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整理第三章晶体的结合
第三章晶体的结合
晶体是稳定的结构，因此在晶体中一定存在一种将原子或分子结合在一起的力。
比如氯化钠晶体就比自由状态下的钠原子和氯原子聚集在一起稳定的多，这意味着氯原子和钠原子相互吸引，也就是说存在一种相互作用的引力将两种原子结合在一起。
那么，处于自由状态的原子是如何形成不同类型的晶体呢？
实际上，原子结合成晶体时，原子的外层电子要做重新分布。
外层电子的分布不同会产生不同类型的结合力，导致了晶体不同的结合类型。
典型的晶体结合的类型有：
离子性结合、共价结合、金属结合、范德瓦耳斯结合和氢键结合。
这章我们将介绍晶体的结合能，进而讨论不同类型的结合力、元素和化合物晶体结合的规律性等。
§3.1结合力与结合能
一、内能函数与结合能
1、结合能（内聚能）（cohesiveenergy）
分散的原子（离子或分子）之所以能构成晶体，是因为原子之间存在着结合力，而且晶体的总能量
比构成晶体的N个原子处于自由状态的总能量低。
把分散的原子（离子或分子）在结合成稳定晶体的过程中，所释放出来的能量，就称为晶体的结合能（bindingenergy）或内聚能（cohesiveenergy）。
如以
表示组成晶体的N个原子在自由时的总能量，
为晶体的总能量，则结合能
可以表示为
（3.1.1）
2、内能（internalenergy）
晶体的内能U是系统的总能量，即动能与势能之和。
如果以组成晶体的N个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则有
（3.1.2）
即晶体的内能与晶体的结合能的负值相等。
3、内能与体积关系
由于原子间的力与距离有关，当晶体的体积变化时，晶体的内能也要发生变化，所以晶体的内能是体积的函数，用
表示。
如果用
表示晶体平衡时的体积，则有，
（3.1.3）
4、内能的表示
晶体的内能总可以写成引力势能与排斥势能的和：
U=引力势能+排斥势能（3.1.4）
排斥势能本质上表现为系统的动能，是一种短程相互作用，且取正值；吸引势能是长程作用，取负值。
这样，总的势能曲线才有极小值，对应晶体的平衡体积，如图3.1所示。
图3.1内聚能示意图
二、结合力的共性
由晶体的内能我们可以看出，晶体中原子之间的相互作用分为两类：
吸引作用和排斥作用。
吸引作用（attractfunction）在远距离是主要的，排斥作用（repulsivefunction）——在近距离是主要的。
在某一适当的距离，两种作用相互抵消，使晶格处于稳定状态。
吸引作用是由于电荷之间的库仑引力；排斥作用的来源有两个方面：
一方面是同性电荷之间的库仑力斥力，另一方面是泡利原理所引起的排斥力。
两个原子之间的互作用势可用幂级数来表示：
（3.1.5）
其中r是两个原子之间的距离，A，B，m，n均为大于零的常数，不同类型的结合这些参数不尽相同。
（3.1.5）中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能，而且已经将能量的零点取在
处，即取组成晶体的N个原子处于自由状态的能量作为能量的零点。
设
为两原子处于稳定平衡状态时的距离，相应的能量取极小值，这时，
，而
。
由
，有
（3.1.6）
将
代入
，得
（3.1.7）
可见n>m。
这表明，随着距离的增大，排斥势要比吸引势减小得快，也就是说，排斥势是短程效应。
由相互作用势能u（r）可以计算两原子之间的互作用力
（3.1.8）
图3.2两原子之间的相互作用势能和相互作用力
图3.2两原子之间的相互作用势能和相互作用力的示意图。
由图3.2可以看出：
当两原子之间的距离无穷远时，能量为零，作用力为零；当两原子逐渐靠近时，能量为负且绝对值逐渐增大，原子间产生吸引力；当原子间距很小时，作用力成为排斥力，并且力的大小及能量u都随着r的进一步减小而急剧上升；在中间某个位置r=r0时，u（r）达到最低点而相互作用力为零（吸引与排斥力平衡），
为两原子处于稳定平衡位置时的间距；当r=rm，吸引力最大；而当r>rm时，两原子之间的吸引作用随距离的增大逐渐减小。
三、结合能与晶体力学性质
1、结合能
如果已经知道两个原子之间的相互作用势能的具体形式，则N个原子构成的晶体总的相互作用势能可以近似认为等于原子对之间互作用势能之和，即
（3.1.9）
其中i≠j，（1/2）因子的引入是因为u（rij）与u（rji）是同一互作用势，而在求和中计算了两次。
