第7讲巧数图形.docx

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第7讲巧数图形

第讲巧数图形

戴氏语录：

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

 ——华罗庚

知识要点

同学们，你想学会数图形的方法吗？

要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

第一环节-----复习乘除法计算

19×7=11×9=

75÷5= 66÷3=          

趣味引入：

数一数图中有西红柿的正方形有几个？

这样想：

先数单个正方形，有西红柿的正方形有1个。

再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4个。

最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个。

所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6个。

第二个环节----基础训练

精讲精练

【例题1】数出下图中有多少条线段？

【思路导航】方法一：

我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A点为左端点的线段有：

AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：

BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：

CD1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。

方法二：

把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：

AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:

AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：

AD1条。

所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。

练习1：

数出下图中有多少条线段？

【例题2】数出图中有几个角？

【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：

以OA为一边的角有：

∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：

∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：

∠COD1个。

所以，图中共有角3+2+1=6（个）。

方法二：

把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：

∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成的角有:

∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：

∠AOD1个。

所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。

练习2：

数出图中有几个角？

（1）

（2）

例题3】数出右图中共有多少个三角形？

【思路导航】方法一：

我们可以采用按边分类数的方法。

以PA为边的三角形有：

△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：

△PBC、△PBD2个；以PC为边的三角形还有：

△PCD1个。

所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。

方法二：

把图中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：

△PAB、△PBC、△PCD3个；由2个基本三角形构成的三角形有:

△PAC、△PBD2个；由3个基本三角形构成的三角形有：

△PAD1个。

所以，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。

方法三：

我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。

所以图中共有6个三角形。

练习3：

数出图中共有多少个三角形？

第三个环节------能力提升

【例题4】数出下图中有多少个长方形？

（1）

（2）

【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。

它的计算公式为：

长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数

（3+2+1）×（2+1）=18（个）答：

图中共有18个长方形。

第三个环节-----在实际生活中的应用

【例题5】有6个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？

【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。

练习5：

（锦江外国语小学三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？

课后作业反馈：

一、数线段

（）条线段（）条线段

二、

数三角形

（）个三角形（）个三角形

三、数长方形

（）个长方形

（）个长方形

（）个长方形

小结；

一．数线段

基本线段数

  线段总条数

    ……     ……     ……     ……

二、数角

分析与解：

通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O点这一共同端点。

如果我们按照一定的顺序数，就会发现：

以射线OA为角的一边的角有：

∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOF共5个；

以射线OB为角的一边的角有：

∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个；（不包括已经数过的∠AOB，即数过的不算，下同）

以射线OC为角的一边的角有：

∠COD，∠COE，∠COF共3个；

以射线OD为角的一边的角有：

∠DOE，∠DOF共2个；

以射线OE为角的一边的角有：

∠EOF 1个.

角的总数：

5+4+3+2+1＝15（个）.

数的过程用图示法表示如下：

想一想：

①由例2可知：

由一点引出6条射线，所组成的角的总数为：

5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：

（见下图）

由一点引出的两条射线组成1个角：

由一点引出的三条射线组成2+1=3个角：

由一点引出的四条射线组成3+2+1=6个角：

由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10个角：

　　……       ……       ……      ……

还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：

角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。

②与数线段有类似的地方，即为：

如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角，那么角的总数也是从1开始的一串连续自然数之和，而其中最大的自然数等于基本角个数.

注意，例1和例2的情况极其相似。

虽然例1是关于线段的，例2是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。

同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。