一线三等角专题训练.doc

一线三等角专题训练.doc

《一线三等角专题训练.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一线三等角专题训练.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

一线三等角问题

一、问题引入

如图，中，，，过D作交BC延长线与E。

求证：

△ABC∽△CED

其他常见的一线三等角图形

（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）

（直角坐标系中一线三等角）（矩形，正方形中一线三等角）

（1）等腰三角形中一线三等角

例1、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：

△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

（备用图）

（1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；

（2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。

变式练习1就是这类题型；

（3、第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点；

（4、在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

变式练习1（浦东新区22题）

如图，已知等边△的边长为8，点、、分别在边、、上，，为中

点，当△与△相似时，求的值.

变式练习2（宝山22题）

如图6，已知Δ中，,点、在边上，满足∠=∠.求证：

；

（图6）

（2）等腰梯形中一线三等角

例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形中，∥，，，∠，直角三角板含45度角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点.若△为等腰三角形，则的长等于.

\

例3（徐汇区25）．如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．

（1）求证：

△∽△；

（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；

（3）若，求的长．

例4、（杨浦区基础考）四边形中，∥，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，．

（1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系；

（2）随着点的运动，

（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？

若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于

（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围；

（3）若cos=，试用的代数式表示．

（3）坐标系中一线三等角

例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线：

分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，是轴上的一点，，过作轴交于，连接，当动点在线段上运动（不与点点重合）且时

（1）求证：

∽；

（2）求线段的长（用的代数式表示）；

（3）若直线的方程是，求的值．

变式练习3、在平面直角坐标系XOY中，的位置如图所示，已知,点A的坐标为

（1）求点B的坐标；

（2）若抛物线经过A、O、B三点，求函数解析式。

（4）矩形中一线三等角

例6、（长宁区24题）．如图，在矩形中，，，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点．

（1）判断△与△一定相似吗？

请证明你的结论；

（2）设，，求与的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）是否存在这样的点，是△周长等于△周长的2倍？

若存在，请求出的长度；若不存在，

请简要说明理由．

一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目

（徐汇24）如图，等腰梯形中，，=2，=8，．

的顶点在边上移动，一条边始终经过点，另一边与交于点，联接AF．

（1）设，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）若为等腰三角形，求出的长．

备用图

（虹口期中24）梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD=5，AD=3.5，sinB=,E在AB边上，BE=3，P是BC上动点，联结EP做∠EPF=∠B.射线PF与AD边交于F，与CD的延长线交于G，设BP=x，DF=y

（1）求BC的长。

（2）求y与x的函数关系式及其定义域。

（3）联结EF，如果△PEF是等腰三角形，求BP的长。