八上数学整式的乘除与因式分解教案.docx

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八上数学整式的乘除与因式分解教案

课题：

15.1.1同底数幂的乘法

一、教学目标

1.经历同底数幂乘法法则的形成过程，会进行同底数幂的乘法运算.

2.培养归纳概括能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

同底数幂的乘法运算.

2.难点：

归纳概括同底数幂的乘法法则.

三、教学过程

1、说出下列各式分别表示什么运算

（2x2-3x）+5x；（两个整式相加）

（2x2-3x）-5x；（两个整式相减）

（2x2-3x）×5x；（两个整式相乘）

（2x2-3x）÷5x（两个整式相除）

在初一的时候，我们已经学过整式的加减，第十五章要学整式的乘除.

2、出示下图

23：

2的3次方的意思是3个2相乘

a4：

a的4次方的意思是4个a相乘

即a4=a·a·a·a.

填空：

（1）24=×××；

（2）103=××；

（3）3×3×3×3×3=3（）；（4）a·a·a·a·a·a=a（）.

填空：

（1）68的底数是，指数是，幂是；

（2）86的底数是，指数是，幂是；

（3）x4的底数是，指数是，幂是；

（4）x的底数是，指数是，幂是.

3、思考

（1）25与22这两个幂有什么共同点？

（2）如何计算25×22？

2的5次方与2的2次方是同底数幂.

25=2×2×2×2×2，22=2×2.于是

25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）

=2×2×2×2×2×2×2=27=25+2.

（3）如何计算a3·a2?

a的3次方与a的2次方是同底数幂.

a3=a×a×a，a2=a×a.于是

a3×a2=（a×a×a）×（a×a）

=a×a×a×a×a=a5=a3+2.

（4）观察25×22=25+2.a3×a2=a3+2.你发现了

什么？

4、同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

公式表示.am·an=am+n。

（m,n都是正整数）.

5、例计算：

（课本第142页）

（1）x2·x5；

（2）a·a6；

（3）2×24×23；

（4）xm·x3m+1.

6、练习

直接写出结果：

（1）65×64=；

（2）103×102=

（3）a7·a6=；（4）x3·x=

（5）an·an+1=；（6）x5-m·xm=

（7）x3·x7·x2=；（8）2m·2·22m-1=

填空：

（1）b5·b（）=b8；；

（2）y（）·y3=y6；

（3）10×10（）=106；（4）5（）×58=59.

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）b5·b5=2b5；（）

（2）b5+b5=b10；（）

（3）b5·b5=b25；（）

（4）b·b5=b5；（）

（5）b5·b5=b10.（）

填空：

某台电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒进行次运算.

7、小结布置作业（作业：

P142练习）

本节课我们学习了同底数幂的乘法法则。

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。

即，am·an=am+n。

（m,n都是整数）

课题：

15.1.2幂的乘方

一、教学目标

1.经历幂的乘方法则的形成过程，会进行幂的乘方运算.

2.培养归纳概括能力和运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

幂的乘方运算.

2.难点：

归纳概括幂的乘方法则.

三、教学过程

1、巩固旧知

填空：

同底数幂相乘，底数，指数，即am·an=（m，n都是整数）.

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）53+53=56；（）

（2）a3·a4=a12；（）

（3）b5·b5=2b5；（）

（4）c·c3=c3；（）

（5）m3·n2=m5.（）

直接写出结果：

（1）33×35=

（2）105×106=

（3）x2·x4=

（4）y2·y=

（5）am·a2=

（6）2n-1×2n+1=

（7）42×42×42=

（8）a3·a3·a3·a3=

2、我们已经知道，32是一个幂，那么（32）3这个式子表示这个幂的3次方，也就是幂的乘方.一般地，把（am）n叫做“幂的乘方”

3、由于32表示2个3相乘，那么（32）3这个式子表示3个32相乘。

（32）3＝32×32×32=32+2+2=36，又32×3＝36，

所以（32）3＝32×3。

同理，（a3）4表示4个a3相乘。

（a3）4＝a3·a3·a3·a3=a3+3+3+3=a12，又a3×4=a12，

所以（a3）4＝a3×4。

通过对（32）3＝32×3，（a3）4＝a3×4的观察，

请猜想（am）n=。

4、幂的乘方，底数不变，指数相乘。

公式表示：

（am）n=amn.（m，n都是整数）

5、例1计算：

（1）（103）5；

（2）（a4）4；

（3）（am）2；

（4）-（x4）3.

