初二全等三角形轴对称图形习题.docx

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初二全等三角形轴对称图形习题

1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大

（1）：

根据已知条件可知，可得出三个全等的等边三角形。

即OCD\OAB\OBC

在三角形CDA中，O是AD的中点，CD=OC=1/2AD,所以三角形DCA是特殊直角三角形，角CAD＝30度。

所以角BAC也得30度，角DBA是直角，所以角AEB=60度。

（2）：

只要证明三角形OBC与三角形OBD全等即可。

条件为“边角边”

即：

OA=OB

OC=OD

角AOC=角BOD（提示：

角BOC是它们的公共角）

当证出两个三角形全等后，即可得出角OBD=角OAC,而在原等边三角形OAB中，角OAB+角OBA=60+60=120,即可推出在三角形BEA中，角EAB+角EBA=120度，故角ABE=60.

结论：

无论如何旋转，只要不重叠，均为60度。

1.以下有4个命题:

1.两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形2.两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形3.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形4.两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形。

其中正确的是哪两个？

2.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，连接ED，若

角BDE=α,∠ADB的大小是多少（用含α的式子表示）

3.△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，∠C的大小是多少？

（求∠C的度数）

答案：

1.1和42.90°－α／23.20°如图，AB=AC。

点D.E是BC的三等分点，AD=AE求证：

三角形ABE全等于三角形ACD

如图：

AD//BC.AB//DC.MN=PQ.求证：

DP=BN

1

∵AB=AC,点D.E是BC的三等分点,AD=AE

∴BD=EC

∴BD+DE=CE+DE即BE=CE

△ABE≌△ACD

2

∵AB//DC,AD//BC

∴∠MPD=∠QNB,∠M=∠Q

∵MN=PQ

∴MN+NP=PQ+NP即MP=NQ

∴△MDP≌△QBN

∴DP=BN

如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证AE=DF。

向左转|向右转

解：

因为：

AE垂直于BC，DF垂直于BC

所以：

角CFD=角DFE=角AEB=90度

所以：

三角形AEB与三角形DFC为直角三角形

又：

CE=BF

所以：

CE-EF=BF-EF

所以：

BE=CF

在直角三角形AEB与直角三角形DFC中：

AB=CD

BE=CF

所以：

直角三角形AEB全等于直角三角形DFC（HL）

所以：

AE=DF

如图所示，A、B、C、D在同一直线上且△ABF≌△DCE

求证，AF∥DE，BF∥CE，AC=BD

∵△ABF≌△DCE

∴∠A=∠D

∴AF∥DE（内错角相等，两直线平行）

∵△ABF≌△DCE

∴∠ABF=∠DCE,

180-∠ABF=180-∠DCE

∠FBC=∠BCE

∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）

∵△ABF≌△DCE

∴AB=CD

AB+BC=CD+BC

∴AC=BD

如图，AB//DC，点E、F在BD上，BE=DF。

求证：

AE//CF

AB=DC

∵AB//CD

∴∠ABE=∠CDF

又∵BE=DF

∴△ABE、△CDF全等

∴∠AEB=∠DFC

∴∠AEF=∠CFE

∴AE//CF

在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF∥AD，交AC于E，交BA的延长线于F。

求证：

△AEF为等腰三角形

EF∥AD，

所以∠F=∠BAD（同位角相等），且∠AEF=∠CAD（内错角相等）

AD平分∠BAC交BC于D，

所以∠CAD=∠BAD

综上，∠F=∠BAD=∠CAD=∠AEF

△AEF为等腰三角形

如图,已知OA=OB,AC=BD,且∠A=∠B=90°,M为CD的中点,求证:

OM⊥CD

证明：

如图，连接OC，OD，

在△AOC和△BOD中

OA=OB，

∠A=∠B=90°，

AC=BD，

∴△AOC≌△BOD（SAS）

∴OC=OD

在等腰三角形COD中，M为CD的中点

所以OM是底线的中线，也是高（三线合一）

所以OM⊥CD

轴对称：

点（x,y）关于x轴对称点的坐标为_________,点（x,y）关于y轴对称点的坐标为__________,点（x,y）关于直线x=a的对称点的坐标为___________。

点（x,y）关于x轴对称点的坐标为：

（X,-y）

点（x,y）关于y轴对称点的坐标为：

（-x,y）

点（x,y）关于直线x=a的对称点的坐标为：

（2a-x,Y）说明：

关键是横坐标

（X，Y）,（a,Y）,（?

