浙教版初中数学教案九年级下第一章.docx
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浙教版初中数学教案九年级下第一章
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）
1.1锐角三角函数
（1）
教学目标：
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：
sinA=，cosA=，
重点和难点
重点：
三角函数定义的理解。
难点：
直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
【教学过程】
一、情境导入
如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?
如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC和A′C′相等吗？
AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？
------导出新课
二、新课教学
1、合作探究
（1）作
2、三角函数的定义
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=
∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
注意：
sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。
师：
根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：
（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：
独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：
0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
巩固练习：
课本第6页课内练习T1、作业题T1、2
3、例题教学：
课本第5页中例1.
例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.
分析：
由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
师：
观察以上计算结果,你发现了什么?
明确：
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、课堂练习：
课本第6页课内练习T2、3，作业题T3、4、5、6
三、课堂小结：
谈谈今天的收获
1、内容总结
（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则
∠α的正弦，∠α的余弦，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中,当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业：
练习卷
1.1锐角三角函数
（2）
教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
（二）思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
（三）情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：
①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
（用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法）
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：
30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，（2CD）2＝CD2+a2.
CD＝a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?
它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢?
你是怎样得到的?
与同伴交流.
[生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a（如图所示），根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
[师]cos30°等于多少?
tan30°呢?
[生]cos30°＝.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?
你是如何得到的?
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,
cos60°=,
tan60°＝.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：
一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos（90°-60°）＝cos30°=cos60°=sin（90°-
60°）=sin30°=.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.（如图）设其中一
条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=,
cos45°＝,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表（用多媒体演示）
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角
sinα
coα
tanα
30°
45°
1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢?
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解（多媒体演示）
[例1]计算：
（1）sin30°+cos45°；
（2）sin260°+cos260°-tan45°.
分析：
本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示（sin60°）2，cos260°表示
（cos60°）2.
解：
（1）sin30°+cos45°=,
（2）sin260°+cos260°-tan45°
=（）2+（）2-1
=+-1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）
分析：
引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：
根据题意（如图）
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165（m）.
∴AC＝2.5-2.165≈0.34（m）.
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
（1）sin60°-tan45°；
（2）cos60°+tan60°；
（3）sin45°+sin60°-2cos45°.
解：
（1）原式＝-1=；
（2）原式=+=
（3）原式=×+×；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?
解：
扶梯的长度为=14（m），
所以扶梯的长度为14m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
（1）探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；
tan30°=，tan45°＝1，tan60°=.
（2）能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
（3）能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
练习卷
Ⅵ.活动与探究
（2003年甘肃）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?
（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE（甲楼）.在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84（m）.
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2（m）.
备课参考资料
参考练习
1.计算：
.
答案：
3-
2.计算：
（+1）-1+2sin30°-
答案：
-
3.计算：
（1+）0-｜1-sin30°｜1+（）-1.
答案：
4.计算：
sin60°+
答案：
-
5.计算；2-3-（+π）0-cos60°-.
答案：
-
1.2有关三角函数的计算
（1）
教学目标：
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
教学重点：
教学难点：
教学过程
一、由问题引入新课
问题：
小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高?
（精确到1米）
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的长。
（待同学回答后老师再给予解答）
在上节课，我们学习了30°、45°、60°的三角函数值，假如把上题的∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢?
揭示课题：
已知锐角求三角函数值
二、用计算器求任意锐角的三角函数值
1、同种计算器的学生组成一个学习小组，共同探讨计算器的按键方法。
教师巡视指导。
2、练一练：
（1）求下列三角函数值：
sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，
Tan18°31′
（2）计算下列各式：
Sin25°+cos65°;sin36°·cos72°;tan56°·tan34°
3、例1如图,在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，
已知ＡＢ＝１２cm，∠Ａ＝３５０，
求△ＡＢＣ的周长和面积.
（周长精确到０.１cm，面积保留３个有效数字）
4、做一做：
求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接：
（2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″
问：
当α为锐角时，各类三角函数值随着角度的
增大而做怎样的变化?
小结：
Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大；
Cosα随着锐角α的增大而减小．
三、课堂练习
课本第12页作业题第5、6题．
这两题实际上已经牵涉到解直角三角形的有关知识，为此在引导学生寻找解决方法时着重时根据已知条件适当选用函数关系式。
四、小结
1．我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值
2．我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题．
五、作业：
练习卷
1.2有关三角函数的计算
（2）
教学目标：
1、会用计算器求由锐角三角函数值求锐角。
2、会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
教学重点：
会用计算器求由锐角三角函数值求锐角
教学难点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学过程：
一、创设情景，引入新课
如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
如图,在Rt△ABC中,那么∠A是多少度呢?
