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三角形的中位线

教学目标:

1．知识与技能

通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。

2．过程与方法

通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。

3．通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．

教学重点、难点

1．重点：

三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。

2．难点：

证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。

教学过程

一．明确三角形中位线的概念，给出研究课题

1．我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出△ABC的中线．

（先独立完成，然后投影交流）

提问：

三角形有几条中线？

它们是什么点间的连线？

在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连结DE、DF、EF，

（稍等片刻，让学生完成操作）

提问：

这三条线段都是什么点间的连线？

这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？

（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）

我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线）

说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？

（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）

2．

提出问题

如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

（边口述，边板书）

那么请同学们观察一下，猜一猜：

中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？

3．猜想结论

为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：

我们把三角形沿中位线DE剪一刀．

试一试：

你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？

你也可以与同桌合作，共同探索，一起来拼．

（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：

你拼成的图形是平行四边形吗？

为什么？

要求同桌一起讨论）

我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）

二．推理、论证结论

1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？

（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）

命题：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

你能证明这个命题吗？

（板书）

已知：

如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．

求证：

DE∥BC，DE=1/2BC

（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）

通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，

（把命题改写成三角形中位线定理）

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．

已知：

如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC

求证：

DE∥BC，

证明：

延长DE到F，使EF=DE，连结CF，

∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF

∴△ADE≌△CFE（SAS）

AD=CF（全等三角形的对应边相等）

∠ADE=∠F（全等三角形的对应角相等）

∴AD∥CF（内错角相等，两直线平行）

∵AD=DB，∴CF=DB

所以四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

于是DF∥BC，DF=BC，即DE∥BC，DE=1/2BC。

2．练习1（投影，三个小题逐一出现）

已知：

如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点．

（1）若AB=8cm，求EF的长；

（2）若DE=5cm，求BC的长．

（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，

问MN与AC有什么关系？

为什么？

（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）

三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：

当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．

三、三角形中位线定理的应用

例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

（解答见课本）

已知：

如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC

求证：

AE、DF互相平分

证明：

连结DE、EF

∵AD=DB，BE=CE

∴DE∥AC（三角形中位线定理）

同理EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）

例2、求证：

顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。

已知：

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=

，同理GH∥=

，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。

证明：

连结AC

∵E、F是AB、BC的中点

∴EF=

，EF∥AC

同理，GH=

，GH∥AC

∴EF∥GH，EF=GH

∴四边形EFGH是平行四边形。

四、课堂练习：

P55.练习2

五、课堂小结：

菱形的判定

一、知识与技能

1．能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算．

2．会根据已知条件画出菱形．

二、过程与方法

1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神．

2．探索并掌握菱形的判定方法．

3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算．

三、情感态度与价值观

1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解，养成主动探索的学习习惯．

2．通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比的思想方法的作用．

教学重点菱形的判定方法．

教学难点探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．

教具准备多媒体课件．把中点固定在一起的两根细木条．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

想一想：

菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质？

怎样判定一个四边形是矩形？

（让学生回忆并说出菱形和矩形各自的性质，教师用对比的形式播放课件）

矩形

菱形

性

质

1．四个角都是直角

1．四条边都相等

2．对角线相等

2．对角线互相垂直

且平分一组对角

判

定

1．有一个角是直角

的平行四边形

2．三个角是直角的

四边形

3．角线相等的平

行四边形

师：

看看上表，大家可以猜到，我们就研究如何判定一个四边形是菱形的问题．

二、探究菱形的判定条件

生：

可以用菱形的定义判定．也就是说：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

师：

很好．大家再用类比的方法想一想，受矩形判定条件的启发，你对菱形的判定条件有什么猜想．

生甲：

矩形定义是平行四边形基础上限制角，于是有“三个角是直角的四边形是矩形”；菱形的定义是平行四边形基础上限制边，是不是可以得到：

“四条边都相等的四边形是菱形”呢？

生乙：

矩形的对角线相等，于是有对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的对角线互相垂直，是不是可以猜想：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