Y）三点的横坐标成等差数列，x+?

=2a,?

=2a-x

A、B两点在直线l的同侧,点A’与A关于直线l对称,连接A’B交l与P点,设A’B=a

（1）求AP+PB；

（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：

AM+MB＞AP+PB

1.AP=A'P

AP+PB=A'P+BP=A'B=a

2.连接BMA'

AM=A'M

BM+A'M>AP+PB（三角形两边之和大于第三边）

BM+AM>AP+PB（等量代换）

如图在三角形ABC中，AB=AC，DE分别在AB,AC上，且BD=DE=AE，BE=BC，你能求出角A的度数吗

解：

设∠DBE＝x

∵BD=DE

∴∠ADE=2x

∵DE=AE

∴∠A=∠ADE=2x

∴∠BEC=∠ABE+∠A=3x

∵BE=BC

∴∠C=∠BEC=3x

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C=3x

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°

∴2x+3x+3x=180°

8x=180°

∴2x=45°

∴∠A=45°

如图，点A是BC上的一点，△ABD、△ACE都是等边三角形。

求证：

（1）AM=AN

（2） MN∥BC

（1）证明：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°

∵∠BAC是平角，

∴∠DAE=60°

∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE=60°+60°

∠BAE=∠DAC=120°

∴在△ABE和△DAC中﹛BA=DA﹜

﹛∠BAE=∠DAC﹜＝＞△ABE≌△DAC（SAS）

﹛EA=AC﹜

∴∠EBA=∠CDA﹜

∵∠BAM=∠DAN=60°﹜∴△BAM≌△DAN（ASA）

BA=DA﹜

∴AM=AN

（2）证明：

∵AM=AN，∠MAN=60°

∴△ANM是等边三角形

∴∠AMN=∠BAM=60°

∴MN∥BC（内错角相等两直线平行）

已知△ABC中，AB=AC∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E,求证：

bf=1/2FC。

连接AF

∵∠BAC=120°,AB=AC

∴∠B=∠C=30°

∵EF垂直平分AB

∴AF=BF

∴∠BAF=∠B=30°

∴∠CAF=90°

∴AF=1/2×CF

∴BF=1/2×CF

1.已知直角坐标系中两点A（k，-2），B（2，t）。

求下列条件下k，t的值：

（1）点A，B关于x轴对称

（2）点A，B关于y轴对称

⑴关于X轴对称，横坐标相等，纵坐标相反。

∴k=2t=2

⑵关于Y轴对称，横坐标相反，纵坐标相等。

∴k=－2t=－2

在△ABC中，∠C为直角，BC=AC，BD是∠ABC的平分线，AE⊥BD,垂足为E，求证：

BD=2AE

作DE⊥AB

因为DE⊥AB,BD为∠B的角平分线,所以CD=DE

又因为在直角三角行ADE中,角CAB=45度,则DE=AE

因为BC=BE,CD=DE=AE,所以（CD+BC）^2=（BE+EA）^2=BA^2=2BC^2

则CD^2-BC^2+2CD*BC=0

则BC^2+CD^2=2BC^2-2CD*BC=2（BC-CD）*BC=2AD*BC

又由三角形ABD面积得BD*AE=AD*BC

所以BD^2=2AE*BD

则BD=2AE

如图所示，已知三角形abc中，角acb=90度，d是bc延长线上的一点，e是ab上的一点，且在bd的垂直平分线eg上de交ac于f，试判断三角形aef的形状

因为EM是BD垂直平分线，所以BE=DE。

所以角B等于角D.又因为角ABC等于90度，所以角B加角D等于90度角D加角DFC等于90度。

又因为角DFC等于角AFE,所以角A加角AFE等于90度。

所以三角形AEF是直角三角形

已知在数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为2，若点A与点B关于数轴上的点C对称，则点C对应的数是_____。

