>0,ln（x+1）>0;命题q:
若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧qB.p∧（￢q）
C.（￢p）∧qD.（￢p）∧（￢q）
【答案】B
对∀x>0,都有x+1>1,所以ln（x+1）>0,故p为真命题.
又1>-2,但12<（-2）2,故q为假命题,所以￢q为真命题,故p∧（￢q）为真命题.故选B.
12.（2017•北京•理T6）设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m•n<0”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m•n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m•n<0,则两向量的夹角为（90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A.
13.（2017•天津•理T4）设θ∈R,则“
”是“sinθ<
”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
当
时,0<θ<
∴0.
∴“
”是“sinθ<
”的充分条件.
当θ=-
时,sinθ=-
但不满足
.
∴“
”不是“sinθ<
”的必要条件.
∴“
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.
14.（2017•浙江•理T6）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
因为Sn=na1+
d,
所以S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0,
即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选C.
15.（2016•浙江•理T4）命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nB.∀x∈R,∀n∈N*,使得nC.∃x∈R,∃n∈N*,使得nD.∃x∈R,∀n∈N*,使得n【答案】D
先改写量词,再由n≥x2的否定为n16.（2016•北京•理4）设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a•b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D.
17.（2016•天津•理5）设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的（ ）
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1（q2n-2+q2n-1）<0⇔q2（n-1）•（q+1）<0⇔q∈（-∞,-1）,因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C.
18.（2016•山东•理T6）已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A.
19.（2016•四川•理T7）设p:
实数x,y满足（x-1）2+（y-1）2≤2,q:
实数x,y满足
则p是q的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
画出可行域（如图所示）,可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即p
q,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.故选A.
20.（2015•山东•文T5）设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是（ ）
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
【答案】D
原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件.
21.（2015•全国1•理T3）设命题p:
∃n∈N,n2>2n,则￢p为（ ）
A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
【答案】C
∵p:
∃n∈N,n2>2n,∴￢p:
∀n∈N,n2≤2n.故选C.
22.（2015•浙江•理T4）命题“∀n∈N*,f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A.∀n∈N*,f（n）∉N*且f（n）>n
B.∀n∈N*,f（n）∉N*或f（n）>n
C.∃n0∈N*,f（n0）∉N*且f（n0）>n0
D.∃n0∈N*,f（n0）∉N*或f（n0）>n0
【答案】D
“p且q”的否定是“￢p或￢q”.
23.（2015•山东•理T12）若“∀x∈
tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
【答案】1
由题意知m≥（tanx）max.∵x∈
∴tanx∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1.
24.（2015•重庆•理T4）“x>1”是“lo
（x+2）<0”的（ ）
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
由lo
（x+2）<0可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>1”是“lo
（x+2）<0”的充分不必要条件.
25.（2015•天津•理T4）设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
因为|x-2|<1等价于10等价于x<-2或x>1,且（1,3）是（-∞,-2）∪（1,+∞）的真子集,所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.
26.（2015•湖南•理T2）设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
若A∩B=A,则有A⊆B;若A⊆B,则必有A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.
27.（2015•陕西•理T6）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
由cos2α=0,得cos2α-sin2α=0,
即cosα=sinα或cosα=-sinα.
故“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
28.（2014•陕西•理T8）原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（ ）
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
【答案】B
易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,
设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,
但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假.
29.（2014•湖南•理T5）已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧（￢q）;④（￢p）∨q中,真命题是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
【答案】C
由题易知命题p为真,命题q为假,则￢p为假,￢q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧（￢q）为真,（￢p）∨q为假.故选C.
30.（2014•辽宁•理T5）设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a•b=0,b•c=0,则a•c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是（ ）
A.p∨qB.p∧q
C.（￢p）∧（￢q）D.p∨（￢q）
【答案】A
对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.故选A.
31.（2014•重庆•文T6）已知命题
p:
对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:
x=1是方程x+2=0的根.
则下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧（￢q）B.（￢p）∧qC.（￢p）∧（￢q）D.p∧q
【答案】A
由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以￢p为假,￢q为真.所以p∧（￢q）为真,（￢p）∧q为假,（￢p）∧（￢q）为假,p∧q为假.故选A.
32.（2014•湖北•文T3）命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是（ ）
A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=x
C.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x
【答案】D
全称命题“∀x∈M,p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M,￢p（x）”,故选D.
33.（2014•全国2•文T3）函数f（x）在x=x0处导数存在.若p:
f'（x0）=0;q:
x=x0是f（x）的极值点,则（ ）
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】C
由题意知q⇒p,则p是q的必要条件;
而p
q,如f（x）=x3在x=0处f'（0）=0,而x=0不是极值点,故选C.
34.（2014•安徽•理T2）“x<0”是“ln（x+1）<0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
由ln（x+1）<0得-135.（2014•浙江•理T2）已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
当a=b=1时,（a+bi）2=（1+i）2=2i,反之,（a+bi）2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件,应选A.
36.（2014•北京•理T5）设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
等比数列{an}为递增数列的充要条件为
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
37.（2013•天津•理T4）已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
则其体积缩小到原来的
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
相切.
其中真命题的序号是（ ）
A.①②③B.①②C.①③D.②③
【答案】C
设球半径为R,缩小后半径为r,则r=
R,而V=
πR3,V'=
πr3=
πR3,所以该球体积缩小到原来的
故①为真命题;取两组数据1,3,5和3,3,3,它们的平均数相同,但标准差不同,故②为假命题;圆x2+y2=
的圆心到直线x+y+1=0的距离d=
等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C.
38.（2013•陕西•文T6）设z是复数,则下列命题中的假命题是（ ）
A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0
【答案】C
由复数的基本知识可知:
z2能与0比较大小且z2≥0,则z为实数,所以A正确;同理,z2<0,则z是纯虚数,所以B正确;反过来,z是纯虚数,z2<0,D正确;对于选项C,不妨取z=1+i,则z2=2i不能与0比较大小.
39.（2013•全国,文T5）已知命题p:
∀x∈R,2x<3x;命题q:
.∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧qB.（￢p）∧qC.p∧（￢q）D.（￢p）∧（￢q）
【答案】B
由20=30知,p为假命题.令h（x）=x3-1+x2,∵h（0）=-1<0,h
（1）=1>0,∴x3-1+x2=0在（0,1）内有解.
∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有（￢p）∧q为真命题.故选B.
40.（2010•全国•理T5）已知命题:
p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数,
p2:
函数y=2x+2-x在R上为减函数,
则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
（￢p1）∨p2和q4:
p1∧（￢p2）中,真命题是（ ）
A.q1,q3B.q2,q3
C.q1,q4D.q2,q4
【答案】C
p1为真,p2为假,∴q1为真,q2为假,q3为假,q4为真.
41.（2013•重庆•理T2）命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为（ ）
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得
≥0
D.存在x0∈R,使得
<0
【答案】D
全称命题的否定是一个特称命题（存在性命题）,故选D.
42.（2012•全国•理T3）下面是关于复数z=
的四个命题:
p1:
|z|=2;p2:
z2=2i;p3:
z的共轭复数为1+i;p4:
z的虚部为-1.
其中的真命题为（ ）
A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4
【答案】C
z=-1-i,故|z|=
p1错误;z2=（-1-i）2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.
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