最新数学中考复习专题直角三角形.docx
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最新数学中考复习专题直角三角形
.
《2017-2018中考数学复习专题
-直角三角形》
一．选择题（每小题3分，共计36分）
1．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（）
A．45°B．135°C．45°或135°D．由两个锐角的大小决定
2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（）
A．5B．C．5或D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（）
A．BC=2B．BD=1C．AD=3D．CD=2
4．将一副三角板按如图所示方式放置，则∠1与∠2的和是（）
A．60°B．45°C．30°D．25°
第3题图第4题图第5题图
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，
若∠A=25°，则∠BDC等于（）
A．44°B．60°C．67°D．70°
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的
长为（）
A．5B．6C．8D．10
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点
F，AC=4，则EF的最小值是（）
A．4B．4C．2D．2
第6题图第7题图第8题图
.
.
8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：
①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．下列条件：
（1）∠A+∠B=∠C，
（2）∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，（3）∠A=90°﹣∠B，（4）
∠A=∠B=∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个．
A．1B．2C．3D．4
10．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方
形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）
A．1B．2C．3D．4
11．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1
得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2⋯依此法继续作下去，得OP2017=
A．B．C．D．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，
以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯按照此规律继
续下去，则S2016
的值为（
）
A．（）2013
B．（
）2014
C．（）2013
D．（）2014
第11题图第12题图
.
.
《2017-2018中考数学复习专题
-直角三角形》
题号123456789101112
答案
二．填空题（每小题4分，共计24分）
13．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则
BC的长度为．
第13题图第14题图第15题图
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，BD是高，则BD的长为．
16．如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地
的面积为m2．
17．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如
果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，徐亚爬行的最短距离是cm．
第16题图
第17题图
18．观察一下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13
；
③7，24，25
；
④9，40，41
；⋯
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：
，第n（n为正整数）组勾股数：
．
.
.
三．解答题（共7小题，共计60分）
19．（8分）如图，在△ABCC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．
求证：
∠1=∠2．
20．（8分）已知：
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：
（1）MD=MB；
（2）MN平分∠DMB．
.
.
22．（8分）如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
23．（8分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．
.
.
24．（10分）如图：
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图1，若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF．求证：
①△AED≌△CFD；②△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，点F、E分别D在CA、AB的延长线上，且AE=CF，猜想△DEF是否为等腰直角三角形？
如果是请给出证明．
25．（10分）已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：
AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
.
.
《中考专题---直角三角形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（）
A．45°B．135°
C．45°或135°D．由两个锐角的大小决定
【解答】解：
如图，∠ACB=90°，OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，
∵OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠OAB=BAC，∠OBA=∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°﹣45°=135°，
∴直角三角形的两个锐角平分线的夹角是135°或45°．
故选C．
2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（）
A．5B．C．5或D．不能确定
【解答】解：
当x为斜边时，x==5；
当4为斜边时，x==．
.
.
∴x的值为5或；
故选：
C．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不
正确的是（）
A．BC=2B．BD=1C．AD=3D．CD=2
【解答】解：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=2，
∵CD⊥AB，
∴CD＜AB，即CD＜2，
则CD=2错误，故选：
D．
4．将一副三角板按如图所示方式放置，则∠1与∠2的和是（）
A．60°B．45°C．30°D．25°
【解答】解：
∵图中是一副直角三角板，
∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=∠EDF=90°，∠E=30°，∠F=60°，
∴∠BCA+∠BAC=45°+90°=135°．
∵∠EDF=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠1+∠2=（∠BCA+∠BAC）﹣（∠DCA+∠DAC）=135°﹣90°=45°．
故选B．
.
.
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的
点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（）
A．44°B．60°C．67°D．70°
【解答】解：
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣∠A=65°，
由折叠的性质可得：
∠CED=∠B=65°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=40°，
∴∠BDC=（180°﹣∠ADE）=70°．
故选D．
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线
段BD的长为（）
A．5B．6C．8D．10
【解答】解：
∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB=2DE=2×5=10，
∴在Rt△ABD中，
BD==8．
.
.
故选C．
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，
DF⊥BC于点F，AC=4，则EF的最小值是（）
A．4B．4C．2D．2
【解答】解：
连接DC．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴EF=DC，
∴当DC最小时，EF也最小，即当CD⊥AB时，PC最小，
∵AC=BC=4，
∴AB=4，
∴AC?
BC=AB?
