八年级数学几何复习一.docx

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八年级数学几何复习一

几何复习一

一、知识索引

（一）勾股定理

　　1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

　　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，进而有

，这些都是勾股定理的常见表达式和变形式.

　　2.勾股定理的逆定理：

如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

　　利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形时，应先确定最大边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形.其一般步骤是：

（1）确定最大边；

（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；

　　（3）比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形.

　　到目前为止判定直角三角形的方法有：

（1）证明三角形中有一个直角；

（2）证明三角形中有两边互相垂直；（3）勾股定理的逆定理.

　　3.互逆命题与互逆定理

　　在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

　　如果一个定理的逆命题经过证明是正确的命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

　　每个命题都有逆命题，但并不是所有的定理都有逆定理.勾股定理和它的逆定理是一对互逆定理，勾股定理是用于证明或求直角三角形三边关系及线段的平方关系，而勾股定理的逆定理则用于判断三角形是否是直角三角形.勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.

　　4.勾股数：

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数.

　　下面介绍一种寻找勾股数的方法：

如果a是一个大于1的奇数b、c是两个连续自然数，且有a2=b+c，则a、b、c为一组勾股数，如3是奇数，4、5为两个连续自然数，且32=4+5则3、4、5为一组勾股数，如果a、b、c为一组勾股数，则na、nb、nc也是—组勾股数，其中，n（n≥1）为自然数，即每组勾股数的相同倍数也是勾股数，

　　5.运用勾股定理及其逆定理可解决下列问题：

（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边的长；

（2）证明线段的平方关系；

　　（3）正数轴上作出表示

的点；

　　（4）解决实际问题.在—些实际问题中，如解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理

（二）四边形（请先填空）

　　1._________叫做平行四边形，平行四边形的对边相等，_______相等，________互相平分，是_____对称图形；若a表示平行四边形的一边长，h表示该边上的高，则S平行四边形=_________.

　　2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；_______的四边形是平行四边形；一组对边______的四边形是平行四边形；两条对角线________的四边形是平行四边形；两组对角_______的四边形是平行四边形。

　　3._______叫做三角形的中位线，它_______于三角形的第三边，且等于第三边的_____。

　　4.矩形的四个都是_____；矩形的对角线____；矩形的对边______；它既是轴对称图形，又是_______图形，若a表示矩形的长，b表示矩形的宽，则S矩形=_____

　　5.有三个角是直角的______是矩形；有一个角是直角的______是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。

　　6.菱形的四边_______，对边______，邻角_____，对角______，对角线_____，且每一条对角线______一组对角；菱形既是轴对称图形，又是_______图形，对称轴是_____，对称中心是______，若a表示菱形的边长，h表示高，则S菱形=_____，若a、a分别表示两条对角线的长，则S菱形=______.

　　7.有一组邻边相等的______是菱形；对角线_______的平行四边形是菱形；四条边都相等的_______是菱形。

　　8.正方形的四条边______，对边______，邻边垂直，四个角都是______，对角线相等且_______，每一条对角线平分一组_____，若a表示正方形的边长，则S正方形=______.

　　9.有一个角是直角的_______是正方形，有一组邻边相等的________是正方形。

　　10.直角三角形______等于斜边的一半。

　　11.一组对边平行，另一组对边_____的四边形叫做梯形_____的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做_____.

　　12._______的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线______的梯形是等腰梯形。

　　13.梯形的中位线________于两底，且等于______的一半。

　　14.梯形的面积S梯形=_______=_______.

　　15.梯形中常见辅助线的作法：

（1）平移一腰，如图1-①；

（2）过顶点作高，如图1-②；（3）平移对角线，如图1-③；（4）延长两腰，如图1-④；（5）过一腰中点，如图1-⑤、⑥；

　　答案请大家对照教科书看一下

　　二、典型例题与思路剖析

　　例1.如图1，在四边形ABCD中，∠A=90°，且AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积。

　　分析：

连结BD，由已知条件，易知BD=5，抓住数字特征“5、12、13”，联想勾股定理的逆定理，可得△BCD是Rt△，于是，求出Rt△ABD与Rt△BCD的面积之和，即为四边形ABCD的面积。

　　解：

连结BD，∵∠A=90°

　　又52+122=132，即BD2+BC2=CD2

　　∴△BCD为Rt△，其中∠CBD=90°

　　∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=6+30=36

　　例2.（实际应用）如图2，铁路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA垂直AB于点A，CD垂直AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米？

　　分析：

要求E站应建在A站多少千米处，若设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，在Rt△DAE和Rt△CBE中，由勾股定理和已知条件可知DE=CE，构造出方程即可求解。

　　解：

设AE=x千米，则BE=（25-x）千米

　　在Rt△DAE和Rt△CBE中，由勾股定理得：

　　DE2=AE2+AD2，CE2=BE2+BC2

　　又∵DE=CE

　　∴AE2+AD2=BE2+BC2

　　即x2+152=（25-x）2+102

　　解得x=10，即E站应建在距A站10千米处

　　注意：

利用勾股定理，构造方程求解是方程思想的体现，也是数形结合的常见题型，所以在进行有关Rt△的计算时不妨考虑使用。

　　例3.如图3，□ABCD中，AC、BD相交于O，下列结论不正确的个数是（）

　　①OA=OC；②∠BAD=∠BCD；③AC⊥BD；④∠BAD+∠ABC=180°

　　（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

　　分析：

根据平行四边形的性质可知①②④正确，③只有当□ABCD是菱形时才正确。

故选（A）

　　点评：

本题主要考查了平行四边形的性质，应熟练掌握。

　　与平行四边形的性质有关的问题

　　这类问题主要有如下几种类型：

（1）求边长、周长、面积；

（2）求角的度数或角与角之间的关系；

　　（3）利用性质说理等。

　　解题关键是：

根据图形特点，利用平行四边形的性质及相关知识进行解答，有时可能要化为直角三角形问题来解决。

　　例4.如图4，在□ABCD中，∠DAB=60°，E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉条件∠DAB=60°，上述结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

