学年八年级数学整式 同步练习 新课标 人教版doc.docx

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学年八年级数学整式同步练习新课标人教版doc

2019-2020学年八年级数学整式同步练习新课标人教版

一、课标要求与内容分析

1.本章的课标要求是：

（1）了解整式的概念，会进行简单的整式加减运算；

（2）会进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）；（3）会推导来法公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2，（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；（4）会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.

2.经历探索事物之间的数量关系，建立初步的符号感，发展抽象思维，在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系并用代数式表示，理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会现实世界与数学的联系，理解整式的含义，掌握整式的加减运算的实质，即去括号、合并同类项，并会求代数式的值，掌握整式的乘法运算及其逆运算——因式分解；掌握整式的除法运算（单项式除法和多项式除以单项式）.

3.本章的重点是代数式和整式的加、减、乘、除运算，以及因式分解.难点是规律的探求及根据代数式推断代数式反映的规律.

二、学法指导

学习本章要注意从具体情境中探索数量关系和变化规律，培养和发展自己的符号感.要注重对运算法则的探索过程的理解.另外，不仅要注意观察和实验，还要注意归纳、类比、转化等思想方法的运用，因为整式的运算是解方程、解不等式的重要基础，这一知识在初中数学体系中起着承上启下的作用，所以，本章学习整式的运算等内容，会给我们研究数量及其关系带来极大的方便，应引起充分的重视.

章末总结

知识网络图示

基本知识提炼整理

一、基本概念

1.代数式

用基本的运算符号（指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.单项式

数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.

（1）单独的一个数或一个字母也是单项式.

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

（3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

3.多项式

几个单项式的和叫做多项式.

（1）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.

（2）一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.

4.整式

单项式和多项式统称整式.

5.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.

6.合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

7.整式乘法的平方差公式

（a+b）（a-b）=a2-b2.

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

8.整式乘法的完全平方公式

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a-b）2=a2-2ab+b2.

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.

二、基本运算法则

1.整式加减法法则

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.

2.合并同类项法则

合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.

3.同底数幂的乘法法则

am·an=am+n（m，n是正整数）.

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

4.幂的乘方法则

（am）n=amn（m，n是正整数）.

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

5.积的乘方的法则

（ab）m=ambm（m是正整数）.

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

6.多项式来法法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

7.单项式与多项式相来的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

8.添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

9.同底数幂的除法法则

am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）.

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

10.单项式除法法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

11.多项式除以单项式的除法法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解常见的方法

1.提公因式法.

2.公式法.

3.分组分解法.

4.式子x2+（p+q）x+pq的因式分解.

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.

专题总结及应用

一、整式的加减

在整式的加减中，基本可以分为以下几种类型题.

1.不含括号的直接合并同类项

例1

（1）合并同类项3x2-4xy+4y2-5x2+2xy-2y2；

（2）化简5xy-

x3y2-

xy+

x3y2-

xy-x3y-5.

解：

（1）原式=（3-5）x3+（-4+2）xy+（4-2）y2

=-2x2-2xy+2y2.

（2）原式=（5-

）xy+（-

）x3y2-x3y-5

=-4x3y2-x3y-5.

2.有括号的情况

有括号的先去括号，然后再合并同类项，根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化.

例2化简.

（1）3x-[5x+（3x-2）]；

（2）1-3（2ab+a）十[1-2（2a-3ab）].

解：

（1）原式=3x-（5x+3x-2）

=3x-8x+2

=2-5x.

（2）原式=1-6ab-3a+（1-4a+6ab）

=1-6ab-3a+1-4a+6ab

=2-7a.

3.先代入后化简

例3已知A=x2+xy+y2,B=-3xy-x2,求2A-3B.

解：

2A-3B

=2（x2+xy+y2）-3（-3xy-x2）

=2x2+2xy+2y2+9xy+3x2

=5x2+11xy+2y2.

二、求代数式的值

1.直接求值法

先把整式化简，然后代入求值.

例4先化简，再求值.

3-2xy+2yx2+6xy-4x2y，其中x=-1,y=-2.

解：

3-2xy+2yx2+6xy-4x2y=3+4xy-2x2y.

当x=-1,y=-2时，

原式=3+4×（-1）×（-2）-2×（-1）2·（-2）

=3+8+4

=15.

2.隐含条件求值法

先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值.

例5若单项式-3a2-mb与bn+1a2是同类项，求代数式m2-（-3mn+3n2）+2n2的值.

（分析）先通过-3a2-mb与bn+2a2是同类项这一条件，将m,n的值求出，然后再化简求值.

