河南省中考数学专题复习专题三 几何图形的折叠与动点问题训练含答案.docx

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河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练含答案

专题三　几何图形的折叠与动点问题

类型一与特殊图形有关

（2018·河南）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．

【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．

【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4.

图①

图②

1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B.若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．

3．（2017·河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．

4．（2018·新乡一模）菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．

5．（2017·三门峡一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．

6．（2018·盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．

7．（2018·乌鲁木齐）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．

8．（2017·洛阳一模）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD为等腰三角形时，AP的长为______．

9．（2018·濮阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．

类型二点的位置不确定

（2016·河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．

【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．

【自主解答】由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x2＝，BE＝B′E＝＝；

②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝，解得x2＝，BE＝B′E＝＝，故答案为：

或.

1．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三等分点，则线段CH的长是_______．

2．（2018·林州一模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．

3．（2015·河南）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．

4．（2017·商丘模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．

5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．

6．（2018·河南模拟）如图，△ABC中，AB＝，AC＝5，tanA＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．

7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．

类型三根据图形折叠探究最值问题

如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE－A′E即可求出结论．

例3题解图

【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：

A′E＝AE＝AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝－1.故答案为－1.

1．（2019·原创）如图，在边长为10的等边三角形△ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．

2．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点A′的位置，如图，当A′与点D的距离最短时，△A′PD的面积为________．

3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为__________．

4．（2017·河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_________．

参考答案

类型一

针对训练

1.＋1或2－2　【解析】

（1）当点E在边AD上时，过点E作EF⊥CD于F，如解图①，设CF＝x，

第1题解图①

∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30°，∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2.

（2）当E在DA的延长线上时，如解图②.

第1题解图②

过点B作BF⊥DA于点F，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C是等边三角形，∴D′E垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E与BC的交点为G，则易知EF＝BG＝BC＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，综上所述，DE的长度为＋1或2－2.

2.或　【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3.沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：

BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，AE＝5－x，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝；②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x＝，故所求BE的长度为：

或.

3.＋或1　【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM＝BC＝＋；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点为B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM＝BM＋BM＝＋1，∴BM＝1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为＋或1.

图①

图②

第3题解图

4.或2－2　【解析】①如解图①，当A′D＝A′C时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折叠可得AP＝AA′＝；

图①

图②

第4题解图

②如解图②，当CD＝CA′＝4时，连接BD交AC于O，则Rt△COD中，CO＝CD×cos30°＝4×＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC－A′C＝4－4，由折叠可得AP＝AA′＝2－2；故答案为或2－2.

5.或　【解析】如解图①所示，点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝4.由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE，则EB＝2.设DC＝ED＝x，则BD＝4－x.在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝（4－x）2.解得x＝.∴DE＝.

图①

图②

第5题解图

如解图②所示：

∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：

AC＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC＝3.∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE＝.点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：

或.

6.或　【解析】分两种情况：

①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，∴∠C＝30°，AB＝AC＝＋2，由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝＋，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN＝.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，由题可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝＋2，∴AN＝2，BN＝，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，∴AH＝AN＝1，HN＝，由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝，∴MN＝，故答案为或.

图①

图②

第6题解图

7．3或　【解析】∴∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，∴tanB＝＝＝，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4.∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′D′E的位置，B′D交AB于点F，∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE＝x，则BE＝4－x，EB′＝4－x，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF中，cosB＝，∴BF＝cos30°＝，∴EF＝－（4－x）＝x－.在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，

则4－x＝2（x－），解得x＝3，此时AE为3；

第7题解图

当∠FB′A＝90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如解图，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（4－x），EH＝B′H＝（4－x），在Rt△AEH中，∵EH2＋AH2＝AE2，∴（4－x）2＋[（4－x）＋2]2＝x2，解得x＝，此时AE为.综上所述，AE的长为3或.

8.或　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四边形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′C＝A′D时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案为或.

9.或　【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，

第9题解图①

∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C′D＝x，则AD＝3－x，∴＝，解得x＝，经检验：

x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，∠DCB＝90°，

第9题解图②

由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B与CE重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C′D＝x，则AD＝3－x，∴＝，解得x＝，∴CD＝.综上所述，CD的长为或.

类型二

针对训练

1．4或　【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，当BE∶EC＝2∶1时，BC＝9，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即（9－x）2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE＝BC＝6.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即（9－x）2＝62＋x2，解得：

x＝，即CH＝.故CH的长为4或.

2.或　【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD于M交BC于N，则四边形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N中，BN＝＝，∴AM＝BN＝.由△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②当A′M＝3，A′N＝1时，同理可得AE＝.

第2题解图）　　

第3题解图

3.或　【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P.∵点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，又由折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2＋（7－x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN＝4－a，∴a2＝22＋（4－a）2，解得a＝，即DE＝；②当MD′＝4时，AM＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN＝3－a，∴a2＝12＋（3－a）2，解得a＝，即DE＝.综上所述，DE的长为或.

4.或10　【解析】分两种情况：

①如解图①，当点F在矩形内部时，∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN＝4.∵AF＝AD＝5，由勾股定理得FN＝3，∴FM＝2.设DE为x，则EM＝4－x，FE＝x，在△EMF中，由勾股定理，得x2＝（4－x）2＋22，∴x＝，即DE的长为；

图①

图②

第4题解图

②如解图②，当点F在矩形外部时，同①的方法可得FN＝3，∴FM＝8，设DE为y，则EM＝y－4，FE＝y，在△EMF中，由勾股定理，得y2＝（y－4）2＋82，∴y＝10，即DE的长为10.综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.

5．3或　【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如解图①，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC＝BD＝＝10.根据折叠的性质，得PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP＝；②点A落在矩形对角线AC上，如解图②，根据折叠的性质，得BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP＝3，故答案为：

3或.

图①

图②

第5题解图

6．2或5－　【解析】分两种情况：

①当点B′在AC的下方时，如解图①，∵D是BC中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝S△BPD，∴S△PDF＝S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：

∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tanA＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝＝＝2，∵D为BC的中点，∴BD＝，∴PB＝BD＝，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；

图①

图②

第6题解图

②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：

F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝，∴AP＝5－，综上所述，AP的长为2或5－.

7．8＋2或8－2　【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2.

图①

图②

第7题解图

类型三

针对训练

1．5－5　【解析】如解图，连接BE.

第1题解图

∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝＝＝5.∵AC＝10，E是AC边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点B、A′、E在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE－A′E＝5－5.

2.　【解析】连接DE，DE＝＝13，∵将△AEP沿FP折叠，使得点A落在点A′的位置，∴EA′＝EA＝5，∵A′D≥DE－EA′

第2题解图

（当且仅当A′点在DE上时，取等号），∴当A′与点D的距离最短时，A′点在DE上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x，则PA＝x，PD＝12－x，在Rt△DPA′中，x2＋82＝（12－x）2，解得x＝，∴△A′PD的面积＝×8×＝.

3.　【解析】在Rt△ADE中，DE＝＝2，当B′在ED上时，B′D最小，在ED上截取EB′＝EB＝2，连接B′F，FD，则B′D＝ED－EB′＝2－2，设BF＝x，则B′F＝x，CF＝4－x，在Rt△B′FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F2＝DF2＝CF2＋DC2，即（2－2）2＋x2＝（4－x）2＋42，解得x＝＋1，∴Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝.

　第3题解图

4.　【解析】由题意得：

DF＝DB，

第4题解图

∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D;连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：

AD2＝AC2＋CD2，∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH＝，∴BH＝，∴BF＝＝.