6、练习：

（1）（102）3=

（2）（y6）2=

（3）-（x3）5=

（4）（an）6=

（5）a2·a3=

（6）（xn）4=

（7）xn+xn=

（8）（a2）3=

（5）xn·x4=

（10）a3+a3=

7、例2计算

（1）（x2）8·（x3）4；

解：

=x2×8·x3×4

=x16·x12

=x16+12

=x28

（2）（y3）4+（y2）6；

解：

=y3×4+y2×6

=y12+y12

=2y12

8、练习，计算：

（1）（x2）3·（x3）2=

=

=

=

（2）（a2）8-（a4）4=

=

=

9、小结布置作业（作业：

P143练习）

本节课我们学习了幂的乘方法则。

“幂的乘方，底数不变，指数相乘”。

即，（am）n=amn.（m，n都是整数）

四、板书设计

15.1.2幂的乘方

（32）3＝……＝36例1例2

（a3）4＝……＝a12

幂的乘方……

（am）n=amn（m,n都是正整数）

课题：

15.1.3积的乘方

一、教学目标

1.经历积的乘方法则的形成过程，会进行积的乘方运算.

2.培养归纳概括能力和运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

积的乘方运算.

2.难点：

归纳概括积的乘方法则.

三、教学过程

1、巩固旧知

填空：

同底数幂相乘，底数不变，指数

幂的乘方，底数不变，指数.

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）（a3）3=a6；（）

（2）x3+x3=x6；（）

（3）x3·x4=x12；（）

（4）（x4）2=x8；（）

（5）a6·a4=a10；（）

（6）a5+a5=2a5.（）

直接写出结果：

（1）7×76＝

（2）（33）5=

（3）y2+y2＝

（4）t2·t6=

（5）-（a4）6＝（6）（x2）5·x4=

2、我们已经知道，ab表示a与b的积，那么（ab）3表示a与b积的3次方，也就是积的乘方.一般地，把（ab）n叫做“积的乘方”。

3、由于ab=a·b，（ab）3表示3个ab相乘.

所以（ab）3＝（ab）·（ab）·（ab）…乘方的意义

=a·b·a·b·a·b…乘法的意义

=（a·a·a）·（b·b·b）

…乘法交换律、结合律

=a3b3…乘方的意义

同理（ab）4＝（ab）·（ab）·（ab）·（ab）

=a·b·a·b·a·b·a·b

=（a·a·a·a）·（b·b·b·b）

=a4b4

通过对（ab）3=a3b3，（ab）4＝a4b4的观察请猜想（ab）n

4、积的乘方等于每个因式分别乘方的积.

公式表示：

（ab）n=anbn

5、例计算：

（1）（2a）3

解：

=23·a3

=8a3

（2）（-5b）3

解：

=（-5）3·b3

=-125b3

（3）（xy2）2

解：

=x2·（y2）2

=x2·y4

=x2y4

（4）（-2x3）4

解：

=（-2）4·（x3）4

=16·x12

=16x12

6、练习

计算：

（1）（3x）2=

（2）（-2y）3=

（3）（2ab）3=

（4）（-xy）4=

计算：

（1）（bc3）2=

（2）（2x2）3=

（3）（-2a2b）3=

（4）（-3x2y3）2=

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）b3·b3=2b3；（）

（2）x4·x4=x16；（）

（3）（a5）2=a7；（）

（4）（a3）2·a4=a9；（）

（5）（ab2）3=ab6；（）

（6）（-2a）2=-4a2.（）

7、小结布置作业（P144练习，P148习题2.）

本节课我们学习了积的乘方法则。

“积的乘方等于每个因式分别乘方的积”。

四、板书设计

15.1.3积的乘方

（ab）2=……＝a2b2例

（ab）3=……＝a3b3

（ab）4＝a4b4

（ab）5＝a5b5

（ab）n＝anbn

积的乘方等于……

课题：

15.1.4整式的乘法（第1课时）

一、教学目标

1.经历单项式乘单项式法则形成的过程，会进行单项式乘单项式的运算.