5-2等于两点绝对距离

平分为1.5

5-1.5=2+1.5

为3.5

如图，△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE，DE和BC交于点M，DM=ME，求证：

△ABC是等腰三角形。

解：

过E作EF∥AB且交BC延长线于F．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB

∵EF∥AB

∴∠F=∠B

∵∠ACB=∠FCE

∴∠F=∠FCE

∴CE=EF

∵BD=CE

∴BD=EF

在△BDM与△FEM中，

∠B=∠F\\∠DMB=∠EMF\\BD=EF

∴△BDM≌△FEM（AAS），

∴MD=ME．

在三角形ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ,PR=PS,求证：

（1）AS=AR

（2）PQ平行AR

证明：

连AP

因为PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS,

所以AP是角BAC的平分线，

所以三角形ARP全等于三角形AQP,

所以AR=AS,

因为AQ=PQ,

所以角PAQ=角APQ

又角BAP=角PAQ

所以角BAP=角APQ,

所以PQ平行AR

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120堵的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

延长AB到E使BE=NC易证三角形BED全等三角形CND

再证明EDM全等NDM（用SASMD=MDED=ND角MDN=角MDE因为角MDN=60

角BDM+角NDC角EDB=角NDC所以角MDN=角MDE）

所以EM（BE+mb）=MN既MN=BM+NC

直线a、b相交于点O，点A、B关于a对称，点B、C关于b对称，OA=OB。

点A、O、C在一条直线上吗？

为什么？

线段AB交a于D，线段BC交b于E

1、那么角AOD+角A=90度，角BOD+角OBD=90度

因为AO=OB所以角A=角OBA，所以角AOD+角BOD=90度

2、又因为点B、C关于b对称，所以BE=CE，所以RT三角形OEB与RT三角形OEC全等（边角边），所以OB=OC，所以（证法与1相同）角BOE+角EOC=90度

3、所以角AOD+角BOD+角BOE+角EOC=180度，因此AOC在一条直线上

在△ABC中,AB=AC,P、Q分别是BC、AB边上的点，且AC=AP=PQ=BQ。

求∠B的度数

AB=BC

∠B=∠BPQ=0.5∠APQ=0.5∠AQP

∠C=0.5（180-∠B）=∠APC

由于∠BPQ+∠APQ+∠C=180°

代入解得∠B=36°

如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。

（1）证明：

∠CAE=∠CBF（三线合一）

（2）证明：

AE=BF（△ACE≡△BCF）

1、

因为ABC是等腰三角形，且CH是高，P是CH上的一点

所以AC=BC,角ACH=角BCH,CP是公共线

边角边，证明三角形ACP=BCP

所以角CAE=CAP=CBP=CBF

2、

因为角CAE=CBF,AC=BC，角ACB是公共角

角边角，所以三角形ACE=BCF

所以AE=BF

如图,在△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:

DE=EC

解：

∵AB=AC∴∠ABC=∠C

又∵BE平分∠ABC,DE∥BC

∴∠DBE=∠EBC∠DEB=∠EBC

∴∠DBE=∠DEB∴DE=DB

∴AB-AD=AC-AE

DB=EC

∴DE=EC

在梯形ABCD中，AD平行BC，AD=1，BC=4,∠C=70°,∠B=40°，则AB的长为？

过D做DE//AB交BC于E

所以∠EDC=70

BE=1

EC=3=DE=AB

如图，在等边△ABC中，点D.E分别在BE,AB上，且BD=AE，AD与CE交于F

（1）求证：

AD=CE

（2）求∠DFC的度数

（1）证明：

因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

在△ACE和△BAD中，

AB=AC,∠BAC=∠ABC,BD=AE.