解：

∵-3a2-mb与bn+1a2是同类项，

∴

∴

m2-（-3mn+3n2）+2n2

=m2+3mn-3n2+2n2

=m2+3mn-n2，

当m=0,n=0时，原式=02+3×0×0-02=0

例6已知

+（b+1）2=0，求5ab2-[2a2b-（4ab2-2a2b）]的值.

（分析）利用

+（b+1）2=0，求出a，b的值，因为绝对值和平方都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们每一个都是0.

解：

∵

+（b+1）2=0，且

≥0，（b+1）2≥0，

∴

∴

5ab2-[2a2b-（4ab2-2a2b）]

=5ab2-（2a2b-4ab2+2a2b）

=5ab2-2a2b+4ab2-2a2b

=9ab2-4a2b

当a=2,b=-1时，

原式=9×2×（-1）2-4×22×（-1）=18+16=34.

3.整体代入法

不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等.

例7已知a=

x+19,b=

x+18,c=

x+17,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.

解：

∵a=

x+19,b=

x+18,c=

x+17,

∴a-b=1,b-c=1,a-c=2.

而a2+b2+c2-ab-ac-bc

=

（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）

=

[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]

=

[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2].

当a-b=1,b-c=1,a-c=2时，

原式=

（12+12+22）=

×6=3.

例8已知x2+4x-1=0，求2x4+8x3-4x2-8x+1的值.

（分析）由x2+4x-1=0就目前知识水平求x的值是不可能的，但是，我们可以把x2+4x化成一个整体，再逐层代入原式即可.

解：

∵x2+4x-1=O，∴x2+4x=1.

∴2x4+8x3-4x2-8x+1

=2x2（x2+4x）-4（x2+4x）+8x+1

=2x2·1-4×1+8x+1

=2x2+8x-3

=2（x2+4x）-3

=2×1-3

=-1.

例9已知x2-x-1=0，求x2+

的值.

解：

∵x2-x-1=0,∴x≠0.

∴x-

=1,

∴x2+

=（x-

）2+2·x·

=12+2=3.

4.换元法

出现分式或某些整式的幂的形式时，常常需要换元.

例10已知

=6，求代数式

+

的值.

（分析）给定的代数式中含a，b两个字母，一般地，只有求出a,b的值，才能求出代数式的值，本题显然此方法行不通.

由于题中

与

互为倒数，故将

看成一个整体.

解：

设

=q，则

∴原式=2q+

.

又∵q=6,∴原式=2×6+

=12

.

三、探索规律

1.探索自然数间的某种规律

设n表示自然数，用关于n的等式表示出来.

例11从2开始连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

加数的个数n

和s

1

2=1×2

2

2+4=6=2×3

3

2+4+6=12=3×4

4

2+4+6+8=20=4×5

…

…

（1）s与n之间有什么关系？

能否用一个关系式来表示？

（2）计算2+4+6+8+…+2004.

（分析）观察上表，当n=1时，s=1×2，即第一个数字是1，第二个数字是2；当n=2时，s=2+4=2×3，第一个数字是2，第二个数字是3，依此类推，发现第一个数字是n，第二个数字比n大1.

解：

（1）s与n的关系式为s=n（n+1）.

（2）当n=

=1002时，

s=1002×（1002+1）=1005006.

即2+4+6+8+…+2004=1005006.

小结观察是解题的前提条件，当已知数据有很多组时，需要仔细观察，反复比较，才能发现其中的规律.

2.探索图形拼接的规律

例12一张正方形的桌子可坐4人，按照如图15－20所示的方式将桌子拼在一起，试回答下列问题.

（1）两张桌子拼在一起可以坐几人？

三张桌子拼在一起可以坐几人？

n张桌子拼在一起可以坐几人？

（2）一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？

（3）在

（2）中若每4张桌子拼成一个大的正方形，共可坐多少人？

（4）对于这家酒楼，哪种拼桌子的方式可以坐的人更多？

解：

（1）两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6（人）；

三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8（人）；

n张桌子拼在一起可坐

=2（n+1）=2n+2（人）.

（2）按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子，那么一张大桌子可坐2×4+2=10（人）.

所以，15张大桌子可坐10×15=150（人）.

（3）在

（2）中，若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则一张大正方形桌子可坐8人，15张大正方形桌子可坐8×15=120（人）.

（4）由

（2）（3）比较可知，该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.

小结寻找和探索规律是人类认识世界的重要环节，找到规律并利用规律不仅在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义.

