课堂新坐标教师用书高中数学 1123 四种命题 四种命题间的相互关系教案 新人教A版选修11.docx
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课堂新坐标教师用书高中数学1123四种命题四种命题间的相互关系教案新人教A版选修11
1.1.2 四种命题
1．1.3 四种命题间的相互关系
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．
2．过程与方法
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
3．情感、态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．
●重点、难点
重点：
四种命题之间相互的关系．
难点：
正确区分命题的否定形式及否命题．
通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．
（教师用书独具）
●教学建议
这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：
（1）启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；
（2）讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．
学习方法：
（1）由特殊到一般的化归方法：
学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；
（2）讲练结合法：
让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．
●教学流程
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（对应学生用书第4页）
课标解读
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．（重点）
2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．（难点）
3．利用命题真假的等价性解决简单问题．（难点，易错点）
四种命题的概念
【问题导思】
给出以下四个命题：
（1）对顶角相等；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）不是对顶角的两个角不相等；
（4）不相等的两个角不是对顶角；
1．你能说出命题
（1）与
（2）的条件与结论有什么关系吗？
【提示】 它们的条件和结论恰好互换了．
2．命题
（1）与（3）的条件与结论有什么关系？
命题
（1）与（4）呢？
【提示】 命题
（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题
（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
四种命题的关系
【问题导思】
1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？
【提示】 逆命题：
若q，则p.
否命题：
若綈p，则綈q.
逆否命题：
若綈q，则綈p.
2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？
原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？
原命题的逆命题与其否命题呢？
【提示】 互逆、互否、互为逆否．
四种命题的相互关系
四种命题的真假关系
【问题导思】
1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？
【提示】
（1）真命题，
（2）假命题，（3）假命题，（4）真命题．
2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？
它的逆否命题呢？
【提示】 原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．
1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.
（对应学生用书第5页）
四种命题的概念
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
【思路探究】
（1）原命题的条件与结论分别是什么？
（2）把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？
【自主解答】
（1）原命题：
若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．
逆命题：
若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．
否命题：
若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．
逆否命题：
若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
（2）原命题：
若x＝2，则x2－3x＋2＝0，
逆命题：
若x2－3x＋2＝0，则x＝2，
否命题：
若x≠2，则x2－3x＋2≠0，
逆否命题：
若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．
2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．
分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
（1）负数的平方是正数；
（2）若a＞b，则ac2＞bc2.
【解】
（1）原命题可以改写成：
若一个数是负数，则它的平方是正数；
逆命题：
若一个数的平方是正数，则它是负数；
否命题：
若一个数不是负数，则它的平方不是正数；
逆否命题：
若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
（2）逆命题：
若ac2＞bc2，则a＞b；
否命题：
若a≤b，则ac2≤bc2；
逆否命题：
若ac2≤bc2，则a≤b.
四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
（1）菱形的对角线互相垂直；
（2）等高的两个三角形是全等三角形；
（3）弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【思路探究】
→
→
【自主解答】
（1）逆命题：
若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．
否命题：
若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．
逆否命题：
若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．
（2）逆命题：
若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．
否命题：
若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．
逆否命题：
若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
（3）逆命题：
若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．
否命题：
若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．
逆否命题：
若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．
2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．
3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．
下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
A．①②③ B．①③
C．②③D．①
【解析】 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程x2＋x－m＝0无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－
.
故m≤0，为真命题．
故正确的命题是①，③选B.
【答案】 B
等价命题的应用
若a2＋b2＝c2，求证：
a，b，c不可能都是奇数．
【思路探究】
（1）a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？
（2）它的反面是什么？
能否考虑证它的逆否命题？
【自主解答】 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．
1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．
2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．
3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．
“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．
【解】 ∵a，x∈R，且x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集是空集．
∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＜0，
则4a－7＜0，解得a＜
.
因此a＜2，原命题是真命题．
又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.
（对应学生用书第6页）
因否定错误致误
写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．
【错解】 逆命题：
若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；
否命题：
若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．
【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．
【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．
【正解】 逆命题：
若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：
若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．
1．写出四种命题的方法：
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
2．四种命题的真假关系：
若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.
（对应学生用书第7页）
1．（2013·福州高二检测）已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥
”的否命题是（ ）
A．若a2＋b2＜
，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜
C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜
D．若a2＋b2≥
，则a＋b＝1
【解析】 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥
”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜
”，故否命题为：
“若a＋b≠1，则a2＋b2＜
”．
【答案】 C
2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ）
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题D．无关命题
【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．
【答案】 A
3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．
【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．
【答案】 当x2＋x－6≠0时，x≠2.
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
（1）若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
（2）若ab＝0，则a＝0或b＝0.
【解】
（1）逆命题：
若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；
否命题：
若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；
逆否命题：
若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．
（2）逆命题：
若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；
否命题：
若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；
逆否命题：
若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．
一、选择题
1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）
A．若p，则綈q B．若q，则綈p
C．若綈q，则pD．若綈q，则綈p
【解析】 若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．
∴“若綈q，则p”一定是真命题．
【答案】 C
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（ ）
A．互逆命题B．互否命题
C．互为逆否命题D．以上都不正确
【解析】 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．
【答案】 A
3．（2013·台州高二检测）已知命题p：
若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.
【答案】 B
4．（2013·大庆高二检测）下列判断中不正确的是（ ）
A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题
B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题
C．“已知a，b，m∈R，若am2D．“若x∈N*，则（x－1）2＞0”是假命题
【解析】 若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，
∴A正确；
B中的逆否命题：
“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．
C中的逆命题为：
“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．
D中x＝1时，（x－1）2＝0显然是假命题．故D正确．
【答案】 C
5．下列命题中，不是真命题的为（ ）
A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根”的逆否命题
B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题
C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
【解析】 A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．
【答案】 D
二、填空题
6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．
【答案】 若A∪B≠B，则A⃘B.
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴
，∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
8．（2013·菏泽高二检测）给定下列命题：
①若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解．
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x－
是有理数，则x是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．
对于④中，“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
【答案】 ①
三、解答题
9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
【解】 原命题是真命题．
逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．
否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．
逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．
10．已知命题p：
“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
（1）写出命题p的否命题；
（2）判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】
（1）命题p的否命题为：
“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
（2）命题p的否命题是真命题，证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
11．已知奇函数f（x）是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥0，求证：
a＋b≥0.
【证明】 假设a＋b＜0，则a＜－b.
∵f（x）在R上是增函数．
∴f（a）＜f（－b），又∵f（x）为奇函数．
∴f（－b）＝－f（b），∴f（a）＜－f（b）．
即f（a）＋f（b）＜0.
∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.
（教师用书独具）
判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】 ∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×（－3m）＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又∵原命题与它的逆否命题等价，
∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．
已知ad－bc＝1，求证：
a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
【证明】 设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad－2bc＋2ad＝2，
即（a＋b）2＋（b＋c）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋2ad－2bc＝2，
若（a＋b）2＋（b＋c）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；
若（a＋b）2＋（b＋c）2＋（c＋d）2＋（a－d）2≠0，
则（a＋b）2＋（b＋c）2＋（c＋d）2＋（a－d）2为正数，所以必有ad－bc＜1.
综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.
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