由于晶体的表面层原子的数目比晶体内部的原子数目总是少得多，并且u（rij）的绝对值随rij的增加减小很快，所以，可以忽略表层原子与内部原子对势能贡献的差异。
（3.1.9）就可以化简为
（3.1.10）
2、体弹性模量
当对晶体施加一定压强时，晶体体积将有所改变。
这种性质可用压缩系数（compressioncoefficient）κ或弹性模量（elasticmodulus）Κ描述，二者互为倒数。
κ的定义为
（3.1.11）
其中V为晶体体积，P为压强。
压缩系数就定义为在一定温度下体积随压强的变化与晶体体积的比值，“－”负号表示随压强的增大体积是减小的。
设在压强P作用下，晶体的体积增加△V，则晶体对外做功
，△U是总能量的增加。
因此，
。
于是，晶体的弹性模量：
在T＝0时，晶体的平衡体积为r0。
§3.2原子的电负性（atomelectronegative）
一、电离能（ionizationenergy）
使基态的原子失去最外层的一个电子所必需的能量称为原子的电离能（ionizationenergy）。
从原子中移去第一个电子所需要的能量称为第一电离能。
从＋1价离子中再移去一个电子所需要的能量为第二电离能。
第二电离能一定大于第一电离能。
电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱。
电离能随原子序数的变化关系如图3.3所示，可以看到，同一元素周期里，电离能随原子序数不断增大。
惰性元素的电离能都很大，表示原子很难被激发，而碱金属元素的电离能都很小，所以很容易失去价电子。
图3.3元素的电离能
二、亲和能（affinityenergy）：
一个中性原子获得一个电子成为负离子时所放出的能量，称为亲和能（affinityenergy）。
亲和过程不能看成是电离过程的逆过程。
第一次电离过程是中性原子失去一个电子变成＋1价的离子，其逆过程是＋1价离子获得一个电子称为中性原子。
图3.4是部分原子的电子亲和能。
电子亲和能一般随原子半径的减小而增大。
图3.4元素的电子亲合能
三、原子的负电性（atomelectronegative）
1．原子负电性的概念
原子负电性是用来标志原子得失电子能力的物理量，综合表示原子对电子束缚能力的强弱。
原子的负电性与它的价态有关，因此不是一个不变的原子性质，随着价态的不同，可以在一个范围内取值。
比如二价锡离子和四价锡离子其负电性是不同的。
2原子负电性的定义
负电性有不同的定义方式，不同标度所得到的负电性数值是不同的，但具有基本上相同的变化趋势。
而且负电性只有相对的数值，只能用来做定性估计。
一般选定某原子的负电性为一确定值，把其它原子的负电性与被选定原子的负电性作比较，所列出的负电性值便成为无量纲的数。
（1）穆力肯（Mulliken）负电性的定义：
原子负电性＝0.18（电离能＋亲合能）（3.2.1）
能量的单位为电子伏。
0.18的引入只是为了让Li（锂）的负电性为1，便于比较。
（2）泡林（Pauling）计算方法：
设xA，xB是原子A和B的负电性，E（A-B），E（A－A），E（B－B）分别是双原子分子AB，AA，BB的离解能，利用关系式
（3.2.2）
即可求出A原子和B原子的负电性之差。
规定氟的负电性为4.0，其他原子的负电性即可相应求出。
表3-1是一些元素的负电性。
表3-1元素的负电性
元素
H
He
Li
Be
B
C
N
O
F
Ne
泡林值
2.2
--
0.98
1.57
2.04
2.55
3.04
3.44
3.98
--
穆力肯值
--
--
0.94
1.46
2.01
2.63
2.33
3.17
3.91
--
元素
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
K
Ca
泡林值
0.93
1.31
1.61
1.90
2.19
2.58
3.16
--
0.82
1.0
穆力肯值
0.93
1.32
1.81
2.44
1.81
2.41
3.00
--
0.80
--
从上表中可以看出原子的负电性有如下的变化趋势：
（1）在同一周期内，负电性从左到右逐渐增强；
（2）在同一族内，负电性从上到下逐渐减小；（3）周期表中越靠下，同一周期内负电性的差别越小。
（4）泡林与穆力肯所定义的电负性相当接近。
§3.3离子性结合（ionicbinding）
一、离子性结合（ionicbinding）
当电离能（ionizationenergy）较小的金属原子与电子亲合能（Electronaffinity）较大的非金属原子相互接近时，前者容易放出最外层的电子而成正离子，后者容易接受前者放出的电子而变成负离子，出现正、负离子间的库仑作用，从而结合在一起。