3.探索数据所反映的规律

收集数据，观察数据所反映的规律，并作出推测.

例13填表并回答下列问题.

x

0.01

0.1

1

10

100

1000

1-

（1）观察上表，描述所求得的这一列数的变化规律；

（2）当x非常大时，

的值接近什么数？

解：

（1）表格里从左到右依次填-39999，-399，-3，0.96，0.9996，0.999996.随着x值变大，代数式的值变得越来越大.

（2）当x非常大时，

的值接近于零.

四、因式分解

1.直接因式分解

例14把下列各式分解因式.

（1）x2y2-9；

（2）4x2-12xy+9y2；

（3）x2-5x-6；（4）m2-m-20.

解：

（1）x2y2-9=（xy+3）（xy-3）.

（2）4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2.

（3）x2-5x-6=（x-6）（x+1）.

（4）m2-m-20=（m-5）（m+4）.

2.先提公因式.然后再利用公式法分解因式

例15把下列各式分解因式.

（1）x3-4x2y+4xy2；

（2）x3-x；

（3）m3-3m2-4m.

解：

（1）x3-4x2y+4xy2=x（x2-4xy+4y2）=x（x-2y）2.

（2）x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1）.

（3）m3-3m2-4m=m（m2-3m-4）=m（m-4）（m+1）.

3.分组分解法分解因式

实质上，分组分解法分解因式是对因式分解方法的一种综合运用.

例16把下列各式分解因式.

（1）x2-4（x-1）；

（2）（am+bn）2+（an-bm）2；

（3）a2-2ab+b2-c2；（4）x2-2xy+y2-x+y-2.

解：

（1）x2-4（x-1）=x2-4x+4=（x-2）2.

（2）（am+bn）2+（an-bm）2

=a2m2+2abmn+b2n2+a2n2-2abmn+b2m2

=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2

=（a2m2+a2n2）+（b2n2+b2m2）

=a2（m2+n2）+b2（m2+n2）

=（a2+b2）（m2+n2）.

（3）a2-2ab+b2-c2=（a2-2ab+b2）-c2

=（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）.

（4）x2-2xy+y2-x+y-2=（x2-2xy+y2）-（x-y）-2

=（x-y）2-（x-y）-2=（x-y-2）（x-y+1）.

4.用换元法分解因式

例17把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120分解因式.

解：

（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120

=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]-120

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）-120

设x2+5x=y，则

原式=（y+4）（y+6）-120

=y2+10y+24-120

=y2+10y-96

=（y+16）（y-6）

=（x2+5x+16）（x+6）（x-1）.

【说明】

（1）在分解这个多项式时，（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）化简时注意两两相乘时合理组合，创设出以（x2+5x）为主的多项式，进而整理.

（2）采用把x2+5x作为一个整体（即换元法）的方法进一步因式分解.

（3）要注意到x2+5x+16不能再分解，而（x2+5x-6）则可以继续分解.

本章综合评价

（一）

一、训练平台

1.若3a2bn-1与-

am+1b2是同类项，则（）

A.m=3,n=2B.m=2,n=3C.m=3,n=-

D.m=1,n=3

2.a，b，c都是有理数，那么a-b+c的相反数是（）

A.b-a-cB.b+a-cC.-b-a+cD.b-a+c

3.下列去括号正确的是（）

A.2y2-（3x-y+3z）=2y2-3x-y+3zB.9x2-[y-（5z+4）]=9x2-y+5z+4

C.4x+[-6y+（5z-1）]=4x-6y-5z+1D.-（9x+2y）+（z+4）=-9x-2y-z-4

4.若am=3，an=2，则am+n等于（）

A.5B.6C.8D.9

5.一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用代数式表示这个两位数是.

6.图15－21中阴影部分的面积为.

7.计算：

（-0.5）2003·22004=.

8.计算：

（-ab）3·（ab2）2=.

9.计算：

（m+2n）（m-2n）=,（7x-3y）（）=9y2-49x2，（x-2）（x+4）=,（3x+2y）2

=（3x-2y）2+.

10.化简.

（1）-（m-2n）+5（m+4n）-2（-4m-2n）；

（2）3（2x+1）（2x-1）-4（3x+2）（3x-2）.

11.分解因式.

（1）m2n（m-n）2-4mn（n-m）；

（2）（x+y）2+64-16（x+y）.

12.已知a，b是有理数，试说明a2+b2-2a-4b+8的值是正数.