2.培养归纳概括能力和运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

单项式乘单项式.

2.难点：

归纳概括单项式乘单项式的法则.

三、教学过程

1、巩固旧知

直接写出结果：

（1）（-3x）2=

（2）（-b2）3=

（3）a3·a=（4）（y2）2·y3=

填空：

（1）像3a，xy2这样，数字和字母乘积的式子叫做式；

（2）像2x-3，x+5y2这样，几个单项式的和叫做式；

（3）单项式与多项式统称式.

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）-4x是单项式；（）

（2）-4x＋1是单项式；（）

（3）2xy2是多项式；（）

（4）x2-2x+1是多项式；（）

（5）单项式-3ab的系数是-3；（）

（6）单项式a2b的系数是0.（）

2、我们已经知道，整式包括单项式和多项式.所以整式的乘法可以分为三种.

（1）单项式乘单项式

（2）单项式乘多项

（3）多项式乘多项式

3、在3x2·4xy中,3x2是一个单项式，4xy也是一个单项式，这两个单项式怎么乘呢？

利用乘法交换律和结合律，我们可以把系数3和系数4写在一起乘，把x2和x写在一起乘，y照抄，这样就得到。

3x2·4xy=（3×4）·（x2·x）·y

=（3×4）·（x2·x）·y

=12·x3·y

=12x3y

在-2ac5·6bc2中，-2ac5是一个单项式，6bc2也是一个单项式，这两个单项式又怎么乘呢？

（让学生充分思考、讨论）

利用乘法交换律和结合律，我们可以把系数-2和6写在一起乘，把c5和c2写在一起乘，a、b照抄，这样就得到。

-2ac5·6bc2=（-2×6）·a·b·（c5·c2）

=（-2×6）·a·b·（c5·c2））.

=-12abc7.

从这两个例子，你能概括出单项式乘单项式的法则吗？

（让学生发表看法）

4、单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄.

5、例计算：

（先让生尝试，再边讲边板演）

（1）（-5a2b）（-3a）；

解：

=[-5×（-3）]·（a2·a）·b

=15a3b

（2）（2x3）（-5xy3）.

解：

=[2×（-5）]·（x3·x）·y3

=-10x4y3

6、练习

计算：

（1）3x2·5x3=

（2）4y·（-2xy2）=

（3）（2m2n）·（mn）=

（4）（-a2b）·（5b2）=

计算：

（1）（3x2y）3·（-4x）=

（2）（-2a）3·（-3a）2=

判断正误：

对的画“√”，错的画“×”.

（1）3a3·2a2=6a6；（）

（2）2x2·3x2=6x4；（）

（3）3x2·4x2=12x2；（）

（4）5y3·3y5=15y15.（）

填空：

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，地球与太阳的距离约为千米.

7、小结布置作业（P149习题3.）

（1）整式乘法分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。

（2）本节课我们学习了整式乘法的一种——单项式乘单项式。

单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄.

课题：

15.1.4整式的乘法（第2课时）

一、教学目标

1.知道单项式乘多项式的法则，会运用法则进行单项式乘多项式的运算.

2.培养运算能力，渗透转化思想.

二、教学重点和难点

1.重点：

单项式乘多项式.

2.难点：

单项式乘多项式法则的运用.

三、教学过程

1、巩固旧知

直接写出结果：

（1）4a2·2a=

（2）x·（-5）=

（3）（2xy）·（-3x）=（4）（ab2）·（-6b）=

（5）（2x）·（

x）=

（6）（

ab）·（2a）=

填空：

几个式的和叫做多项式，其中，每个式叫做多项式的项.

填空：

（1）多项式3x＋4y有2项，

它们是、；

（2）多项式2x-3有2项，

它们是、；

（3）多项式

ab2-2ab有2项，

它们是、；

（4）多项式2x2-3x＋4有3项，

它们是、、.