另一方面，由于异性离子相互接近，其满壳层的电子云交迭而出现斥力（泡利原理所致），当两种作用相抵时，达到平衡。
异性离子间的互作用力称为离子键。
靠离子性结合的晶体称为离子晶体（Ioniccrystal）或极性晶体。
二、离子性结合与离子晶体的特点
离子性结合有以下特点：
（1）以离子为结合单元，靠正负离子之间的库仑引力作用结合成晶体。
最典型的离子晶体是碱金属元素Li，Na，K，Rb，Cs和卤族元素F，Cl，Br，I之间形成的化合物，如NaCl，CsCl等等。
（2）正、负离子是相间排列的，这样可以使异号离子之间的吸引作用强于同号离子之间的排斥作用，库仑作用的总效果是吸引的，晶体势能可达到最低值而使晶体稳定。
（3）由于正、负离子的相对大小的差异，其结构形式和配位数也有所差异。
如氯化钠晶体为套构的面心立方格子，配位数为6，氯化铯为套构的简立方格子，配位数为8。
由于离子性结合的特点，使得离子晶体具有以下特点：
（1）离子晶体主要依靠较强的库仑引力而结合，故结构很稳定，结合能很大，约为800千焦耳／摩尔左右，导致了离子晶体熔点高、硬度大、膨胀系数小。
（2）由于离子的满壳层结构，使得这种晶体的电子导电性差，但在高温下可发生离子导电，电导率随温度升高而加大。
（3）离子晶体的构成粒子是带电的离子，这种特点使该种晶体易于产生宏观极化，与电磁波作用强烈。
大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰
三、离子晶体的结合能（bindingenergyofioniccrystal）
1库仑能与马德龙常数（ConlombenergyandMadelungconstant）
以NaCl晶体为例。
钠离子和氯离子都是满壳层结构，具有球对称性，考虑库仑作用时，可看作点电荷。
令r表示相邻离子的距离，则一个离子的平均库仑能为
（3.3.1）
如果以所考虑的正离子为原点，可以表示其它各离子所占格点的距离。
而且容易验证负离子格点：
n1+n2+n3=奇数；正离子格点：
n1+n2+n3=偶数；
这样，
（1）式中的正好照顾到正负离子电荷的差别，（1／2）是由于库仑作用为两个离子共有。
一对离子或一个原胞的能量为（3.3.1）式的两倍（一个原胞中包含两个离子，一个钠离子、一个氯离子）
（3.3.2）
其中求和号中是一无量纲的纯数值，完全决定于晶体的结构；它是一个负值，写为－α，α称为马德龙常数（Madelungconstant）,即
。
常见离子晶格的马德龙常数如下：
NaCl结构α＝1.748；ZnS结构α＝1.638；
CsCl结构α＝1.763；CaF2结构α=5.039.
2排斥能（repulsiveenergy）
当近邻离子的电子云有明显的重叠时,两离子之间会有排斥作用,称为重叠排斥能。
其表述形式可以为指数形式或者幂函数形式，即
或（3.3.3）
指数表示更为精确地描述排斥力的特点，而幂函数的形式则更为简单。
在NaCl晶格中，只考虑近邻间的排斥作用，每对离子的平均排斥能为6b/rn，每个离子有6个相距为r的离子
3系统的内能与结合能
对包含N个原胞的晶体，综合考虑库仑吸引能和重叠排斥能，系统的内能可以表示为
（3.3.4）
其中,B=6b。
原子形成晶体以后，系统具有更低的能量。
如果分散周期性排列的原子构成的系统，其内能为零，形成晶体时内能降低，放出的能量即为结合能。
利用平衡条件和系统的内能公式，结合能可以写成
所以，根据已确定的n可以计算离子晶体的结合能。
4由内能函数可以确定晶体的一些物理常数
（1）如果已知晶体的内能，根据极值条件可以确定晶体平衡时的体积和晶格常数
对于NaCl晶体，其内能为
晶体平衡时，
，
。
由此可得，NaCl的晶格常数为
NaCl原胞体积为，晶体体积为。
（２）体弹性模量
对于平衡晶体，体弹性模量表示为
由离子晶体的内能的表达式及极值条件，可求得离子晶体的平衡条件为
其中r0为平衡时的近邻距离。
由上面的平衡条件，体弹性模量可化简为
（3.3.5）
由式（3.3.5）可知，体弹性模量的贡献主要来源于排斥能，n越大，体弹性模量就越大。
实验测得r0和K的值，就可以确定排斥力中的参数n。
§3.4共价结合与共价晶体
一、共价结合和共价晶体
对电子束缚能力相同或相近的两个原子，彼此靠近时，各自贡献一个电子，为两个原子共有，从而使其结合在一起，这种结合称为共价结合（Covalentbinding）。
能把两个原子结合在一起的一对为两个原子共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键（Covalentbond）
