数同步精致讲义选修11北师大第一章 常用逻辑用语1 Word含答案.docx

数同步精致讲义选修11北师大第一章 常用逻辑用语1 Word含答案.docx

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数同步精致讲义选修11北师大第一章常用逻辑用语1Word含答案

§1　命题

学习目标　1.了解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．

知识点一　命题的概念及命题的形式

思考　给出下列语句：

①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

②3＋6＝7；

③偶函数的图像关于y轴对称；

④5能被4整除．

请你找出上述语句的共同特点．

★答案★　上述语句有两个特点：

①都是陈述句；②能够判断真假．

梳理　

（1）定义

可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．

（2）分类

①真命题：

判断为真的语句叫作真命题；

②假命题：

判断为假的语句叫作假命题．

（3）命题的形式：

“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.

由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．

知识点二　四种命题

思考　给出以下四个命题：

（1）若x＝2，则x2－3x＋2＝0；

（2）若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

（3）若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

（4）若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

你能说出命题

（1）与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

★答案★　命题

（1）的条件和结论与命题

（2）的条件和结论恰好互换了．命题

（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题

（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

梳理　一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题．

如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题．

如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题．

把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

知识点三　四种命题的关系及其真假判断

思考　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？

它的否命题呢？

它的逆否命题呢？

★答案★　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．

梳理　

（1）四种命题的相互关系

（2）在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

（3）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．

（4）四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.

1．有些命题的真假性不能确定．（　×　）

2．有的命题没有逆命题．（　×　）

3．原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．（　√　）

类型一　命题的概念

例1　下列语句：

（1）

是无限循环小数；

（2）x2－3x＋2＝0；

（3）当x＝4时，2x>0；

（4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（5）一个正整数不是合数就是素数；

（6）作△ABC≌△A′B′C′；

（7）二次函数的图像太美了！

（8）4是集合{1,2,3}中的元素．

其中是命题的是________．（填序号）

考点　命题的概念及分类

题点　命题概念的理解

★答案★　

（1）（3）（5）（8）

解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：

看能否判断真假．

（1）是命题，能判断真假；

（2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；（3）是命题；（4）不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；（5）是命题；（6）不是命题；（7）不是命题；（8）是命题．故★答案★为

（1）（3）（5）（8）．

反思与感悟　一般地，判断一个语句是不是命题，要看这个语句能不能判断真假．

跟踪训练1　判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．

（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；

（3）当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；

（4）1＋2＋3＋…＋2014；

（5）这盆花长得太好了！

考点　命题的概念及分类

题点　命题概念的理解

解　

（1）（4）（5）未涉及真假，都不是命题．

（2）是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边．”

（3）是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．

类型二　四种命题及其相互关系

命题角度1　四种命题的概念

例2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

（3）若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

（4）在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

解　

（1）逆命题：

若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．

否命题：

若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．

逆否命题：

若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．

（2）逆命题：

若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．

否命题：

若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．

逆否命题：

若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．

（3）逆命题：

若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．

否命题：

若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．

逆否命题：

若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．

（4）逆命题：

在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．

否命题：

在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．

逆否命题：

在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．

反思与感悟　四种命题的转换方法

（1）交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

跟踪训练2　分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

（1）若ab＝0，则a＝0；

（2）已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

解　

（1）逆命题：

若a＝0，则ab＝0，真命题．

否命题：

若ab≠0，则a≠0，真命题．

逆否命题：

若a≠0，则ab≠0，假命题．

（2）逆命题：

已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．

否命题：

已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．

逆否命题：

已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．

命题角度2　四种命题的相互关系

例3　若命题p：

“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是（　　）

A．互为逆命题

B．互为否命题

C．互为逆否命题

D．同一命题

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

★答案★　B

解析　已知命题p：

若x＋y＝0，则x，y互为相反数．

命题p的否命题q：

若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r：

若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B.