师：

猜得有理．下面请大家做一做，看有什么新发现．

操作要求：

用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如图

（1）），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

学生活动：

通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．

生甲：

将中点固定在一起，说明对角线互相平分，所以这是一个平行四边形．

生乙：

转动十字架，变成菱形时，看起来对角线要互相垂直．

生丙：

那就是说对角线垂直的平行四边形是菱形．

生乙：

我觉得也可以说成：

对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

生甲：

是的，这两种说法都对．对角线平分能得到平行四边形嘛．

师：

同学们的研究和分析合情合理，能不能证明这个命题呢？

生：

能：

如图

（1）（b）

△AOB≌△AOD

AB=AD．

又四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

师：

大家做得很好．这样，我们就得到了一个变形的判定定理．

判定定理1：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

推论：

对角线互相垂直，平分的四边形的是菱形．

应用举例：

【例3】如图

ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=5，AO=4，BO=3，求证

ABCD是菱形．

证明：

∵AB=5，AO=4，BO=3，

∴AB2=AO2+BO2．

∴△AOB是直角三角形．

∴AC⊥BD．

∴

ABCD是菱形．

议一议：

下列办法画菱形采取什么原理？

先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就画出一个菱形ABCD．

学生活动：

1．按要求画出四边形ABCD，发现它是菱形，产生直观感受．

2．证明四边形ABCD是菱形．

四边形ABCD是菱形．

师生总结：

得菱形的第二个判定方法：

判定定理2：

四边相等的四边形是菱形．

师：

我们通过类比的方法得出的菱形的判定方法．请同学们完成开课时给的表格．（老师再次播放课件，加深学生对菱形、矩形的性质和判定的理解）

做一做：

判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．

（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．

（3）邻角相等的四边形是菱形．

（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．

（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．

（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．

（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

引导学生懂这类问题的解决方法是：

认为正确的命题要进行证明，认为错误的命题要举出反例．最后得出：

（1）

（2）（5）（7）是正确的，其余是错误命题．

三、随堂练习

课本练习

2．解：

如图,∵AB=9，AO=

AC=6，BO=

BD=3

．且92=62+（3

）2．

∴AB2=AO2+BO2．

∴△AOB是直角三角形．

∴AC⊥BD，

∴

ABCD是菱形．

∴S菱形ABCD=

AC·BD=

×12×6

=36

．

3．如图，因为纸条等宽，所以△ABC以BC为底的高和以AB为底的高相等，所以AB=BC．

纸条交叉重叠在一起可得：

AB∥CD，AD∥BC．

所以四边形ABCD是平行四边形．

因此可得重合的四边形ABCD是一个菱形．

四、课时小结

（引导学生归纳总结菱形的判定方法，通过课件演示逐渐得出下表．让学生从图形的变化中形象地看到被判定图形是四边形还是平行四边形，它们各要具备什么条件才是菱形，从中领悟到各种图形之间的内在联系）．

五、课后作业

1．习题

2．预习正方形的判定

板书设计

20.3菱形的判定

1．菱形的判定方法

（1）定义：

邻边相等的平行四边形

（2）判定定理：

对角线互相垂直的平行四边形菱形

四边相等的四边形

2．应用举例：

例3议一议做一做

3．随堂练习

4．小结

5．作业

活动与探究

如下图在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗？

过程：

EA=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

△EFC≌△EAC

EFGA是菱形．

结论：

四边形AEFG是菱形．

备课资料

参考例题

【例1】请在括号中填写每一步推理根据．

已知菱形ABCD的边长为10，AC=12，求菱形ABCD的面积．

解：

∵菱形ABCD（①），

∴AO=CO，BO=DO（②），

∠AOB=90°（③）．

∵AC=12（④），

∴AO=6．

∵AB=10（⑤），

∴BO=8（⑥）．

∴BD=2BO=16．

∴S菱形ABCD=

×16×12=96（⑦）．

答案：

①已知②菱形对角线互相平分③菱形的对角线互相垂直④已知⑤已知⑥勾股定理⑦菱形面积等于对角线乘积的一半

【例2】某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的4块矩形小场地建成草坪．

（1）如下图，请分别写出每条道路的面积．

（2）已知a：

b=2：

1，并且4块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长宽各为多少米？

（3）在

（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）

①在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13m2．

②整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．

请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说画法与根据），并求出每个菱形花圃的面积．

解：

（1）（2a+2b-4）m2

（2）∵S矩形场地=S草坪+S道路，设b=x，则a=2x，

∴x·2x-（2x+4x-4）=312．

整理得x2-3x-154=0（解出这个方程即可解决问题．本题意图在于利用方程思想解决问题的意识．等学完一元二次方程后可继续解决这个问题）．解得x1=14，x2=-11（舍）．

∴b=14，a=28．

矩形长28m，宽14m．

（3）设计如下图所示

说明：

①AG=DH，这样保证整个场地为轴对称图形；②AE和FB的长度有赖于两个菱形面积之差为13m这一条件．

下面分别计算AG和AE的长．

设AG=x，则DH=x，∴x+2+x=28，∴x=13．

设AE=y，则

·y·13-

（12-y）·13=13，解得y=7．

∴大花圃面积为

×7×13=45.5（m2）．

小花圃面积为

×5×13=32.5（m2）．

矩形

【教学目标】

1.知识与能力：

（1）会证明矩形的两个判定定理.

（2）会根据矩形的定义和判定定理判定一个四边形是矩形，并能进行有关的论证或计算.

2.过程与方法：

（1）经历探究矩形判定条件的过程，通过观察---总结---猜想--证明，发展学生的合情推理能力，培养主动探究的习惯.

（2）探索并掌握矩形的判定方法.

（3）利用矩形的判定解决问题.

3.情感态度与价值观.

（1）让学生在探究过程中加深对矩形的理解，激发他们的求知欲望.

（2）渗透类比与转化的数学思想.

（3）进一步体会矩形的结构美和应用美.