要解决这问题,我们可以借助科学计算器.怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角？
这就是我们这节课要解决的问题。
（板书课题）
二、进行新课，探究新知
1、已知三角函数值求角度,要用到键的第二功能和键.
例如
按键的顺序1
按键的顺序2
显示结果
∠A的值
SinA=0.9816
ShiftSin0.9816=
2ndfSin0.9816=
Sin-1=0.9816
=78.99184039
∠A≈78.99184039°
CosA=0.8607
ShiftCos0.8607=
2ndfCos0.8607=
coS-1=0.8607
=30.60473007
∠A≈30.60473007°
tanA=0.1890
Shifttan0.1890=
2ndftan0.1890=
tan-1=0.1890
=10.70265749
∠A≈10.70265749°
tanA=56.78
Shifttan56.78=
2ndftan56.78=
tan-1=56.78
=88.99102049
∠A≈88.99102049°
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
2、如果再按“度分秒键”，就换成度分秒
例如
按键的顺序1
按键的顺序2
显示结果
∠B的值
SinB=0.4511
ShiftSin0.4511=
°
2ndfSin0.4511=
2ndfD°M′S′
Sin-1=0.4511
=26°48′51.41″
∠B≈26°48′51″
CosB=0.7857
ShiftCos0.7857=
°
2ndfCos0.7857=
2ndfD°M′S′
coS-1=0.7857
=38°12′52.32″
∠B≈38°12′52″
tanB=1.4036
Shifttan1.4036=°
2ndftan1.4036=
2ndfD°M′S′
tan-1=1.4036
=54°31′54.8″
∠B≈54°31′55″
3、练一练：
课本第14页第1、2题
4、讲解例题
例1如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角（∠ACB）的大小（结果精确到10）.
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.
∴V型角的大小约550.
例2、一段公路弯道呈圆忽形,测得弯道AB两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）
分析：
因为弧AB的半径已知，根据弧长计算公式，要求弯道
弧AB的长，只要求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数。
作
OC⊥AB，垂足为C，则OC平分∠AOB，在Rt△OCB中，
BC=12AB=100m，OB=1000m，于是有Sin∠BOC=110。
利用计算器求出
∠BOC的度数，就能求出∠AOB的度数。
请同学们自己完成本例的求解过程。
5、练习：
（1）解决引例
（2）一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
（3）第14页课内练习第3题
三、课堂小结：
1、由锐角的三角函数值反求锐角，该注意什么？
2、填表:
已知一个角的三角函数值,求这个角的度数（逆向思维）
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
四、布置作业：
练习卷
1.3解直角三角形
（1）
教学目标：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点和难点：
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、引入
1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和倾角a吗？
变：
已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.
二、新课
1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
问：
在三角形中共有几个元素？
问：
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间关系：
a2+b2=c2（勾股定理）
（2）锐角之间关系∠A+∠B=90°．
（3）边角之间关系
2、例1：
如图1—16，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，AB=3。
求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
3、练习1:
P161、2
4、例2：
（引入题中）已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的设计高度h为3.5m，（或设计倾角a）（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和倾角a。
（长度精确到0.1米,角度精确到1度）
5、练:
如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
说明：
本题是已知一边,一锐角.
6、温馨提示：
▲在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
▲解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
（两个已知元素中至少有一条边）
7、 你会求吗？
课本P17作业题
三、小结：
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素．
四、布置作业：
练习卷
1.3解直角三角形
（2）
教学目标
1、了解测量中坡度、坡角的概念；
2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：
有关坡度的计算
教学难点：
构造直角三角形的思路。
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?
显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A。
从图形可以看出，
＞
，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i＝
，坡度通常用l：
m的形式，例如上图中的1：
2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。
（精确到0.1米）
分析：
四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
（i＝CE:
ED，单位米，结果保留根号）
三、练习
课本第19页课内练习。
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业：
1.3解直角三角形（3）
教学目标：
1、进一步掌握解直角三角形的方法；
2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；
3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：
解直角三角形在测量方面的应用；
教学难点：
选用恰当的直角三角形，解题思路分析。
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线（眼睛与旗杆顶端的连线）与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢?
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：
因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已
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