二、探究平台

1.从左到右的变形，是因式分解的为（）

A.ma+mb-c=m（a+b）-c

B.（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3

C.a2-4ab+4b2-1=a（a-4b）+（2b+1）（2b-1）

D.4x2-25y2=（2x+5y）（2x-5y）

2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.-a2+b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a3-b3

3.如果（x-2）（x-3）=x2+px+q，那么p，q的值是（）

A.p=-5，q=6B.p=1，q=-6C.p=1，q=6D.p=5，q=-6

4.（-a+b+c）（a+b-c）=[b-（）][b+（）].

5.若x-y=2，x2-y2=10，则x+y=.

6.若x+y=10，xy=24，则（x-y）2=.

7.若m2+2（k-1）m+9是完全平方式，则k=.

8.已知（x2+mx+n）（x2-3x+2）的展开式中不含x2项和x项，则m=，n=.

9.若（x-2）0=1，则x应满足的条件是.

10.化简.

（1）20002-1999×2001；

（2）（2x+7）（3x-4）+（3x+5）（3-2x）.

11.分解因式.

（1）（a-2b）2-16a2；

（2）x3-x2-4x+4.

12.若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于多少？

三、交流平台

1.

（1）计算.

①（a-1）（a+1）；②（a-1）（a2+a+1）；

③（a-1）（a3+a2+a+1）；④（a-1）（a4+a3+a2+a+1）.

（2）根据

（1）中的计算，你发现了什么规律？

用字母表示出来；

（3）根据

（2）中的结论，直接写出下题的结果.

①（a-1）（a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）=；

②若（a-1）·M=a15-1，求M；

③（a-b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）=；

④（2x-1）（16x4+8x3+4x2+2x+1）=.

2.如图15－22所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推.

（1）填写下表；

层数

1

2

3

4

5

6

各层对应的点数

所有层的总点数

（2）写出第n层对应的点数；

（3）写出n层的四边形点阵的总点数；

（4）如果某一层共有96个点，你知道它是第几层吗？

（5）有没有一层点数为100？

（二）

一、训练平台

1.下列各式中，计算正确的是（）

A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=212

2.当x=

时，3（x+5）（x-3）-5（x-2）（x+3）的值等于（）

A.-

B.-18C.18D.

3.已知x-y=3，x-z=

，则（y-z）2+5（y-z）+

的值等于（）

A.

B.

C.-

D.0

4.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4的值为（）

A.26B.246C.242D.不能确定

5.（a+b）（a-2b）=.

6.（2a+0.5b）2=.

7.（a+4b）（m+n）=.

8.计算.

（1）（2a-b2）（b2+2a）；

（2）（5a-b）（-5a+b）.

9.分解因式.

（1）1-4m+4m2；

（2）7x3-7x.

10.先化简，再求值.

[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=-1.5.

二、探究平台

1.分解因式（a-b）（a2-ab+b2）-ab（b-a）为（）

A.（a-b）（a2+b2）B.（a-b）2（a+b）C.（a-b）3D.-（a-b）3

2.下列计算正确的是（）

A.a8÷a2=a4（a≠0）B.a3÷a4=a（a≠0）

C.a9÷a6=a3（a≠0）D.（a2b）3=a6b

3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是（）

A.x4-0.1=（x2+0.1）（x2-0.1）B.-x2-16=（-x+4）（-x-4）

C.2xn+x3n=xn（2+x3）D.

-x2=

（1+2x）（1-2x）

4.分解因式：

-a2+4ab-4b2=.

5.如果x2+2（m-3）x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.

6.（3x3+3x）÷（x2+1）=.

7.1.22222×9-1.33332×4=.

8.计算.

（1）

；

（2）

.

9.分解因式.

（1）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）；

（2）x4-81x2y2.

10.

+x（1+

），其中x=

-1.

三、交流平台

1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.

2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？

并将它分解.

3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.

4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.

参考答案

一、1.D2.A3.B4.B5.10a+b6.

ab7.-28.-a5b7

9.m2-4n2-3y-7xx2+2x-824xy

10.

（1）原式=26n+12m；

（2）原式=13-24x2.

11.解：

（1）原式=m2n（m-n）2+4mn（m-n）=mn（m-n）[m（m-n）+4]

=mn（m-n）（m2-mn+4）.

（2）原式=（x+y-8）2.

12解：

a2+b2-2a-4b+8

=（a2-2a+1）+（b2-4b+4）+3

=（a-1）2+（b-2）2+3.

∵（a-1）2≥0，（b-2）2≥0，

∴（a-1）2+（b-2）2+3＞0，

∴原式＞0，

即a2+b2-2a-4b+8的正数.

二、1.D2.A3.A4.a-ca-c