2、我们已经知道，整式的乘法可以分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.上节课我们学习了单项式乘单项式，本节课我们将学习单项式乘多项式.

3、m（a+b+c）=ma+mb+mc，这是我们学过的分配率。

在这个式子中，m是一个单项式，a+b+c是一个多项式，实际上是一个单项式乘多项式。

可见，单项式乘多项式直接应用分配律m（a+b+c）=ma+mb+mc计算。

4、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

5、例1计算：

（1）（-4x2）·（3x+1）

解：

=（-4x2）·3x+（-4x2）·1

=（-4

3）·（x2·x）+（-4

1）·x2

=-12x3-4x2

（2）（

ab2-2ab）·

ab

解：

=（

ab2·

ab）+（-2ab·

ab）

=（

）·（a·a）·（b2·b）+

（-2

）·（a·a）·（b·b）

=

a2b3-a2b2

6、练习，计算：

（1）3a（5a-b）=

（2）（x-3y）（-6x）=

（3）-2x（x2-x+1）=

7、例2化简

x（x+3）-2x（x-1）.（生尝试，再讲解）

解：

=x2+3x-（2x2-2x）

=x2+3x-2x2+2x

=（x2-2x2）+（3x+2x）

=-x2+5x2

8、练习，化简：

（1）-3x（x+2）+2x（x+1）=

（2）x（x-1）-3x（2x-5）=

9、小结布置作业（P149习题4，P146练习2）

本节课我们学习了单项式乘多项式。

“单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”。

单项式乘多项式的根据是“乘法分配律”。

单项式乘多项式的关键是“把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式”。

四、板书设计

15.1.4整式的乘法（单项式乘多项式）

m（a+b+c）=ma+mb+mc例1单项式与多项式相乘……例2

课题：

15.1.4整式的乘法（第3课时）

一、教学目标

1.知道多项式乘多项式的法则，会运用法则进行多项式乘多项式的运算.

2.培养运算能力，渗透转化思想.

二、教学重点和难点

1.重点：

多项式乘多项式.

2.难点：

多项式乘多项式法则的运用.

三、教学过程

1、巩固旧知

填空：

（1）单项式与单项式相乘，相乘，相同相乘，剩下的照抄；

（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积相加.

直接写出结果：

（1）（5x3）·（2x2y）=

（2）（-3ab）·（-4b2）=

（3）（xy）·（-2xy3）=（4）（2×103）·（8×108）=

计算：

（1）5x（2x2-3x+4）=

（2）-6a（a-3b）=

2、我们讲过，整式的乘法可分为三种。

（1）单项式乘单项式

（2）单项式乘多项式

（3）多项式乘多项式

前面我们学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式，这节课我们学习多项式乘多项式.

3、在（a+b）（m+n）中，a+b是一个多项式，m+n也是一个多项式，这两个多项式相乘，怎么乘呢？

（生尝试，师巡视）

在（a+b）（m+n）中，我们可以先把m+n看成是一个单项式，利用单项式乘多项式的法则来乘，能得到a（m+n）+b（m+n），再利用单项式乘多项式法则，得到am+an+bm+bn。

即，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

4、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即

5、例1计算：

（1）（3x+1）（x+2）

解：

=3x2+7x+2

（2）（3x+y）（x-2y）.（学生先尝试）

解：

=（3x）·x+（3x）·（-2y）+y·x+y·（-2y）

=3x2-6xy+xy-2y2

=3x2-5xy-2y2

6、练习，填空：

（1）（2x+1）（x+3）

=+++

=

=；

（2）（m+2n）（m-3n）

=+++

=

=.

7、例2计算：

（课本148页）

（1）（x-8y）（x-y）

解：

=x2-xy-8xy+8y2

=x2-9xy+8y2

（2）（x+y）（x2-xy+y2）.（先让学生尝试）

解：

=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3

说明：

多项式乘以多项式，实际上就是“去括号、合并同类项”。

第一步运用法则，第二步单项式乘单项式，第三步合并同类项.在这三步中，运用法则这一步写起来比较麻烦，为了减少麻烦，我们可以把第一步第二步合成一步.