所以△ACE≌△BAD（SAS）

所以AD=CE

（2）解：

由

（1）知：

∠ACE=∠BAD,

又因为∠DFC=∠ACE+∠DAC（外角等于不相邻的两个内角之和）

所以∠DFC=∠BAD+∠DAC=60°

如图，点D，E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。

求证BD=CE。

因为AB=AC所以三角形ABC是等腰三角形，角ABC=角ACB

同理可得。

三角形ADE是等腰三角形

所以角ADE=角AED，

所以角ADB=角AEC

又因为角ABC=角ACB

所以角BAD=角EAC

又因为AB=AC

所以三角形ABD全等三角形ACE

所以BD=CE

如图，在△ABC中，AB=AC，点C是BC的中点，点E在AD上。

（1）求证：

△ABD≌△ACD

（2）求证：

BE=CE。

（1）因为AB=AC

所以角ABD=角ACD（等边对等角）

因为点D是BC中点（这里你打错了我就自动脑补了）

所以BD=CD

在三角形ABD与三角形ACD中

AB=AC

角ABD=角ACD

BD=CD

所以：

△ABD≌△ACD（SAS）

（2）因为：

△ABD≌△ACD

所以角BAD=角CAD

所以AD平分角BAC

所以BE=CE（角平分线上的点到线段两端点距离相等

如图，已知△ABC为等边三角形,延长AC至E,使CE=AC，过C作CD//AB。

连接DB、CE求证△DBE为等腰三角形。

证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AC，

又CE=AC，

∴BC=CE.

∵∠ACB=60度，

∠ACB=∠AEB+∠CBE,∵

∴∠CBE=30

∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90

延长DC交BE于F

∵CD//AB

∴∠DFB=90

∴BF=EF

在△DFB和△DFE中

BF=EF

∠DFB=∠DFE=90

DF=DF

∴△DFB≌△DFE

∴DB=DE

∴△DBE为等腰三角形

AC平分∠DAB  AD=AB  求证：

△CDE全等于△CBE  

∵AC平分∠DAB

DAC=∠BAC

在△ACD和△ABC中

AD=AB

∠DAC=∠BAC

AC=AC

∴△ACD≌△ABC

∴DE=BE，CD=CB

在△CDE和△CBE

　DE=BE

　CD=CB

CE＝CE

∴△CDE≌△CBE

如图已知△ABC,∠C=90°,D、F分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC,求证:

DE⊥AB

∵AD=BD，AE=BC，DE=DC

∴△ADE≌△BCD（三边相等的三角形是全等的三角形）

∴∠AED=∠BCD（全等三角形的对应角相等）

即DE⊥AB

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且AD⊥BC，垂足为D。

求证：

AB=AC,DB=DC. 

AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°

AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD

AD=AD

∴△BAD≌△CAD（ASA）

∴AB=AC,DB=DC

如图，点D是等边三角形ABC内一点，DB=DA,BP=AB,角PBD=角DBC.求证：

角BPD等于30度。

解：

连接CD

∵△ABC是等边三角形

∴CA=CB，∠ACB=60°

∵DA=DB，DC=DC

∴△CAD≌△CBD

∴∠BCD=∠ACD=30°

∵BP=BC，∠PBD=∠CBD，BD=BD

∴△PBD≌△CBD

∴∠DPB=∠DCB=30°

如图:

在4便边形ABCD中，AB=CD,AC是对角线，过B，D作BF⊥AC与F，SE⊥AC与E，且BF=DE，求证AE=CF。

∵BF⊥AE DE⊥FC

∴∠BFA=∠DEC

因为AB=DC

DE=BF

所以△AFB≌三角形DEC（HL）

所以AF=EC

又因为AF+FE=EC+FE

即AE=FC

如图，三角形ABC中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC平行线BG于G点，DE垂直DF，交AB于点E，连接EG、EF。

 求证BE+CF与EF的大小关系，说明理由。

首先，我们能很容易的发现，△BDG与△CDF是有共性的，一个平行完成角等，一个中点完成线等，AAS全等。

进而CF=BG，DG=DF。

这样把CF+BE转化为了BE+BG。

然后我们又能发现，DE⊥DF（DE⊥GF）且DG=DF（DE是GF中线），这样DE垂直平分GF，因此EF=EG。

那么显而易见，CF+BE=BG+BE，EF=EG，而在△BEG中，BE+BG＞EG，因此BE+CF＞EF。

在三角形ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ,PR=PS,求证：

（1）AS=AR

（2）PQ平行AR

1.解：

连接AP

因为PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，AP=PA

所以RPA≌ASP

所以AS=AR

2.解：

由PR=PS可知AP是角CAB的平分线，

所以角CAP=角BAP

又在三角形AQP中，PQ=AQ，则角APQ=QAP）.所以角APQ=角QAP=角PAR，则AR//PQ（内错角相等，两直线平行）

1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大

向左转|向右转

1）：

根据已知条件可知，可得出三个全等的等边三角形。

即OCD\OAB\OBC

在三角形CDA中，O是AD的中点，CD=OC=1/2AD,所以三角形DCA是特殊直角三角形，角CAD＝30度。

所以角BAC也得30度，角DBA是直角，所以角AEB=60度。

（2）：

只要证明三角形OBC与三角形OBD全等即可。

条件为“边角边”