反思与感悟　1.判断四种命题之间四种关系的两种方法

（1）利用四种命题的定义判断．

（2）巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

2．要判断四种命题的真假：

首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

跟踪训练3　有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②一个实数不是正数就是负数；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　四种命题的概念及真假判断的综合应用

★答案★　1

解析　①“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，是真命题．

②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题．

③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，

解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，

而x＝4>－3不是不等式的解，

故是假命题．

④“相等的角是同位角”，是假命题．

类型三　等价命题的应用

例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

解　方法一　原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

>1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究　

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假．

解　先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7<0，

所以a<

.

所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练4　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1

＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.

1．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是（　　）

A．若x>1，则x≤－1

B．若x≤1，则x>－1

C．若x≤1，则x≤－1

D．若x<1，则x<－1

考点　四种命题概念的理解

题点　四种命题概念的理解

★答案★　C

解析　原命题的否命题是对条件“x>1”和结论“x>－1”同时否定，

即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.

2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（　　）

A．两个平面

B．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

考点　命题的概念及分类

题点　命题的结构

★答案★　D

解析　只要分清命题中的条件和结论即可．

3．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（　　）

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数

B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

★答案★　B

解析　否命题是既否定条件又否定结论．

因此否命题应为“若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数”．

4．命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．2

C．3D．4

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”是假命题，

则其逆否命题是假命题．

该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b（a，b，c∈R）”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.

5．给出以下命题：

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．（填序号）

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　①③

解析　①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题．

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．

③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．

1．可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．

3．写四种命题时，可以按下列步骤进行

（1）找出命题的条件p和结论q.

（2）写出条件p的否定和结论q的否定．

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

考点　命题的概念及分类

题点　命题真假性的判断

★答案★　D

解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.

2．给出下列三个命题：

（　　）

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②“若lgx2＝0，则x＝－1”的逆命题；

③“若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.

3．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是（　　）

A．真命题，否命题：

“若ab>0，则a>0或b>0”

B．真命题，否命题：

“若ab>0，则a>0且b>0”

C．假命题，否命题：

“若ab>0，则a>0或b>0”

D．假命题，否命题：

“若ab>0，则a>0且b>0”

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

★答案★　B

解析　“若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题．已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”．

4．下列命题中为真命题的是（　　）

A．“若x>2016，则x>0”的逆命题

B．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题

C．若x2＋x－2＝0，则x＝1

D．“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　A选项，“若x>2016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．

5．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥

”的否命题是（　　）

A．若a2＋b2<

，则a＋b≠1

B．若a＋b＝1，则a2＋b2<

C．若a＋b≠1，则a2＋b2<

D．若a2＋b2≥

，则a＋b＝1

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

★答案★　C

解析　“a＋b＝1”，“a2＋b2≥

”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2<

”，故否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2<

”．

6．有下列三个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a2

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．③④

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　C

解析　命题①：

“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：

“若a2≥b2，则a≥b”是假命题；命题③：

“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．

7．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．

该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.

8．原命题为“△ABC中，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．真，假，假

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　若cosA<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cosA>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.

9．已知命题p：

若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是（　　）

A．命题p是真命题

B．命题p的逆命题是真命题

C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”

D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　B

解析　若a＝－2，则（－2）2>1，∴命题p为假命题，

∴A不正确；

命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，

∴B正确；

命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；

命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．

故选B.

二、填空题

10．已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

★答案★　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2

解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．

11．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　1

解析　原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故★答案★为1.

12．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；

②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．

其中真命题的序号是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　四种命题的概念及真假判断的综合应用

★答案★　①②④

解析　①∵Δ＝4－4（－k）＝4＋4k>0，

∴①是真命题．

②其逆否命题为真，故②是真命题．

③逆命题：

“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．

④否命题：

“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．

三、解答题

13．判断命题：

“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

解　方法一　因为原命题与逆否命题真假性一致，

所以只需判断原命题的真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为b≤－1，所以Δ≥4>0，

故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二　（利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，

所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

四、探究与拓展

14．命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

★答案★　1

解析　a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得（a＋b－1）（a＋b＋2）≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.

命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题为“若a＋b≠1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“若a＋b＝1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，为真命题．

15．设m，n∈R，证明：

若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

证明　将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，

则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥

（m＋n）2＞

×22＝2.

所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．