九上数学《2414 圆周角圆周角定理及其推论教学设计》.docx

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九上数学《2414圆周角圆周角定理及其推论教学设计》

24.1.4圆周角

——圆周角定理及其推论

一、新课导入

1.导入课题：

情景：

如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.

问题1：

∠ACB有什么特点？

它与∠AOB有何异同？

问题2：

你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？

由此导入课题.（板书课题）

2.学习目标：

（1）知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.

（2）探究并掌握圆周角定理及其推论.

（3）体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.

3.学习重、难点：

重点：

圆周角定理及其推论.

难点：

圆周角定理的证明与运用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.

（2）自学时间：

10分钟.

（3）自学方法：

完成探究提纲.

（4）探究提纲：

1）圆周角的概念

①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.

2猜一猜：

一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？

②量一量：

用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.

a.如图，∠ACB=

∠AOB.

b.你可以画多少个AB所对的圆周角？

这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？

可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.

③想一想：

在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？

有3种位置关系.

3证一证：

a.当圆心O在∠BAC的一条边上时（如图1）:

b.当圆心O在∠BAC的内部时（如图2）：

作直径AD，同a，得

.

c.当圆心O在∠BAC的外部时（如图3）.作直径AD,同a,得

⑤归纳：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.自学：

学生可根据自学指导自主学习，相互交流.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.

②差异指导：

根据学情进行个别指导或分类指导.

（2）生助生：

小组内交流、研讨.

4.强化：

（1）圆周角定理的内容.

（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.

（3）练习：

如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：

∠ACB=2∠BAC.

证明：

∵∠ACB=

∠AOB,∠BAC=

∠BOC,∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC.

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第86页最后5行至第87页例4.

（2）自学时间：

10分钟.

（3）自学方法：

完成探究提纲.

（4）探究提纲：

①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.

a.如图1，∵∠ACB=

∠AOB,∠ADB=

∠AOB,∠AEB=

∠AOB，

∴∠ACB=∠ADB=∠AEB.

即同弧所对的圆周角相等.

b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB=∠AOE.

∵∠ACB=

∠AOB,∠ADE=

∠AOE,∴∠ACB=∠ADE.

即等弧所对的圆周角相等.

c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角相等.

d.练习：

如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角，

这些角中哪些是相等的角？

∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.为什么？

因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.

90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.

4如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？

为什么？

第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.

④如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∴在

中，

.

同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，

∴∠DCA=∠DCB=

∠ACB=45°,

∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.

在

中，AD2+BD2=AB2,∴

.

5

如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？

你有多少种方法？

能，方法很多，例如：

利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），

两直径交点就是圆心.

2.自学：

学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

关注学生是否会完成任务.

②差异指导：

根据学情进行个别指导或分类指导.

（2）生助生：

小组内交流、研讨.

4.强化：

（1）常规辅助线：

遇直径，想直角.

（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.

（2）自学时间：

7分钟.

（3）自学方法：

阅读课文，完成自学参考提纲.

（4）自学参考提纲：

①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

②在图中标出

和

所对的圆心角，这两个圆心角有什么关系？

∠BAD+∠BCD＝180度，同理可得：

∠ABC+∠ADC＝180度.

③圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补.

④练习：

a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝50°，

∠BCD＝130°.

b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

又∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ADE=∠B=110°.

c.求证：

圆内接平行四边形是矩形.

∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，

∴圆内接平行四边形四个角都是直角.

∴圆内接平行四边形是矩形.

d.已知：

如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：

四边形EFDC是平行四边形.

连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，

∴∠C+∠ABE=180°.

又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.

∴∠D+∠ABF=180°.

又∵∠ABE+∠ABF=180°.

∴∠C+∠D=180°.

∴CE∥DF.

又∵CD∥EF，

∴四边形EFDC是平行四边形.

2.自学：

学生可结合自学指导自主学习.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

明了学生自学提纲的答题情况.

②差异指导：

根据学情进行个别指导或分类指导.

（2）生助生：

生生互动，交流研讨.

4.强化：

（1）圆内接四边形的性质.

（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.

（3）练习：

圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.

解：

∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°,

∴∠A＝45°，∠C＝135°.

又∠A∶∠B＝2∶3,

∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

这节课你学到了哪些知识？

在哪些方面还感到比较困难？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.

（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:

三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.

（时间：

12分钟满分：

100分）

一、基础巩固（80分）

1.（10分）下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）

2.（10分）如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）

A.15°B.40°C.5°D.35°

3.（10分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=80°.

4.（10分）如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝125°.

5.（10分）如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．

解：

∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.

又∵∠B=

∠AOC=39°.

∴∠DAB=39°.

6.（10分）如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.

解：

连接OA、OB.

∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.

又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.

∴

.

7.（10分）如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.

解：

△ABC是等边三角形.证明如下：

∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形.

8.（10分）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：

△ADE是等腰三角形．

证明：

∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.

∴∠A=∠BCE.

∵BC=BE,

∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,

∴AD=DE,

∴△ADE是等腰三角形.

二、综合应用（10分）

9.（10分）如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60．

三、拓展延伸（10分）

10.（10分）如图，BC为半圆O的直径，点F是

上一动点（点F不与B、C重合），A是

上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．

（1）当α=50°时，求β的度数;

（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.

解：

（1）连接OA，交BF于点M.

∵A是

上的中点，∴OA垂直平分BF.

∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.

∴∠C=

∠AOB=

×40°=20°,

即β=20°.

（2）β=45°-

α.

证明：

由

（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝

∠AOB,

∴β＝

（90°-α）＝45°-

α.