DC，
∴DC=2．
∴线段EF长的最小值为2；
故选C．
8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个
.
.
结论：
①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：
∵AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∴①正确；
∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°
∴∠BPE=∠APF，又AP为公共边，
∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正确；②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正确，
∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正确所以①②③④都正确，故选A．
9．下列条件：
（1）∠A+∠B=∠C，
（2）∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，（3）∠A=90°
﹣∠B，（4）∠A=∠B=∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）
个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
A是，因为根据三角形内角和定理可求出∠C=90°，所以是直角三
角形；
B是，因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以是直
角三角形；
C是，因为由题意得∠C=90°，所以是直角三角形；
D是，因为根据三角形内角和定理可求出∠C=90°，所以是直角三角形．
故选D．
10．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三
角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）
.
.
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
综上，可得
面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
.
.
故选：
D．
11．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过点P1作P1P2⊥
OP1且P1P2=1，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2⋯依此法
继续作下去，得OP2017=（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
∵OP=1，OP1
=
，2
，3
，
OP=
OP=
=2
∴OP4=
=
，
⋯，
OP2017=
．
故选：
D．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为
S2，⋯按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（）2013B．（）2014C．（）2013D．（）2014
【解答】解：
在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
2
2
2
，DE=CE，
∴DE+CE
=CD
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：
S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，⋯，
.
.
∴Sn=．
当n=2016时，S2016==．
故选C．
二．填空题（共6小题）
13．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=4．
【解答】解：
作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF∥OB，∠AOE=∠BOE=15°
∴∠OEF=∠COE=15°，EG=CE=2，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∴EF=2EG=4．
故答案为：
4．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，
AE=8，则BC的长度为2．
.
.
【解答】解：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D为AB中点，
∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，
∴BE=
=6．
∴BC=
=
=2，
故答案为：
2
．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，BD是高，则BD的长为9.6．
【解答】解：
设AD=x，
2222
由勾股定理得，AB﹣AD=BC﹣CD，
即102﹣x2=122﹣（10﹣x）2，解得，x=2.8，
BD==9.6，
故答案为：
9.6．
16．如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为96m2．
.
.
【解答】解：
如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，
∴AC=15m，
2
2
2
+20
2
2
2
又∵AC+BC=15
=25=AB，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=
×15×20﹣×9×12=96（平
方米）．
故答案为：
96．
17．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，徐亚爬行的最短距离是25
cm．
【解答】解：
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个
长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
.
.
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第
2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3
个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=；
∵25＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：
25
.
.
18．观察一下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；⋯
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：
11，60，61，
第n（n为正整数）组勾股数：
2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．【解答】解：
∵①3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，②5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
③7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，⋯，∴第n组勾股数为：
2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，
∴第⑤组勾股数为2×5+1=11，2×5×（5+1）=60，2×5×（5+1）+1=61，即
11，60，61．
故答案为：
11，60，61；2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在△ABCC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：
∠1=∠2．
【解答】证明：
∵AF是角平分线，
∴∠CAF=∠BAF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2=90°，∠BAF+∠AED=90°，
∴∠2=∠AED，
∵∠1=∠AED，
.
.
∴∠1=∠2．
20．已知：
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
【解答】解：
连接AD，
∵ED是AB的垂直平分线，∴DB=DA=4cm，
∵∠B=30°，
∴∠ADC=2∠B=60°，∴∠DAC=30°，
∴DC=2，
∵在△ABC中，∠C=90°∴由勾股定理得：
AC=2cm．
21．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，
求证：
（1）MD=MB；
（2）MN平分∠DMB．
.
.
【解答】证明：
（1）∵，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴MD=MB；
（2）∵MD=MB，N是BD的中点，
∴MN平分∠DMB（等腰三角形三线合一）．
22．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：
Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），
2
2
2
，
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF=CE
+CF
即（8﹣x）2=x2+42，
.
.
∴64﹣16x+x2=x2+16，
∴x=3（cm），
即CE=3cm．
23．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且
BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．
【解答】解：
△APQ是等腰直角三角形．
∵BE、CF都是△ABC的高，
∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）
∴∠1=∠2
又∵AC=BP，CQ=AB，
在△ACQ和△PBA中
，
∴△ACQ≌△PBA
∴AQ=AP，
∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°
∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°
∴AQ⊥AP
∴△APQ是等腰直角三角形
.
.
24．如图：
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图1，若E、F分别是A
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