货币时间价值的计算.docx
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货币时间价值的计算
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货币时间价值的计算
货币时间价值的计算
（二）单利的终值与现值
在时间价值计算中，经常使用以下符号：
P本金，又称现值；
i利率，通常指每年利息与本金之比；
I利息；
F本金与利息之和，又称本利和或终值；
n期数
1、单利终值
单利终值的计算可依照如下计算公式：
F=P+P·i·n
=P（1+i·n）
【例1】某人现在存入银行1000元，利率为5%，3年后取出，问：
在单利方式下，3年后取出多少钱
F=1000×（1+3×5%）=1150（元）
在计算利息时，除非特别指明，给出的利率是指年利率。
对于不足1年的利息，以1年等于360天来折算。
2、单利现值
单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值称为折现。
将单利终值计算公式变形，即得单利现值的计算公式为：
P=F/（1+i·n）
【例2】某人希望在3年后取得本利和1150元，用以支付一笔款项，已知银行存款利率为5%，则在单利方式下，此人现在需存入银行多少钱
P=1150/（1+3×5%）=1000（元）
（三）复利的终值与现值
1、复利终值
复利终值是指一定量的本金按复利计算的若干期后的本利和。
若某人将P元存放于银行，年利率为i，则：
第一年的本利和为：
F=P+P·i=P·（1+i）
第二年的本利和为：
F=P·（1+i）·（1+i）=P·
第三年的本利和为：
F=P·
·（1+i）=P·
第n年的本利和为：
F=P·
式中
通常称为复利终值系数，用符号（F/P,i,n）表示。
如（F/P,7%,5）表示利率为7%，5期复利终值的系数。
复利终值系数可以通过查阅“1元复利终值系数表”直接获得。
【例3】某人现在存入本金2000元，年利率为7%，5年后的复利终值为：
F=2000×（F/P,7%,5）=2000×=2806（元）
2、复利现值
复利现值是复利终值的逆运算，它是指今后某一特定时间收到或付出一笔款项，按复利计算的相当于现在的价值。
其计算公式为：
P=F·
式中
通常称为复利现值系数，用符号（P/F,i,n）表示。
可以直接查阅“1元复利现值系数表”
【例4】某项投资4年后可得收益40000元，按利率6%计算，其复利现值应为：
p=40000×（P/F,6%,4）=40000×=31680（元）
（四）年金的终值与现值
年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，即如果每次收付的金额相等，则这样的系列收付款项便称为年金，通常记作A。
年金的形式多种多样，如保险费、折旧、租金、等额分期收付款以及零存整取或整存零取储蓄等等，都存在年金问题。
年金终值是指一定时期内每期等额发生款项的复利终值的累加和。
年金现值是指一定时期内每期等额发生款项的复利现值的累加和。
年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。
1、普通年金的终值与现值
普通年金是指一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称后付年金。
如图2-1所示：
AAAAA
图2-1
（1）普通年金终值
由年金终值的定义可知，普通年金终值的计算公式为：
F=
……
根据等比数列前n项和公式Sn＝
整理可得：
F ＝ A·
其中，
通常称为年金终值系数，记作（F/A，i，n）,可以直接查阅“1元年金终值系数表”
【例5】某企业准备在今后6年内，每年年末从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金
F=50000×（F/A,6%,6）=50000×=348750（元）
【例6】某企业准备在6年后建造某一福利设施，届时需要资金348750元，若年利率为6%，则该企业从现在开始每年年末应存入多少钱
很明显，此例是已知年金终值F，倒求年金A，是年金终值的逆运算。
348750=A·（F/A,6%,6）
A=348750/（F/A,6%,6）=348750/=50000（元）
（2）普通年金现值
由年金现值的定义可知，普通年金现值的计算公式为：
P=
……
同样，根据等比数列前n项和公式Sn＝
整理可得：
P ＝ A·
其中，
通常称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）,可以直接查阅“1元年金现值系数表”
【例7】某企业准备在今后的8年内，每年年末发放奖金70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱
P=70000×（P/A,12%,8）=70000×=347760（元）
【例8】某企业现在存入银行347760元，准备在今后的8年内等额取出，用于发放职工奖金，若年利率为12%，问每年年末可取出多少钱
很明显，此例是已知年金现值，倒求年金A，是年金现值的逆运算。
347760=A·（P/A,12%,8）
A=347760/（P/A,12%,8）=347760/=70000（元）
2．先付年金的终值与现值
先付年金是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称即付年金。