共价结合的晶体称为共价晶体（Covalentcrystal）或同极晶体，有时也称为原子晶体。
共价晶体具有熔点高，硬度高，低温导电性差等特点。
二、成键态和反键态（bondingstateandanti-bondingstate）
假设原子A与原子B是互为邻近的一对原子。
当它们是自由原子时，各有一个价电子，归一化的波函数分别用φA、φB表示，即
（3.4.1）
（3.4.2）
其中，VA、VB为作用在电子的库仑势。
当两原子相互靠近，波函数交叠，形成共价键，每个电子为两个原子共有，哈密顿量为
（3.4.3）
其中脚标1、2分别表示两个电子。
采用轨道法简化波动方程，忽略电子间的相互作用V12，则哈密顿量可以分解为两部分，每部分只与一个电子的坐标有关，波函数
而波动方程为i＝1，2
这是单电子的波动方程，其解称为分子轨道，其波函数可选原子波函数的线性组合。
设原子A和原子B是同一种原子，两原子完全等价，则有
，
且波函数可以写成
（3.4.4）
其中C＋、C－为归一化常数。
通常称ψ＋为成键态（bondingstate），ψ－为反键态（anti-bondingstate）。
成键态电子云密集在两原子核之间，而反键态两原子核之间的电子云减小。
由量子力学可知,两种分子轨道的能量是有区别的。
（3.4.5）
其中
（3.4.6）
对于成键态，电子云密集在两个原子核之间，同时受到两个原子核的库仑吸引作用，使成键态能量低于原子能级。
成键态上可以填充正、反自旋的两个电子，这两个电子形成所谓的共价键（covalentbond）。
对于反键态，其能量高于原子能级。
三、共价结合的特征（characteristicsofcovalentbinding）
共价结合有两个基本特征：
饱和性和方向性。
饱和性（saturationcharacter）是指一个原子只能形成一定数目的共价键。
按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。
因此当一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的电子数。
这个特性称为共价键的饱和性。
共价键的数目符合所谓的8－N定则，N指价电子数。
方向性（directioncharacter）则是指原子只在特定的方向上形成共价键。
当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而且共价键结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。
因此，两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，也就是电子的波函数为最大的方向。
这就是共价键具有方向性的物理本质。
四、轨道杂化（hybridorbit）
为了解释金刚石中具有4个同等的共价键，1931年泡林（Pauling）和斯莱特（Slater）提出了杂化轨道理论。
碳原子有4个价电子，它们分别对应四个量子态，在构成共价键时，它们组成了4个新的量子态
（3.4.7）
4个电子分别占据一个新轨道，在四面体顶角方向形成四个共价键，这就是所谓的轨道杂化，也称为sp3杂化（sp3hybrid）。
实际上，碳原子有6个电子，基态1s和2s填充了4个电子，余下的2个填充在2p态，这时只有两个未配对的电子；要形成4个共价键，则要把2s态的两个电子波函数与2p态的电子波函数组成4个新的电子状态，使这四个电子都成为未配对的电子，可以形成共价键，如图3.5所示。
图3.5碳原子的基态和激发态
五、极性键与非极性键（polarityandnon-polaritybond）
当同种元素原子间形成共价键时，由于两个原子的电负性相同，它们对电子的吸引力相同，成键后的配对电子密度主要出现在两原子的中间，电子在各个原子处出现的几率（概率）相同。
因此两个原子间不会有偶极矩产生，称之为非极性键。
而当不同元素的原子间形成共价键时，由于两个原子的电负性不相同，它们对电子的吸引力不相同，成键后的配对电子密度偏向电负性大的原子一边，电子在电负性比较大的原子一方有比较大的出现概率。
这种共价键常伴有电偶极矩的出现，称为极性键（polaritybond）。
六、电离度（ionizability）
如果晶体是由两种不同原子构成，公式
和
中的VA、VB不同，εA≠εB。
选取分子轨道波函数为原子轨道的线性组合
其中λ表示不同原子波函数组合成分子波函数时的权重因子。
在这种情况下，A原子和B原子之间所形成的共价键包含有离子键的成分。