【教学重点】矩形的判定方法．

【教学难点】矩形的判定及性质的综合应用．

【教学过程】

一.课前检测：

1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

二.新课学习：

1.想一想：

矩形有哪些性质？

在这些性质中那些是平行四边形所没有的？

列表进行比较.

平行四边形

矩形

边

角

对角线

矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?

请同学们说出最基本的方法：

（用定义）

矩形具有平行四边形不具有的性质是，

小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？

看看谁的方法可行？

（得到矩形的一个判定）

2.做一做：

按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?

说明理由.

（探索得到矩形的另一个判定）

3.议一议：

下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

 （3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

 （4）对角线相等的四边形是矩形；（）

   （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

三.随堂练习：

1．（选择）下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形

2.已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AB＝4cm，求矩形的对角线的长.

四.课时小结：

请大家试着完成下列图示.

五.拓展提高：

  已知：

如图

（1），

ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：

四边形EFGH是矩形．

分析：

要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图

（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明

【学（教）后反思】

梯形

1、知识目标：

①知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等．

②会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算．

③通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

2、能力目标

经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。

3、情感目标

在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心。

发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。

（三）教学重难点

在推理证明中需要添加辅助线变换图形，这种转化的数学思想方法，对学生有一定难度，因此我把重难点确定为：

重点：

等腰梯形的性质及其应用．用逻辑推理的方法证明等腰梯形的性质

难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

二、【教法分析】

本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式，让学生通过观察和类比、动手操作得到结果。

古人云：

“授人以鱼，不如授之以渔”。

教师不仅是让学生学会，更重要的是要让学生会学和乐学。

在这节课中，能够让学生充分的参与到课堂中来，从被动的接受学习转向主动的探究和发现学习；合作交流的气氛比较浓厚。

适当的表扬和鼓励可以使学生享受成功的喜悦，鼓励学生一题多解，可以培养学生的思维能力。

在这块要充分发挥不同层次学生的积极性，有新方法的上台展示，没有自己方法的注意倾听、补充等，通过多种方式使不同学生学有所获。

老师精心组织、设计课堂教学，分组讨论可以让好的学生带动一般的学生共同讨论、共同进步，同时也降低了这节课的难点。

老师通过与等腰三角形的性质“类比”，让学生自己探索辅助线的作法，激励学生的求知欲望。

更加关注学生在数学活动中表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

三、【学法指导】

在教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化，培养学生合作交流、团结互助的精神和主动探索、善于发现的科学精神。

同时，在合作交流、探索的过程中，学会用类比的方法发现做辅助线的规律，采用启发、诱导的方法来指导学生“会学”，引导学生反思、小结数学的思想方法，知识的获取，指导学生“善学”，让学生看到自我的价值，增强学习的乐趣和信心。

四、教学设计

课题

等腰梯形

设计人

邓旭红

上课时间：

学习

目标

通过层次的探究，使学生对等腰梯形性质、相关知识能够初步的掌握、运用。

学习

重点

难点

重点：

等腰梯形的性质及其应用．用逻辑推理的方法证明等腰梯形的性质

难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

一、【温故知新】

1平行四边形的定义和性质是什么？

1.下列图形中有你熟悉的图形吗？

它们有什么共同特点？

二、【合作探究1】

1、在已知△ABC内部剪一刀,并使所剪过的线DE与边BC平行,则剪下△ADE后剩下部分是一个什么图形?

2、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义。

3、做一做：

用你手中的等腰三角形过两腰在三角形内部剪出一个梯形,并判断这梯形是否为等腰梯形

三、【合作探究2】

1、请你用手中的等腰梯形图片,探索等腰梯形有关角的关系?

2、快验证你的发现吧！

等腰梯形同一底边上的两个角相等。

（写出已知、求职、证明并探究梯形辅助线的做法。

）

3、又来验证你的发现！

等腰梯形的两条对角线相等

4、等腰梯形是轴对称图形吗？

你能找到它的对称轴吗？

5、例1：

如图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，使它们相交于点E，求证∆EBC和∆EAD是等腰三角形。

6、练习（见课件）

四、【课堂小结】请同学们谈谈本节课的收获!

１、定义：

梯形：

只有一组对边平行的四边形,而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形：

有一个角是直角的梯形。

等腰梯形：

两腰相等的梯形。

2、等腰梯形的性质：

等腰梯形的同一底上的两个底角相等

等腰梯形的两条对角线相等.

等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴

3解决梯形问题的基本思路和方法：

通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决。

六五五五五五、【作业测评】：

作业：

（见背面）

梯形

1、知识目标：

①知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等．

②会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算．

③通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

2、能力目标

经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。

3、情感目标

在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心。

发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。

（三）教学重难点

在推理证明中需要添加辅助线变换图形，这种转化的数学思想方法，对学生有一定难度，因此我把重难点确定为：

重点：

等腰梯形的性质及其应用．用逻辑推理的方法证明等腰梯形的性质

难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

二、【教法分析】

本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式，让学生通过观察和类比、动手操作得到结果。

古人云：

“授人以鱼，不如授之以渔”。