8、练习，计算：

（1）（x+3）（2x+5）

（2）（a+3b）（a-3b）

==

==

（3）（2x2-1）（x-4）（4）（a-1）（a-1）

==

==

9、小结布置作业

本节课我们学习了多项式乘多项式。

“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”。

即（a+b）（m+n）=a（m+n）+b（m+n）

=am+an+bm+bn实质是“去括号、合并同类项”。

课题：

15.1.4整式的乘法（第4课时）

一、教学目标

1.会比较熟练地进行多项式乘多项式的运算.

2.会进行简单的整式加减乘混合运算.

3.培养运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

进行多项式乘多项式的运算.

2.难点：

整式混合运算.

三、教学过程

1、巩固旧知

口答：

（1）2x·3y；

（2）（-x）·3x；（3）（-3y）·（-5x）；（4）y·2y；（5）（-2）·2x；（6）（3y）·4；

（7）2x·4x2；（8）2x·（-2xy）；（9）（-y）·（4x2）；（10）（-3y）·2xy；（11）y2·2x；（12）（-y）·y2.

直接写出结果：

（1）2x（x2+2）=

（2）（-b）·（-5b+3）=

（3）（4y2-3y）·2y=

（4）（3-a）（-2a）=

计算：

（1）（2x+3）（x+3）

=

=

（2）（x-2）（x+5）

=

=

（2）（-x+4y）（x+4y）

=

=

（4）（2a+b）（2a-b）

=

=

（5）（3a+b）2

=（3a+b）（3a+b）

=

=

（6）（3a-b）2

=（3a-b）（3a-b）

=

=

2、例1计算：

（先让生尝试，再讲解）

5x（2x+1）-（2x+3）（x-5）.

解：

5x（2x+1）-（2x+3）（x-5）

=10x2+5x-（2x2-10x+3x-15）

=10x2+5x-（2x2-7x-15）

=10x2+5x-2x2+7x+15

=8x2+12x+15

3、练习，计算：

（x+3）（2x-5）-（x-1）（x-2）

解：

原式=

=

=

=

4、例2求值：

（先让生尝试，再讲解）

（2x+3）2-（x-1）（4x-5）,其中x=100.

解：

（2x+3）2-（x-1）（4x-5）

=（2x+3）（2x+3）-（4x2-5x-4x+5）

=（4x2+6x+6x+9）-（4x2-9x+5）

=4x2+6x+6x+9-4x2+9x-5

=21x+4

当x=100，原式=21x+4=21×100+4=2104.

5、练习，求值：

（2x+1）（2x-3）-（2x-3）2，其中

解：

原式=

=

=

=

当x=时

原式=

6、小结布置作业（P149习题6.7.）

（1）在进行整式加、减、乘的混合运算时，先根据“单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则”计算乘法；再根据“合并同类项”的法则“计算加减法。

（2）求整式的值时，先进行整式的计算，化简后再把字母的取值代入化简的式子中。

课题：

15.2.1平方差公式

一、教学目标

1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.

2.培养概括能力，发展符号感.

二、教学重点和难点

1.重点：

运用平方差公式进行计算.

2.难点：

先交换项的位置，再运用平方差公式.

三、教学过程

1.计算：

（1）（x+3）（x-3）=

（2）（m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

2、我们知道，整式的乘法有三种，即：

单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，多项式乘多项式比较麻烦，那么我们自然会想到多项式乘多项式有没有简单一点的方法？

3、（出示下面的板书）

（x+3）（x-3）=x2-9

（m+2）（m-2）=m2-4

（2x+1）（2x-1）=4x2-1

观察、归纳：

从这些等式我们发现了一个规律：

（a+b）（a-b）=a2-b2。

即“两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.”

4、我们把（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式叫做平方差公式.

有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.

5、例运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-x-2y）（-x+2y）；

（3）（b+2a）（2a-b）；

（4）（x-4）（-x-4）.

解：

（1）

（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4

（a+b）（a-