从分子轨道法的观点，这反映在组合波函数中的λ≠±1，从而电子在A、B原子上的几率PA、PB不再相同，分别为
（3.4.8）
共价结合中离子性的成分可以用电离度（ionicity）fi来描述
（3.4.9）
这种定义方式是卡尔森（Coulson）给出的，其中PA、PB分别表示电子在原子A和原子B上的几率。
显然，对于完全共价结合（λ＝1），fi＝0；对于完全离子结合（λ＝0），fi＝1。
当结合性质为部分离子、部分共价时，fi介于0与1之间，fi数值越大，表明离子性越强。
另外，还有泡林（Pauling）和菲利浦（Phillips）定义方式。
§3.5金属、分子晶体以及氢键晶体
一、金属（metal）
1、金属性结合与金属键（metallicbindingandmetalbond）
金属性结合的基本特点是电子的“共有化”。
原子在结合成晶体时，原来分属各自原子的价电子不再束缚于其本身，而为所有“原子实”所共有。
于是，共有化电子形成的电子云和浸在这个负电子云中的带正电的原子实之间出现库仑作用，原子越紧密，势能越低，从而把原子聚合在一起。
这样的结合称为金属性结合（metallicbinding）。
容易失去外层价电子的Ⅰ、Ⅱ族元素及过渡族元素形成的晶体都是典型的金属晶体。
原子实和电子云之间的库仑力，是这种结合的主要结合力，称为金属键（metalbond）。
2、金属晶体的形成过程（generationprocessofmetalcrystal）
金属性结合时，一方面有负电子云和带正电的原子实之间的库仑作用，使其排列紧密；另一方面，由于原子间距离的不断减小，还会出现排斥作用，其来源有二：
一是共有化电子云密度增加的同时，动能也将增加（动能正比于电子云密度的三分之二次方），二是当原子实相互靠近到它们的电子云发生显著交叠时，也将产生强烈的排斥作用。
当原子间距达到某一值时，排斥力等于库仑引力，达到平衡，形成晶体，即金属晶体（metalcrystal）。
3、金属晶体的性质（characteristicsofmetalcrystal）
由于金属性结合的特点，使得金属具有以下性质：
（1）金属性结合是一种较强的结合，结合能约为105～106焦耳／摩尔，并且由于配位数较高，所以金属一般具有稳定、密度大、熔点高的特点。
（2）由于金属中价电子的共有化，所以金属的导电、导热性能好；金属具有光泽也和价电子的共有化有关。
（3）金属结合是一种体积效应，对原子排列没有特殊要求，故在外力作用下容易造成原子排列的不规则性及重新排列，从而表现出很大的范性及延展性，容易进行机械加工。
二、分子晶体（molecularcrystal）
1、分子性结合与分子键（molecularbindingandmolecularbond）
对原来就具有稳定电子结构的分子，例如，具有满壳层结构的惰性气体分子，或价电子已用于形成共价键的饱和分子，它们在结合时，基本上保持原来的电子结构。
它们的结合是由于分子间的范德瓦尔斯力的作用，称为范德瓦尔斯结合，也称为分子性结合（molecularbinding）。
这种结合的单元是分子，它们之间的范德瓦尔斯力，即分子力，称为范德瓦尔斯键，或分子键（molecularbond）。
2、分子力的来源
分子力来源于分子的电偶极矩（electricdipolemoment）。
对于电子云是球对称分布的惰性气体原子，原子的平均电偶极矩为零，但在某一瞬时，由于核周围电子运动的涨落，可以有瞬时电偶极矩。
设原子1的瞬时电偶极矩为p1，在距离r处产生的电场E正比于p1/r3。
在这个电场作用下，另一原子（原子2）被极化，感生电偶极矩为
（3.5.1）
其中α是原子的极化率。
两个偶极矩之间的作用能为
（3.5.2）
这就是范德瓦耳斯力的来源，是原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所导致的吸引相互作用。
3、雷纳德－琼斯势（Lennard-Jonespotential）
靠范德瓦耳斯相互作用结合的两个原子的相互作用能，可以写成
（3.5.3）
其中B/r12表示重叠排斥作用，这种形式可以满意地解释有关惰性气体的实验数据。
A、B是经验参数，都是正数。
原子间的相互作用势，通常采用的形式是
（3.5.4）
其中ε和σ是新的参数，是令4εσ6＝A，4εσ12＝B而引入的。
称（3.5.4）式为雷纳德－琼斯势（Lennard-Jonespotential）。
惰性气体晶体的结合能就是晶体内所有原子对之间雷纳德－琼斯势之和。
如果晶体内含有N个原
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