　　分析：

（1）由平行四边形的判定方法可知，只需证EC=AF，即ED=BF即可；

（2）是个探索性问题，可先猜测其成立，然后再证明或推翻。

　　解：

（1）因为DC∥AB

　　故∠ADE=∠CBF=60°

　　所以△AED、△BFC均为等边三角形。

　　又AD=BC，故ED=FB，EC=AF

　　又EC∥AF，

　　故四边形AFCE是平行四边形

（2）成立

　　理由：

由DC∥AB，∠DAB=∠DCB，AD=BC，∠ADE=∠CBF

　　可证△AED≌△CFB，则ED=FB

　　故EC=FA，

　　又EC∥AF

　　故四边形AFCE是平行四边形。

　　点评：

解决与判定一个四边形是平行四边形的有关问题时，一般应根据已知条件和图形特征，思考可能要用到的判定方法，若已知条件中有边的平行或相等的关系，则可考虑前三种判定方法；若已知条件中涉及到对角或对角线，则可考虑后两种判定方法。

　　与平行四边形的判定有关的问题

　　这类问题主要有如下几种类型：

（1）证明一个四边形是平行四边形；

（2）先证四边形是平行四边形，再根据其性质解决有关问题；

　　（3）与平行四边形的判定有关的探索题等。

　　例5.如图5，矩形ABCD的对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=6cm，求对角线的长

　　分析：

由矩形的两条对角线互相平分且相等，得OA=OD，又∠AOD=120°，故∠ADB=30°，在Rt△ABD中，运用30°角所对直角边等于斜边的一半即可求BD之长。

　　解：

由矩形ABCD，得AC=BD

　　又OA=OD，∠AOD=120°，故∠ODA=30°

　　在Rt△ABD中，BD=2AB=2×6=12（cm）

　　点评：

本题主要考查矩形性质的应用，熟练掌握矩形性质及直角三角形的有关知识是解题关键。

　　与特殊平行四边形有关的问题

　　这类问题主要有如下几种类型：

（1）求边长、周长、对角线长及面积；

（2）证明一个四边形是矩形或菱形或正方形；

　　（3）与特殊平行四边形有关的探索题等。

　　解决特殊平行四边形的有关问题，除了要运用各自的概念、性质等知识外，往往还要灵活运用有关知识，如直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形的有关知识。

　　例6.如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=17，∠C=70°，∠B=55°，求DC的长。

　　分析：

要求DC的长，可考虑将DC移到一个三角形内去解决，此三角形应与已知条件相联系，故可过点D作DE∥AB，再在△DEC中求DC。

　　解：

过D作DE∥AB交BC于E，则∠DEC=∠B=55°，故∠CDE=55°，故DC=EC=BC-BE，又AD∥BC，AB∥DE，故BE=AD=8，又BC=17，故DC=17-8=9

　　点评：

过上底端点作腰的平行线是梯形的一种常用辅助线的作法，通过这种方法将梯形分割成平行四边形和三角形，从而可利用平行四边形的性质将分散的线段相对集中。

　　与梯形有关的问题

　　这类问题主要有如下几种类型：

（1）求腰长或面积；

（2）求角的度数；

　　（3）证明一个四边形是梯形或等腰梯形或直角梯形，其中以等腰形为重点。

　　解决梯形问题的基本思路是：

梯形问题

三角形或平行四边形问题，这种思路常常通过平移或旋转来实现。

　　三、易错点提示：

　　1.使用勾股定理时要分清直角边和斜边

　　例1.在△ABC中，已知∠B=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=6，b=8，求c的长。

　　错解：

∵△ABC为Rt△

　　剖析：

由∠B=90°和b是斜边，而非思维定势中的∠C=90°，因此我们一般先定直角，再由它列公式，最后代入计算

　　正确：

∵Rt△ABC中，∠B=90°

　　2.注意分类讨论

　　例2.已知三角形的两边分别为3和4，若这个三角形为Rt△，求第三边的周长

　　解：

设第三边的长为x

（1）当x为斜边时，x2=32+42

　　解得x=5

（2）当x为直角边时，42=32+x2

　　解得

　　3.探究性问题

　　例3.矩形和菱形以其特殊的对称美而备受人们的喜爱，因此，墙砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多，如图7，是一块长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，E、F、G、H分别是BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备铺这种瓷砖，试问：

（1）这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？

（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？

其中有花纹的菱形是多少个？

　　分析：

（1）计算所用瓷砖的块数实际上是有关图形面积的计算问题；

（2）求菱形的个数问题是图案的设计组合问题，可通过画图，再用分类讨论和数形结合的思想来解决。

　　解：

（1）因墙壁总面积为4.2×2.8=11.76（m2），

　　每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2）

　　故最少要这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）；

（2）因每相邻4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，又4.2÷0.3=14,2.8÷0.2=14，

　　故墙壁上共铺瓷砖14行14列，有花纹的菱形是13×13=169（个），

　　同时白色菱形的个数与瓷砖块数相同，有196个，故面积相等的菱形共有169+196=365（个）

　　点评：

解答这类问题要善于观察图形的组合特点，找出其组合规律，再灵活运用有关的数学思想方法使问题获解。