即：

OA=OB

OC=OD

角AOC=角BOD（提示：

角BOC是它们的公共角）

当证出两个三角形全等后，即可得出角OBD=角OAC,而在原等边三角形OAB中，角OAB+角OBA=60+60=120,即可推出在三角形BEA中，角EAB+角EBA=120度，故角ABE=60.

已知，三角形ABC中，D是BC的中点；BG平行AC，经过点D的直线交AC于F，交BG于点G，过点D作DE垂直于FG，交AB于E，连接EG、EF；判断：

BE+CF与EF的大小关系。

BE+CF＞EF

∵CF=BGGE=EF

∴BE+CF=BE+BG

∵BE+BG＞EG

∴BE+CF＞EF

如图，A,D,B,E在同一直线上，AD=BE,AC=DF,AC平行于DF.请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明。

因为AD=BE，所以AB=DE，又AC平行于DF，则∠CAB=∠FDE（同位角相等），又AC=DF，故三角形ABC同在三角形FDE全等。

∠E=∠CBA

1.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D。

求证：

∠BDC=90°+1/2∠A

2.如图，已知：

在△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求证：

∠DAE=1/2（∠B-∠C）

1.设∠A为X°

∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D

∴∠BDC=180°－（180°－X°）×½=180°－（90°－½X°）=90°＋½X°

即∠BDC）=90°＋½∠A°

2.设∠B为X°，∠C为Y°

∵AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线

∴∠DAE=½（180°－X°－Y°）－（90°－X°）

即∠DAE=90°－½X°－½Y°－90°＋X°=½X°－½Y°=½（X°－Y）

如图，BE、CD相交于点F，连接BD、CE并延长相交于点A，∠B＝∠C，∠1＝∠2。

求证：

DF＝EF

先证⊿AFC≌⊿AFB

∵∠EFC=∠DFB（对顶角相等）

∠1＝∠2

∴∠EFC+∠1=∠DFB+∠2

即∠AFC=∠AFB

又∵∠B＝∠C，AF公用

∴⊿AFC≌⊿AFB（AAS）

∴∠EAF=∠DAF

再加上条件∠1＝∠2，AF公用

∴⊿EAF≌⊿DAF（ASA）

从而DF=EF

如图，在三角形ABC中，角C=2角B，AD是三角形ABC的角平分线，点E在DB的垂直平分线上，则AB与AC+CD有什么大小关系，请说明理由。

向左转|向右转

AB与AC＋CD的关系是：

AB＝AC＋CD

理由如下：

因为E在DB的垂直平分线上

所以EB＝ED

所以∠B＝∠BDE

所以∠AED＝∠BDE＋∠B＝2∠B

因为∠C＝2∠B

所以∠C＝∠AED

因为AD是角平分线

所以∠CAD＝∠EAD

又因为AD＝AD

所以△ACD≌△AED（ASA）

所以AC＝AE，DC＝ED

所以AB＝AE＋EB

＝AC＋ED

因为ED＝EB

所以AB＝AC＋CD

如图，在三角形ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，BE=CF

①图中共有几对全等三角形？

请一一列出

②选择一对你认为的全等三角形加以证明

①图中共有几对全等三角形？

请一一列出

3对，△ADE全等于△ADF△BED全等于△CFD△ADB全等于△ADC

②选择一对你认为的全等三角形加以证明

△BED全等于△CFD

在△BED和△CFD中

BD=CD

∠BED=∠CFD

BE=CF

（H.L.）

所以△BED全等于△CFD

在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD，试猜想：

BC,AB,CE三线段之间有着怎样的数量关系并说明理由。

证明：

在BC取点F,G，使BF=AB,BG=BD

BD平分∠ABC

那么

∠ABD=∠CBD=40/2=20度

AB=BF

BD=BD

△ABD≌