如图2-2所示：
AAAAA
图2-2
（1）先付年金终值
将图2-2与图2-1进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。
因此，在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。
即：
F ＝ A·
·（1+i）
【例9】某企业准备在今后6年内，每年年初从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金
F=50000×（F/A,6%,6）×（1+6%）=50000××=369675（元）
（2）先付年金现值
将图2-2与图2-1进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金现值比普通年金现值多折现一期。
因此，在普通年金现值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的现值。
即：
P ＝ A·
·（1+i）
【例10】某企业准备在今后的8年内，每年年初从银行取出70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱
P=70000×（P/A,12%,8）×（1+12%）=70000××
=（元）
3、递延年金的现值
递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项。
如图2-3所示：
AAA
图2-3
递延年金是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。
一般用m表示递延期数，用n表示年金实际发生的期数，则递延年金现值的计算公式为：
P ＝
或＝
【例11】某人拟在年初存入一笔资金，以便能从第六年末起每年取出1000元，至第十年末取完。
若银行存款利率为10%，此人应在现在一次存入银行多少钱
P=1000×（P/A,10%,10）－1000×（P/A,10%,5）
=1000×－1000×
=2354（元）
或P=1000×（P/A,10%,5）·（P/F,10%,5）
=1000××
=2354（元）
4、永续年金的现值
永续年金是无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。
如图2-4所示：
AAAAA
图2-4
由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。
通过普通年金现值计算可推导出永续年金现值的计算公式为：
P=A/i
【例12】某人现在采用存本取息的方式存入银行一笔钱，希望今后无限期地每年年末能从银行取出1000元，若年利率为10%，则他现在应存入多少钱
P=1000/10%=10000（元）
（五）名义利率与实际利率的换算
上面讨论的有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次。
但实际上，复利的计息不一定是一年，有可能是季度、月份或日。
比如某些债券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；银行之间拆借资金均为每天计息一次。
当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。
对于一年内多次复利的情况，可采取两种方法计算时间价值。
第一种方法是按如下公式将名义利率调整为实际利率，然后按实际利率计算时间价值。
式中：
i实际利率
r名义利率
m每年复利次数
【例13】某企业于年初存人l0万元，年利率为10％，若每半年复利一次，到第l0年末，该企业能得本利和为多少
依题意，P=10r=10%m=2n=10
则：
=
=%
F=10×（F/P,%,10）=（万元）
这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不利于查表。
第二种方法是不计算实际利率，而是相应调整有关指标，即利率变为r/m，期数相应变为m·n
【例14】利用上例中有关数据，用第二种方法计算本利和。
F=
=10×（F/P,5%,20）=（万元）
三、时间价值计算中的几个特殊问题
（一）不等额现金流量现值的计算
【例15】略
（二）年金和不等额现金流量混合情况下的现值
【例16】教材39页。
（三）贴现率、期数的计算
1、贴现率的计算
步骤：
（1）计算系数
（2）查表
（3）采用插值法求贴现率。
【例17】略
【例18】某公司于第一年年初借款20000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续9年还清，问借款利率是多少
解：
（P/A，I，9）20000/4000=5
查n=9的年金现值系数表得：
12%
x%
i2%5
14%
I=12%+×2%=%
2、期数的计算
步骤：
（1）计算系数
（2）查表
（3）采用插值法求期数。
【例19】某企业拟购买一台柴油机，更新目前使用的汽油机，柴油机的价格比汽油机贵2000元，但每年可节约燃料费500元，若利率为10%，求柴油机至少使用多少年
解：
p=2000，A=500，I=10%
（p/A，10%，n）=2000/500=4查表得：
5
5
x
n14
6
x/1=x=n=5+=年
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